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文檔簡介
第四章靈敏度分析引導(dǎo)案例4.1靈敏度分析概述4.2靈敏度分析4.3軟件求解與分析引導(dǎo)案例王飛在2003年開了一家火腿生產(chǎn)廠,今年效益一直不錯。主要生產(chǎn)的火腿包括普通火腿腸、魚肉腸、清真腸、精制火腿、香菇火腿、牛肉火腿等品種。但近年來,市場上豬肉價格波動較大,普通豬肉價格從去年的10元一公斤漲到了18元一公斤。王飛感到原來企業(yè)的生產(chǎn)方案可能已經(jīng)不是最好的方案了,必須根據(jù)當(dāng)前的市場狀況對企業(yè)原來的生產(chǎn)計劃進行調(diào)整。王飛想知道,如何組合其生產(chǎn)方案才能在當(dāng)前的市場狀況下達到企業(yè)的最佳效益,當(dāng)豬肉價格達到多高時其新的生產(chǎn)組合就需要再進行調(diào)整。4.1靈敏度分析概述
Maxf=CXAX=bX
0
系數(shù)矩陣A、約束條件右端項b和價值系數(shù)C給定以后,這個線性規(guī)劃問題就確定了。例產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤(元/kg)586數(shù)學(xué)模型設(shè)產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3,則該問題的數(shù)學(xué)模型為:(1)當(dāng)這些系數(shù)中的一個或幾個發(fā)生變化時,已求得的最優(yōu)
解會有什么變化;(2)這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時,線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解
或最優(yōu)基不變;(3)若最優(yōu)解變化,如何用最簡便的方法找到新的最優(yōu)解。
為了回答這些問題,可以在變化了的條件下重新求解線性規(guī)劃問題。但是這樣做太麻煩,也不必要。本節(jié)的目的是講,如何在已經(jīng)得到的最優(yōu)解的基礎(chǔ)上,進行適當(dāng)?shù)男薷挠嬎?,即可回答上面的問題。這就是靈敏度分析的基本內(nèi)容。1.靈敏度分析的定義
靈敏度分析就是研究cj、bi、aij等參數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時最優(yōu)解不變,若最優(yōu)解發(fā)生變化,如何用簡便的方法求出新的最優(yōu)解。線性規(guī)劃中用到的數(shù)據(jù)很多,決策者既希望知道個別數(shù)據(jù)變化的影響,還希望知道幾個數(shù)據(jù)同時發(fā)生變化所產(chǎn)生的影響。因此靈敏度分析的范圍是相當(dāng)廣的,這里只討論個別數(shù)據(jù)變化的靈敏度分析。2.靈敏度分析的主要內(nèi)容價值系數(shù)cj的變化的分析約束條件右端項bi變化的分析系數(shù)矩陣A變化的分析
系數(shù)列向量Pk變化的分析(產(chǎn)品的工藝系數(shù)發(fā)生變化)增加新約束條件的分析增加新變量的分析(增加一種新產(chǎn)品)
3.靈敏度分析的步驟(1)將參數(shù)的改變計算反應(yīng)到最終單純形表上來。具體計算方法是:按下列公式計算出參數(shù)aij、bi、cj的變化而引起的最終單純形表上有關(guān)數(shù)字的變化:(2)檢查原問題是否仍為可行解。(3)檢查對偶問題是否仍為可行解。(4)按下表所列情況得出結(jié)論和決定繼續(xù)計算的步驟。
表4-1結(jié)論和步驟
1.價值系數(shù)cj變化cj
變動可能由于市場價格的波動,或生產(chǎn)成本的變動。cj
的變化僅僅影響到檢驗數(shù)j(即cj-zj)的變化。
cj的變化會引起檢驗數(shù)的變化,有兩種情況:非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化,不影響其它檢驗數(shù)基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化,影響所有非基變量檢驗數(shù)4.2靈敏度分析例1產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤(元/kg)586數(shù)學(xué)模型設(shè)產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3,則該問題的數(shù)學(xué)模型為:Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表:Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表:
非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)C3的變化在實例1中,分析產(chǎn)品丙的利潤C3的變化對最優(yōu)解的影響。由上表可知:當(dāng)C3-8≤
0
,即0≤C3≤8時,最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C3C3-8
基變量X1對應(yīng)價值系數(shù)C1變化(1)基變量對應(yīng)的價值系數(shù)C1的變化由上表可知:當(dāng)8-2C1≤
0
,同時C1-8≤
0,即
4≤C1≤8時,最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C1C1-28-2C1C1-8-(64+4C1)基變量X2對應(yīng)的價值系數(shù)C2的變化由上表可知:當(dāng)6-C2≤
0
,C2-10≤
0,同時5-C2
≤
0,即
6≤C2≤10時,最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C2C26-C2C2-10
5-C2
-(20+8C2)價值系數(shù)cj變化的分析總結(jié)cj的變化會引起檢驗數(shù)的變化,有兩種情況:(1)非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化,不影響其它檢驗數(shù)(2)基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化,影響所有非基變量檢驗數(shù)。要使原來的最優(yōu)解不變,新的檢驗數(shù)均≤0例2:云天公司生產(chǎn)計劃問題產(chǎn)品資源產(chǎn)品A產(chǎn)品B資源總量煤(噸)1230勞動日(天)3260倉庫(m2)0224利潤(千元)4050
解:設(shè)產(chǎn)品A、B的產(chǎn)量分別為x1、x2,z表示總利潤,則該問題的數(shù)學(xué)模型為:用單純形法求解結(jié)果:最優(yōu)生產(chǎn)方案:產(chǎn)品A生產(chǎn)15件,產(chǎn)品B生產(chǎn)15/2件,利潤最大為975千元。三種資源的影子價格例2在云天公司的實例中:
(1)若c1=20,c2=80,最優(yōu)生產(chǎn)計劃有何變化?
(2)若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化,該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化?解:把產(chǎn)品利潤的變化直接反映到最優(yōu)單純形表中20208080-5010θ3018-[]單純形迭代計算結(jié)果如下表:新的最優(yōu)生產(chǎn)方案為:產(chǎn)品A生產(chǎn)6件,產(chǎn)品B生產(chǎn)12件,利潤最大為1080千元。(2)若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化,該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化?解:設(shè)產(chǎn)品B的利潤為C2千元,將其反映到最優(yōu)單純形表中:為使最優(yōu)解不變,應(yīng)有:C2C220-3/4C2-20+C2/420-3/4C2≤0-20+C2/4≤0解得:80/3≤C2≤80產(chǎn)品B的利潤的變化范圍是:80/3≤c2
≤80(2)若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化,該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化?解:設(shè)產(chǎn)品B的利潤為(50+)千元,將其反映到最優(yōu)單純形表中:為使最優(yōu)解不變,應(yīng)有:50+50+-35/2-3/4-15/2+/4-35/2-3/4≤0-15/2+/4≤0解得:-70/3≤≤30產(chǎn)品B的利潤c2=50+,故c2的變化范圍是:80/3≤c2
≤802.右端資源項bi變化若b變化后的最優(yōu)解XB’=B1b0,則最優(yōu)基不變;否則,最優(yōu)基改變,用對偶單純形法迭代。b的變化在實際問題中表明可用資源量發(fā)生變化。由XB=B1b和
=C-CBB-1A可知,b的變化只會影響最優(yōu)解的改變,不會引起檢驗數(shù)的變化。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表例1:
分析b1=16和b2=20時,最優(yōu)基和最優(yōu)解的變化16124-92當(dāng)b1=16,b2=20時,最優(yōu)基不變,最優(yōu)解變?yōu)椋簒1=12,x2=4結(jié)論Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表例1:分析b1=22和b2=20時,最優(yōu)基和最優(yōu)解的變化2224-2-104Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X224-21001012-1-11j=cj-zj-10400-2-2-3Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X4202102-12-1011-1j=cj-zj-1000-2-40-5用對偶單純形方法求解當(dāng)b1=22,b2=20時,最優(yōu)基改變,最優(yōu)解變?yōu)椋簒1=20,x4=2結(jié)論解之得:10≤b1≤20即:當(dāng)10≤b1≤20時,最優(yōu)基不變保持b2=20,分析b1在什么范圍內(nèi)變化時,最優(yōu)基不變?Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表b12b1-20-b1+20?解之得:12≤b2≤24即:當(dāng)12≤b2≤24時,最優(yōu)基不變保持b1=12,分析b2在什么范圍內(nèi)變化時,最優(yōu)基不變?Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表b224-b2-12+b2?練習(xí)最優(yōu)單純形表為:求:(1)b1、b2的值;(2)對偶問題的最優(yōu)解;(3)表中f、g、h、d、e的值;(4)在不破壞最優(yōu)基的情況下,能否單獨增加b1、b2來增加目標(biāo)函數(shù)f的值,最多能增加到多少?Cj52300CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X5301010fg2-81-101j=cj-zj-1500h-7de例2在云天公司的實例中:(1)若b1=40,試分析公司最優(yōu)計劃的變化。(2)b1在什么范圍內(nèi)變化時,問題的最優(yōu)基不變?解:由最優(yōu)單純形表可知:當(dāng)b1=40時,用單純形法求解結(jié)果:4010-615[]用對偶單純性迭代得:公司最有計劃變?yōu)椋寒a(chǎn)品A生產(chǎn)12件,產(chǎn)品B也生產(chǎn)12件。(2)確定使最優(yōu)基不變的b1變動范圍:所以,當(dāng)煤的供應(yīng)量在20噸到36噸之間時,問題的最優(yōu)基不變。解:問題的最優(yōu)基不變,只要解得:20≤b1≤36軟件求解與分析例1產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤(元/kg)586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表:Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表:激活靈敏度計算功能方法一:LINGO——options——GeneralSolver—DualComputations——Prices&Ranges;
方法二:打開commandwindow,輸入range;解釋1.靈敏性分析結(jié)果表示的是最優(yōu)基保持不變的系數(shù)范圍。2.CurrentCoefficient:當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)系數(shù)
AllowableIncrease:允許增加量
AllowableDecrease:允許減少量
CurrentRHS:當(dāng)前右邊常數(shù)項
3.系數(shù)矩陣A變化的分析系數(shù)矩陣A變化的分析包括
(3)增加新變量的分析(增加新產(chǎn)品)(4)系數(shù)列向量Pk變化的分析(工藝系數(shù)變化)(5)增加新約束條件的分析
3.增加新的變量的分析假如要增加一個新的決策變量xj,其對應(yīng)的系數(shù)列向量為Pj,價值系數(shù)為cj。在原最優(yōu)單純形表中xj對應(yīng)的檢驗數(shù)為若j≤0,則原最優(yōu)解不變。從經(jīng)濟學(xué)的觀點來看,增加該項產(chǎn)品的生產(chǎn)是不利的。
若j0,則原來的最優(yōu)解不再是最優(yōu)解,表明生產(chǎn)該產(chǎn)品是有利的。
這時把xj對應(yīng)于原最優(yōu)基B的系數(shù)列向量Pj’=B-1Pj
加入到原最優(yōu)表中,并以xj作為換入變量按單純形法進行迭代,即可得到新的最優(yōu)解。例1:產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤(元/kg)586產(chǎn)品資源ABCD資源擁有量原料甲111212kg原料乙122120kg利潤(元/kg)5868在本例中,如果該廠還計劃生產(chǎn)一種新產(chǎn)品D,問生產(chǎn)產(chǎn)品D是否有利?Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X600X4X51220111212100121j=cj-zj0586008初始單純形表:最優(yōu)單純形表:Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X658X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-33-11新的最優(yōu)解為X=(028/30004/3)T繼續(xù)迭代,找到新的最優(yōu)解Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X688X6X24/328/31/31/301012/3-1/3-1/32/310j=cj-zj-85.33-1/30-2-2-8/30例2:在云天公司的實例中,如果該公司又計劃推出一種新產(chǎn)品C,生產(chǎn)單位產(chǎn)品C需消耗煤2噸、勞動日3天、倉庫1平方米。(1)該產(chǎn)品的預(yù)期盈利為多少時,投產(chǎn)產(chǎn)品C有盈利?(2)如該產(chǎn)品的預(yù)期盈利為60千元/件,則公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是什么?解:(1)設(shè)產(chǎn)品C的產(chǎn)量為x6,已知(2)當(dāng)c6=60時當(dāng)60,即當(dāng)從c6115/2時,該產(chǎn)品值得生產(chǎn)。用單純形法求解結(jié)果:當(dāng)60,即當(dāng)從c6115/2時,該產(chǎn)品值得生產(chǎn)。[]用單純形方法迭代得:該公司新的生產(chǎn)計劃變?yōu)椋寒a(chǎn)品A生產(chǎn)10件,產(chǎn)品C也生產(chǎn)10件。4.工藝系數(shù)的變化
在初始單純形表上,變量xj的系數(shù)列向量Pj變?yōu)镻j’,經(jīng)過迭代后,在最終單純形表上,xj是非基變量。這時最終單純形表上xj的系數(shù)列就變成B-1Pj’。新的判別數(shù)為若j≤0
,原最優(yōu)解不變;若j0
,則最優(yōu)解改變,繼續(xù)迭代可以求出新的最優(yōu)解。例1:產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤(元/kg)586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中,假設(shè)產(chǎn)品C的資源消耗量由變?yōu)?,試分析最?yōu)解的變化情況。213-1-1所有的判別數(shù)都非正,故最優(yōu)解不變。初始表最優(yōu)表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中,假設(shè)產(chǎn)品C的資源消耗量由變?yōu)椋嚪治鲎顑?yōu)解的變化情況。11101判別數(shù)有正,故最優(yōu)解變化。初始表最優(yōu)表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X568X3X2481001102-1-11j=cj-zj-88-100-4-2繼續(xù)求解得到新的最優(yōu)解Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001[1]02-1-11j=cj-zj-84001-2-3新的最優(yōu)解為X=(08400)T例2中
在云天公司的實例中,假設(shè)產(chǎn)品A工藝改變,生產(chǎn)單位產(chǎn)品A需煤1噸、勞動日4天、倉庫1平方米,該產(chǎn)品的利潤變?yōu)?0千元,試重新確定該公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃。1413/23/2-1/45050-25/2-25/2-25/2將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化:用對偶單純形法迭代得:工藝改變后的最優(yōu)方案為:產(chǎn)品A生產(chǎn)12件,產(chǎn)品B生產(chǎn)6件。5.增加一個約束條件的變化(1)將最優(yōu)解代入新的約束條件,若滿足,則最優(yōu)解不變。(2)若不滿足,則當(dāng)前最優(yōu)解要發(fā)生變化;將新增約束條件加入最優(yōu)單純形表,并變換為標(biāo)準(zhǔn)型。(3)利用對偶單純型法繼續(xù)迭代例1:
增加新約束條件的分析產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg原料丙12218kg利潤(元/kg)586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表:Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表:
將原最優(yōu)解x1=4,x2=8代入上式知,原最優(yōu)解不滿足該約束條件,因而原最優(yōu)解不再是增加約束條件以后的最優(yōu)解。
這個問題相當(dāng)于在原問題的基礎(chǔ)上增加約束條件
在新的約束條件中引入松馳變量x6,則有將該條件填入最優(yōu)單純形表中:將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化:將填入最優(yōu)單純形表中CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648181010120122-10-110001j=cj-zj-8400-2-2-30CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648-21000100102-10-11-1001j=cj-zj-8400-2-2-30用對偶單純形方法迭代一次得:增加約束條件以后的最優(yōu)解為:x1=6,x2=6CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X56621000100102-10001-11-1j=cj-zj-7800-2-20-3增加新約束條件的分析總結(jié)1、將最優(yōu)解代入新的約束條件,若滿足,則最優(yōu)解不變。2、若不滿足,則當(dāng)前最優(yōu)解要發(fā)生變化;將新增約束條件加入最優(yōu)單純形表,并變換為標(biāo)準(zhǔn)型。3、利用對偶單純形法繼續(xù)迭代。為什么可以利用對偶單純形法?例2
以云天公司為例,假設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、B還需要經(jīng)過一道環(huán)境檢測工序。產(chǎn)品A每件需環(huán)境檢測3小時,產(chǎn)品B每件需環(huán)境檢測2小時,又環(huán)境檢測工序每天可用能力為36小時。試分析增加該工序后的云天公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃。例2:云天公司生產(chǎn)計劃問題產(chǎn)品資源產(chǎn)品A產(chǎn)品B資源總量煤(噸)1230勞動日(天)3260倉庫(m2)0224環(huán)境監(jiān)測(小時)3236利潤(千元)4050
將原最優(yōu)解x1=15,x2=15/2代入上式知,原最優(yōu)解不滿足該約束條件,因而原最優(yōu)解不再是增加約束條件以后的最優(yōu)解。
這個問題相當(dāng)于在原問題的基礎(chǔ)上增加約束條件
在新的約束條件中引入松馳變量x6,則有將該條件填入最優(yōu)單純形表中:將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化:用對偶單純形法迭代,得問題的最優(yōu)解如下:增加約束條件以后的最優(yōu)解為:x1=4,x2=124.3軟件求解與分析一、問題的提出例4-6
某公司飼養(yǎng)實驗用的動物并出售給動物研究所,已知這些動物的生長對飼料中的3種營養(yǎng)成分(蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)
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