量子信息技術(shù)-第一章

第一章EPR佯謬與量子糾纏波函數(shù)的絕對(duì)值的平方等于粒子在點(diǎn)r附近出現(xiàn)的概率p：代表在點(diǎn)r附近的小體積元

中找到粒子的概率，因此也稱為概率波幅。著名物理學(xué)家費(fèi)曼曾指出：量子力學(xué)的精妙之處在于引入概率波幅(即量子態(tài))的概念。一

薛定諤貓與EPR佯謬關(guān)于量子力學(xué)理論是否完備的EPR佯謬長(zhǎng)期激烈爭(zhēng)論的焦點(diǎn)也在這個(gè)量子態(tài)上。薛定諤于1932年提出的所謂“薛定諤貓”佯謬和愛(ài)因斯坦等人在1935年提出的EPR佯謬。1.薛定諤貓薛定諤貓的實(shí)驗(yàn)裝置巧妙地將微觀放射源和宏觀的貓聯(lián)系起來(lái)！容器里的貓是死還是活？既然放射性粒子是處于0和1的疊加態(tài)，那么這只貓理應(yīng)處于死和活的疊加態(tài)。這只在特定狀態(tài)下的半死半活的貓就是著名的“薛定諤貓”。薛定諤想要闡述的物理問(wèn)題是：微觀世界遵從量子疊加原理；那么，如果自然界確實(shí)按照量子力學(xué)運(yùn)行的話，宏觀世界也應(yīng)遵從量子疊加原理。薛定諤的實(shí)驗(yàn)裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓聯(lián)系起來(lái)，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。然而，隨著量子光學(xué)的發(fā)展，人們研究各種制備宏觀量子疊加態(tài)的方案，1997年科學(xué)家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤”貓態(tài)，即一個(gè)被觀察的粒子在同一時(shí)間里處于兩個(gè)不同的狀態(tài)。薛定諤的問(wèn)題還可以進(jìn)一步擴(kuò)展為：宏觀世界中是否存在量子效應(yīng)？事實(shí)上，大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)都肯定地回答了這個(gè)問(wèn)題。最近幾年引起廣泛興趣的玻色愛(ài)因斯坦凝聚的實(shí)驗(yàn)研究

進(jìn)展更有力地證實(shí)了宏觀量子效應(yīng)。2.EPR佯謬“EPR佯謬”在近60多年的量子力學(xué)發(fā)展中起著重要的推動(dòng)作用。這個(gè)實(shí)驗(yàn)是愛(ài)因斯坦等人與量子力學(xué)創(chuàng)始人之一的玻爾就有關(guān)量子力學(xué)是否自洽、是否完備的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論而引發(fā)的一系列假想實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)著名的思想實(shí)驗(yàn)。1935年由愛(ài)因斯坦與波多爾斯基(B.Podolsky)、羅森(N.Rosen)聯(lián)名發(fā)表一篇論文，以思想實(shí)驗(yàn)結(jié)論的方式對(duì)量子力學(xué)的完備性提出了質(zhì)疑。VS量子力學(xué)是否自洽是否完備“EPR佯謬”思想實(shí)驗(yàn)愛(ài)因斯坦(A.Einstein)玻爾波多爾斯基(B.Podolsky)羅森(N.Rosen)定域?qū)嵲谡摚?/p>

1)引入了物理實(shí)在的假定：如果一個(gè)系統(tǒng)，在不對(duì)其干擾的情況下能夠確定性地預(yù)言某一物理量的值，就說(shuō)這個(gè)物理量是客觀實(shí)在，它對(duì)應(yīng)一個(gè)物理實(shí)在的元素。

2)關(guān)于完備的物理理論的假定：一個(gè)完備的物理理論必定包含對(duì)所有的物理實(shí)在的描述。

3)關(guān)于定域性的假定：對(duì)于兩個(gè)離得非常遠(yuǎn)的系統(tǒng)，對(duì)其中一個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量不能及時(shí)影響到另外的系統(tǒng)，即不存在超距的相互作用。EPR佯謬的Bohm表述：測(cè)量：如果，那么。測(cè)量：如果，那么。如果，那么。如果，那么。這場(chǎng)爭(zhēng)論的本質(zhì)——真實(shí)世界是遵從愛(ài)因斯坦的局域?qū)嵲谡摚€是玻爾的非局域理論？判定這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的依據(jù)——基于愛(ài)因斯坦的隱參數(shù)理論推到得到的貝爾不等式！類似測(cè)量：如果，那么。即、、都是物理實(shí)在要素，它們?cè)?B粒子)測(cè)量之前客觀上都同時(shí)具有確定值。而按照量子力學(xué)的觀點(diǎn)，由于B粒子的三個(gè)自旋算符彼此不對(duì)易，它們本來(lái)客觀上就是不能同時(shí)具有確定值的。如果，那么。二Bell不等式單次測(cè)量有。多次測(cè)量，在、兩個(gè)方向測(cè)量結(jié)果的關(guān)聯(lián)函數(shù)為類似的可以測(cè)量、1.最初的Bell不等式這就是根據(jù)隱變量理論得出的Bell不等式！根據(jù)量子力學(xué)，A、B兩個(gè)粒子組成一個(gè)統(tǒng)一的糾纏態(tài)，對(duì)A粒子沿方向和B粒子沿方向的測(cè)量所得的平均值為這很容易破壞。比如，取三矢量共面，夾角為:量子力學(xué)的結(jié)果，，2.CHSH不等式

CHSH不等式在推廣Bell不等式中，考慮到這類關(guān)聯(lián)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的一些失誤或誤差因素。比如，對(duì)A(B)測(cè)量中儀器設(shè)備有時(shí)可能失效，這時(shí)按實(shí)驗(yàn)規(guī)定，儀器裝置給出對(duì)A(B)的測(cè)量值為零；再比如，制備出的EPR對(duì)可能不純，因此同時(shí)沿同一方向測(cè)量A和B的自旋關(guān)聯(lián)并不嚴(yán)格相反等等。這樣關(guān)聯(lián)函數(shù)注意：寫成對(duì)稱形式量子力學(xué)的結(jié)果令那么而所以例如與矛盾！3.無(wú)不等式的Bell理論-GHZ定理上面都是借助于對(duì)各種不等式的破壞來(lái)揭示量子態(tài)的空間非定域性質(zhì)。由于實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的關(guān)聯(lián)函數(shù)均為態(tài)中的平均值，因此，關(guān)于破壞與否的論斷都是以統(tǒng)計(jì)方式作出的。事實(shí)上，也可以找到無(wú)不等式的Bell定理，使得人們可以用一種確定的、非統(tǒng)計(jì)的方式來(lái)揭示量子態(tài)的這種非定域性。對(duì)于三粒子GHZ態(tài)，存在一組相互對(duì)易的可觀測(cè)量，對(duì)于這組力學(xué)量的測(cè)量，量子力學(xué)將以確定的、非統(tǒng)計(jì)的方式給出與經(jīng)典定域?qū)嵲谡摬幌嗳莸慕Y(jié)果。三粒子GHZ態(tài)對(duì)GHZ態(tài)有按照定域?qū)嵲谡撚^點(diǎn)，客觀上應(yīng)該存在一組數(shù)滿足和而前三個(gè)式子相乘得到，與最后一個(gè)矛盾！

量子糾纏狀態(tài)(entangledstates)：指的是兩個(gè)或多個(gè)量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)狀態(tài)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性。量子糾纏狀態(tài)是微觀世界物質(zhì)間的特有現(xiàn)象，因此也是量子信息理論中特有的概念。量子系統(tǒng)能夠糾纏是實(shí)現(xiàn)信息高速的不可破譯通信的理論基礎(chǔ)。三

量子糾纏狀態(tài)一)兩體系統(tǒng)量子態(tài)分類1.可分離態(tài)與糾纏態(tài)可分離態(tài)：是這樣一些純態(tài)和混態(tài)，它們的密度矩陣可以寫成一些未關(guān)聯(lián)態(tài)之和不可分離態(tài)：又稱作糾纏態(tài)(包括糾纏純態(tài)和糾纏混態(tài))，是所有不能寫成上式形式的，即不能寫成可分離態(tài)形式的態(tài)。例如，下述混態(tài)當(dāng)均是糾纏的a=1/2時(shí)，的可分態(tài)形式。第一題作業(yè)！2.Schmidt分解定理適用對(duì)象：二子系系統(tǒng)的純態(tài)定理內(nèi)容：二粒子系統(tǒng)A、B，其Hilbert空間記為，該空間的任一純態(tài)，能表示成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式：

。其中為中的一組正交歸一化態(tài)，為中的一組正交歸一化態(tài)。說(shuō)明：1)和可以是不同維數(shù)的；2)對(duì)于、的非零本征值，如果不存在簡(jiǎn)并的本征值，則Schmidt分解由和唯一確定；3)如果、的本征值存在簡(jiǎn)并，Schmidt分解的表示不唯一。3.GHJW定理混合態(tài)純化：對(duì)于任意一個(gè)混合態(tài)，總可以找到一個(gè)擴(kuò)展的Hilbert空間的純態(tài)，該混合態(tài)可表示為該純態(tài)的約化態(tài)，則這個(gè)擴(kuò)展的純態(tài)稱為該混合態(tài)的純化。令GHJW定理：同一個(gè)混合態(tài)的兩個(gè)不同純化之間相差一個(gè)擴(kuò)展空間（約化空間）的幺正變換。二)可分性判據(jù)兩體態(tài)可分離性的部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)----Peres判據(jù)兩體雙態(tài)系統(tǒng)密度矩陣是可分離態(tài)的充要條件為：對(duì)其任一體做部分轉(zhuǎn)置運(yùn)算后所得矩陣(或)仍是半正定的(即不出現(xiàn)負(fù)本征值)。也即，對(duì)兩體中任一體做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣仍然是個(gè)密度矩陣。部分轉(zhuǎn)置，比如對(duì)B做部分轉(zhuǎn)置，其含義是如果qubit列的疊加狀態(tài)無(wú)法用各qubit的張量乘積表示，這種疊加狀態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。三)量子糾纏狀態(tài)例：量子態(tài)量子態(tài)可分態(tài)最初兩位qubit是糾纏狀態(tài)，這個(gè)量子態(tài)也是糾纏態(tài)。再看量子態(tài)糾纏態(tài)四個(gè)Bell態(tài)4個(gè)貝爾態(tài)基都是糾纏狀態(tài)！生成Bell態(tài)的量子態(tài)變換回路貝爾狀態(tài)是qubit對(duì)的一組正規(guī)直交基底。Bell態(tài)的性質(zhì)得到00的概率得到01的概率得到10的概率得到11的概率注意：當(dāng)?shù)谝晃坏臏y(cè)定結(jié)果為0時(shí)，第二位也必定為0；當(dāng)?shù)谝晃坏臏y(cè)定結(jié)果為1時(shí)，第二位也必定為1。在量子糾纏狀態(tài)中，qubit對(duì)之間存在一種超強(qiáng)的作用力，即“量子相關(guān)作用”的相干關(guān)系。四)糾纏度量1.兩體純態(tài)的部分熵糾纏度兩體純態(tài)的部分熵糾纏度定義為2.兩體混態(tài)的形成糾纏度兩體混態(tài)的形成糾纏度其中的最小取遍的所有可能的分解其物理意義是構(gòu)造所需要的最小的糾纏。特例：其中，而是的本征值的平方根的降序排列。對(duì)于兩量子比特系統(tǒng)，形成糾纏可以解析地算出Bell態(tài)的應(yīng)用----量子密鑰分配(quantumkeydistribution，簡(jiǎn)稱QKD)假設(shè)有Bell態(tài)根據(jù)量子密鑰分配A首先在基底之上測(cè)定自己擁有的qubit，此時(shí)B可以等概率獲得0或1的測(cè)定結(jié)果。另一方面根據(jù)上面的結(jié)論，B所擁有的qubit狀態(tài)，服從于A的測(cè)定結(jié)果：A的測(cè)量結(jié)果B的測(cè)量結(jié)果