高等光學(xué)第七講

第七講高等光學(xué)光學(xué)工程碩士研究生課程函數(shù)為常數(shù)的連續(xù)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

在第一章和前面（2.6-10）已應(yīng)用類似的表示此種情況，即：(2.6-16)式中G1表示G1在間斷處的變化量。對(duì)于在z=0間斷處，積分計(jì)算應(yīng)該從z=到z=-。對(duì)于z=0處間斷的任意函數(shù)G1(z)可以寫成(在z=0附近)注意到函數(shù)的關(guān)系，積分式（2.6-15）可變成

因?yàn)閚0和在z=0處為分段函數(shù)（在該點(diǎn)連續(xù)，該點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值不同，但都是常數(shù)積分結(jié)果為一個(gè)數(shù)值差）。積分立即變?yōu)椋?.6-17）（2.6-19）（2.6-18）式中g(shù)S是軸光線在界面上的x坐標(biāo)，式中的1和2是折射前后的值，而k=n1/n2

。

對(duì)方程式(2.6－11)進(jìn)行積分，積分限是從折射面左邊一點(diǎn)到右邊一點(diǎn)，X表示關(guān)于折射界面兩側(cè)的X量的變化，即（2.6-20）利用上式，方程式(2.6-19)可變?yōu)椋?.6-21）也可寫成另有（2.6-22）得到利用方程式(2.6-18)、(2.6-21)和(2.6-22)，方程式(2.6-17)（2.6-23）這是系統(tǒng)中單個(gè)界面對(duì)A的貢獻(xiàn)，式中所有的量均指它們?cè)诮缑嫔系闹?。?.6-24）式中

（2.6-25）G和表示視場(chǎng)光線的坐標(biāo)。因此為了計(jì)算象差，我們必須首先追跡近軸光線和視場(chǎng)光線，然后計(jì)算由各界面產(chǎn)生的和AS、BS、CS、DS和ES值，并將各界面的貢獻(xiàn)相加，便得到系統(tǒng)的總象差。下面我們舉一些例子進(jìn)行討論。同樣能夠得到§2.6.1.玻璃平面的象差如圖2.12所示，我們現(xiàn)在討論物O被玻璃平面成象的情況。象是虛的，但所作的分析仍然有效。參考平面z=

取在玻璃平面上，而兩個(gè)媒質(zhì)的相對(duì)折射率是，點(diǎn)I表示傍軸象點(diǎn)(圖2.12)。圖2.12

把相對(duì)折射率為的兩種煤質(zhì)分隔開的平折射面所引起的象差。該面取為出射光瞳面為求軸光線，考察從O點(diǎn)發(fā)出的一條傍軸光線，它在單位高度處投射到z=

=0的平面上。因此，在出射光瞳的參考平面（2.6-27）（2.6-26）注意z0和z1兩者都是負(fù)值。把這些值代入球面象差系數(shù)的表示式（2.6-23），因?yàn)楣饩€在邊界（z=）上滿足斯涅耳定律，所以對(duì)于傍軸光線，則有z1=z0，由此得到傍軸象點(diǎn)的位置。（2.6-28）（2.6-29）得到因而利用傍軸近似，可得到

當(dāng)光線在距離z軸高度為l處投射在該平面時(shí)，橫向球面象差為（2.6-30）縱向球面象差為（2.6-31）§2.6.2.薄透鏡的象差

現(xiàn)在我們求薄透鏡的各種象差的顯式。為了確定薄透鏡的象差，我們必須首先追跡軸光線和視場(chǎng)光線，設(shè)z0是物平面離透鏡的距離(因?yàn)榧僭O(shè)透鏡是薄的，所以z0可以是物平面離透鏡第一表面或第二表面的距離)。圖2.13計(jì)算薄透鏡象差的示意圖。圖中標(biāo)明了近軸光線和視場(chǎng)光線顯然（2.6-32）設(shè)z1是透鏡到傍軸象平面的距離(圖2.13)。設(shè)R1和R2是兩表面的曲率半徑，是透鏡媒質(zhì)的折射率．設(shè)g0、g1、g2和gi分別表示近軸光線在物平面、第一、第二折射面和象平面上的高度。進(jìn)一步利用第一章第五節(jié)的分析，我們得到下列在三個(gè)媒質(zhì)中的光學(xué)方向余弦表示式：（2.6-33）由

（2.6-34）（2.6-35）同樣，對(duì)于視場(chǎng)光線，我們得到（2.6-36）和（2.6-37）此外，由

有（2.6-38）定義（2.6-39）利用上面關(guān)系式，我們能夠計(jì)算象差系數(shù)A、B、C、D和E。

例如，第一表面對(duì)球面象差的貢獻(xiàn)為：（2.6-40）第二表面對(duì)球面象差的貢獻(xiàn)為：（2.6-41）于是，整個(gè)透鏡的球面象差系數(shù)A是方程式（2.6-40）和（2.6-40）之和。

最后簡(jiǎn)化為（2.6-42）代數(shù)計(jì)算薄透鏡球面像差同樣，能得到其它象差系數(shù)（2.6-43）(2.6-44)值得注意的是薄透鏡沒有畸變。

對(duì)于平行于光軸的入射光線，仍可使用這些公式，這時(shí)z0取-。顯然，當(dāng)z0-時(shí)，B,C和D也趨于零，而A簡(jiǎn)化為（2.6-45）在這種情況下，傍軸象在焦點(diǎn)上，而象差決定于傍軸焦點(diǎn)和邊緣焦點(diǎn)的差值。

由此可以計(jì)算橫向球面象差，即垂直于光軸的平面上的象差橫向差式中f是薄透鏡的焦距（=1/），而是光線投射在透鏡上離光軸的距離。（2.6-46）而縱向球面象差，亦即傍軸交點(diǎn)與邊緣焦點(diǎn)的差值[式（2.3-6）；現(xiàn)在d

=f

平行于透鏡光釉的一束光線所形成的象只有球面象差。如果我們考慮一束與光軸傾斜的平行光線，那么所成的象也還有其它象差。（2.6-47）為了計(jì)算一束與光軸夾角為的平行光線所成象的慧差，我們假設(shè)物離光軸的高度為x0，離透鏡的距離為-z0

，于是象的慧差為3Bx02，利用方程式(2.6-43)，它可改寫為（2.6-48）因而一束與z軸成

角的平行光線所成象的慧差為（2.6-49）這里z1=f

表示焦距，第二項(xiàng)變成零。取極限x0-和z0-，但x0/z0=tg

保持不變，形成與光軸成角的一束斜入射的平行光線。

§2.7色差

折射率依賴于所研究的光輻射波長(zhǎng)。因?yàn)槌上髸r(shí)總要在折射率不連續(xù)處發(fā)生折射，或是在折射率連續(xù)變化的媒質(zhì)中傳播，因此色散要影響象的形成。非單色光，折射后不同波長(zhǎng)的光成分沿著不同方向前進(jìn)，成象于不同點(diǎn)上，由此引起的象差稱為色差。

在這一節(jié)，我們討論光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)色差，并假設(shè)這個(gè)系統(tǒng)不存在五種賽德耳象差中任何一種。實(shí)際象點(diǎn)和任一特定波長(zhǎng)象點(diǎn)之差就是色差。這差值沿光軸的分量稱為縱向色差，而沿垂直于光鈾的分量則稱為橫向色差。

為了研究色差，我們只討論傍軸方程式，傍軸方程式（第一章第五節(jié)討論過）為

(2.7-1)對(duì)于某個(gè)適當(dāng)選擇的原點(diǎn)，取z=z0

為物平面

我們先求出單個(gè)折射面的色差。可以證明多個(gè)折射面組成的系統(tǒng)的色差很容易由單個(gè)折射面公式得到。

(2.7-2)因?yàn)槲覀円芯坎ㄩL(zhǎng)對(duì)成象的影響，因此必須選擇一個(gè)特定波長(zhǎng)，并根據(jù)該波長(zhǎng)光線所成的象定義象差。根據(jù)這種波長(zhǎng)(通常選擇λ=589.3nm)定義近軸光線(坐標(biāo)g,)和視場(chǎng)光線(坐標(biāo)G,)。設(shè)這種波長(zhǎng)的傍軸象平面為z=z1。式中=f(u)+z2，而z2為該折射面的頂點(diǎn)。u=x2+y2，而(x)為單位階躍函數(shù)，n是波長(zhǎng)的函數(shù)。（2.7-3）設(shè)將折射率為n1和n2的兩種媒質(zhì)分隔開的折射面的曲率半徑為R。如§2.6一樣，此時(shí)系統(tǒng)的折射率函數(shù)為

該折射面的方程式為在§2.6中已經(jīng)確定了系數(shù)H1和H2

（2.7-4）n0是在選定的參考波長(zhǎng)下沿光軸的折射率變量。（2.7-5）如果x表示當(dāng)變化時(shí)橫向色差x的變化，那么由方程式（2.7-5）得到(2.7-7)（2.7-6）因?yàn)?g,)表示傍軸方程式的解，如前所述，我們得到于是方程式（2.7-1）變?yōu)榛蚋膶憺槲覀儼焉鲜酱敕匠淌剑?.7-6）得到

（2.7-8）從z0到z1對(duì)方程式（2.7-8）進(jìn)行積分，其中z=z0和z=z1分別表示物平面和象平面，并且利用g(z0)=g(z1)=0和(x)z0（表示物平面的色差）為零，得到（2.7-9）利用關(guān)系式（2.7-10）式中x0是光線在物平面z=z0上的x坐標(biāo)，而是光線在出射光曈平面z=上的x坐標(biāo)，（2.7-11）方程式（2.7-9）可簡(jiǎn)化為或式中（2.7-12）我們利用方程式（2.7-7）可使方程式（2.7-12）簡(jiǎn)化。例如：

（2.7-13）對(duì)于方程式（2.7-13）中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分

并且由于g(z0)=g(z1)=0，則得（2.7-14）同樣有（2.7-15）式中表示量度媒質(zhì)色散的量。通?？捎孟率剑ㄓ闪?xí)題中的計(jì)算可得此關(guān)系，見習(xí)題2.9）量度色散中的nF、nC和nD分別表示對(duì)應(yīng)于氫F線（

=486.1nm），氫C線（

=656.3nm）和鈉D線（

=589.3nm）等波長(zhǎng)的煤質(zhì)折射率。其具體數(shù)值參考有關(guān)書籍。對(duì)于由幾個(gè)界面分隔開的均勻媒質(zhì)組成的光學(xué)系統(tǒng)，僅在界面處才對(duì)K和L有貢獻(xiàn)，而且整個(gè)系統(tǒng)的色差可由方程式（2.7-11）得到，（2.7-16）求和遍及系統(tǒng)所有的折射面。常規(guī)方法是消除F線和C線相對(duì)于D線的色差（見方程式2.7-18成像色差和2.7-22焦距色差），即使作了這樣的校正，系統(tǒng)對(duì)其它波長(zhǎng)仍然有色差。其中這里

=

n/n。（在界面上表現(xiàn)出變化，習(xí)題2.9中計(jì)算對(duì)空氣與介質(zhì)的折射面，等于

-0或0-）

第四章衍射

§4.1引言我們考察圖所示位于矩形狹縫AB前面的點(diǎn)光源P0

。按照幾何光學(xué),光源將一個(gè)清晰的陰影投射在屏SS’上，這樣，區(qū)域?qū)’B’被均勻的照明,而在屏的其余部分則完全黑暗，然而，如果仔細(xì)地觀察A’的鄰近區(qū)域，就會(huì)發(fā)現(xiàn)強(qiáng)度的逐漸變化，或者甚至出現(xiàn)條紋圖樣，這是由于衍射現(xiàn)象所造成的，因?yàn)椴ㄩL(zhǎng)很小，這些效應(yīng)只有很仔細(xì)地觀察才能發(fā)現(xiàn)。實(shí)際上，在波長(zhǎng)趨于零的極限時(shí)，強(qiáng)度的逐漸變化將趨于消失。

圖4.1按照幾何光學(xué)定律，點(diǎn)光源P0在屏SS’A’B’處形成清晰的陰影。但是由于衍射，在A’和B’附近將看到條紋圖樣（或強(qiáng)度的逐漸變化）

本章將相當(dāng)詳細(xì)地討論衍射現(xiàn)象。我們的出發(fā)點(diǎn)是標(biāo)量波方程式

在均勻媒質(zhì)中，電場(chǎng)或磁場(chǎng)矢量的各個(gè)分量都滿足上述方程式。在方程式（4.1-1）中，c表示波的傳播速度。波的強(qiáng)度與成正比。（4.1-1）§4.2球面波

式中k(=/c)表示波矢。方程式(4.2-2)稱為亥姆霍茲方程式。對(duì)于球面波,u僅是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，因而方程式(4.2-2)變?yōu)槲覀冇懻搯紊?，即假設(shè)時(shí)間因子取為exp(it)，則有(4.2-1)如果我們將上式U(r,t)代入方程式（4.1-1），得到(4.2-2)(4.2-3)設(shè)函數(shù)(r)=ru(r)滿足(4.2-4)式中A

表示波的振幅,上下符號(hào)分別相應(yīng)于出射與入射球面波。指數(shù)前面的因子1/r

表明點(diǎn)光源發(fā)出的球面，其強(qiáng)度按1/r2

減少，這就是平方反比定律?；蛘?4.2-5)因而，對(duì)于單色球面波(4.2-6)§4.3亥姆霍茲—基爾霍夫積分定理

空間兩個(gè)點(diǎn)場(chǎng)的函數(shù)關(guān)系為u，一個(gè)點(diǎn)在其等位面（矢量曲面）場(chǎng)上的函數(shù)關(guān)系是u，兩個(gè)點(diǎn)u’

u在其等位相交曲面（矢量曲面）的關(guān)系是u’u和uu’之和，如果兩個(gè)點(diǎn)分別在矢量曲面（某一側(cè)為曲面法線方向的正方向）的兩側(cè)，則是u’u和uu’之差（矢量和）。我們討論曲面S，它是一個(gè)閉合面，包圍的體積V。F表示矢量函數(shù)，

表示曲面S法線方向的單位矢量，負(fù)號(hào)表示內(nèi)法線方向。對(duì)

有兩點(diǎn)與曲面的積分關(guān)系如果函數(shù)u和u’連同它們的一階和二階導(dǎo)數(shù)在面S上和S內(nèi)都是連續(xù)的，則格林定理告訴我們：圖4.2是內(nèi)的一個(gè)小球面，表示單位內(nèi)向法線（4.3-1）式中左邊和右邊的積分分別表示體積分（在體積V內(nèi)）和面積分（在面S上），等式右側(cè)相當(dāng)于兩個(gè)場(chǎng)在曲面上的疊加后在曲面內(nèi)表面法線（用負(fù)號(hào)表示）方向上的投影（圖4.2）。這兩個(gè)場(chǎng)一個(gè)在曲面內(nèi)，另一個(gè)在曲面外（符號(hào)相反）。如果我們假設(shè)u和u’是亥姆霍茲方程式的解，則并且，方程式（4.3-1）中左邊的被積函數(shù)處處為零。式中任選r=[x2+y2+z2]1/2表示離開所選原點(diǎn)的距離。于是