第四章靈敏度分析

第四章靈敏度分析引導(dǎo)案例4.1靈敏度分析概述4.2靈敏度分析4.3軟件求解與分析引導(dǎo)案例王飛在2003年開了一家火腿生產(chǎn)廠，今年效益一直不錯。主要生產(chǎn)的火腿包括普通火腿腸、魚肉腸、清真腸、精制火腿、香菇火腿、牛肉火腿等品種。但近年來，市場上豬肉價格波動較大，普通豬肉價格從去年的10元一公斤漲到了18元一公斤。王飛感到原來企業(yè)的生產(chǎn)方案可能已經(jīng)不是最好的方案了，必須根據(jù)當(dāng)前的市場狀況對企業(yè)原來的生產(chǎn)計劃進行調(diào)整。王飛想知道，如何組合其生產(chǎn)方案才能在當(dāng)前的市場狀況下達到企業(yè)的最佳效益，當(dāng)豬肉價格達到多高時其新的生產(chǎn)組合就需要再進行調(diào)整。4.1靈敏度分析概述

Maxf=CXAX=bX

0

系數(shù)矩陣A、約束條件右端項b和價值系數(shù)C給定以后，這個線性規(guī)劃問題就確定了。例產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤（元/kg）586數(shù)學(xué)模型設(shè)產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3，則該問題的數(shù)學(xué)模型為：（1）當(dāng)這些系數(shù)中的一個或幾個發(fā)生變化時，已求得的最優(yōu)

解會有什么變化；（2）這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解

或最優(yōu)基不變；（3）若最優(yōu)解變化，如何用最簡便的方法找到新的最優(yōu)解。

為了回答這些問題，可以在變化了的條件下重新求解線性規(guī)劃問題。但是這樣做太麻煩，也不必要。本節(jié)的目的是講，如何在已經(jīng)得到的最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，進行適當(dāng)?shù)男薷挠嬎?，即可回答上面的問題。這就是靈敏度分析的基本內(nèi)容。1.靈敏度分析的定義

靈敏度分析就是研究cj、bi、aij等參數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時最優(yōu)解不變，若最優(yōu)解發(fā)生變化，如何用簡便的方法求出新的最優(yōu)解。線性規(guī)劃中用到的數(shù)據(jù)很多，決策者既希望知道個別數(shù)據(jù)變化的影響，還希望知道幾個數(shù)據(jù)同時發(fā)生變化所產(chǎn)生的影響。因此靈敏度分析的范圍是相當(dāng)廣的，這里只討論個別數(shù)據(jù)變化的靈敏度分析。2.靈敏度分析的主要內(nèi)容價值系數(shù)cj的變化的分析約束條件右端項bi變化的分析系數(shù)矩陣A變化的分析

系數(shù)列向量Pk變化的分析（產(chǎn)品的工藝系數(shù)發(fā)生變化）增加新約束條件的分析增加新變量的分析（增加一種新產(chǎn)品）

3.靈敏度分析的步驟（1）將參數(shù)的改變計算反應(yīng)到最終單純形表上來。具體計算方法是：按下列公式計算出參數(shù)aij、bi、cj的變化而引起的最終單純形表上有關(guān)數(shù)字的變化：（2）檢查原問題是否仍為可行解。（3）檢查對偶問題是否仍為可行解。（4）按下表所列情況得出結(jié)論和決定繼續(xù)計算的步驟。

表4-1結(jié)論和步驟

1.價值系數(shù)cj變化cj

變動可能由于市場價格的波動，或生產(chǎn)成本的變動。cj

的變化僅僅影響到檢驗數(shù)j（即cj-zj）的變化。

cj的變化會引起檢驗數(shù)的變化，有兩種情況：非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化，不影響其它檢驗數(shù)基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗數(shù)4.2靈敏度分析例1產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤（元/kg）586數(shù)學(xué)模型設(shè)產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3，則該問題的數(shù)學(xué)模型為：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表：

非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)C3的變化在實例1中，分析產(chǎn)品丙的利潤C3的變化對最優(yōu)解的影響。由上表可知：當(dāng)C3-8≤

0

，即0≤C3≤8時，最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C3C3-8

基變量X1對應(yīng)價值系數(shù)C1變化(1)基變量對應(yīng)的價值系數(shù)C1的變化由上表可知：當(dāng)8-2C1≤

0

，同時C1-8≤

0，即

4≤C1≤8時，最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C1C1-28-2C1C1-8-(64+4C1)基變量X2對應(yīng)的價值系數(shù)C2的變化由上表可知：當(dāng)6-C2≤

0

，C2-10≤

0，同時5-C2

≤

0，即

6≤C2≤10時，最優(yōu)解不變。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3C2C26-C2C2-10

5-C2

-(20+8C2)價值系數(shù)cj變化的分析總結(jié)cj的變化會引起檢驗數(shù)的變化，有兩種情況：（1）非基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化，不影響其它檢驗數(shù)（2）基變量對應(yīng)的價值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗數(shù)。要使原來的最優(yōu)解不變，新的檢驗數(shù)均≤0例2:云天公司生產(chǎn)計劃問題產(chǎn)品資源產(chǎn)品A產(chǎn)品B資源總量煤（噸）1230勞動日（天）3260倉庫（m2）0224利潤（千元）4050

解：設(shè)產(chǎn)品A、B的產(chǎn)量分別為x1、x2，z表示總利潤，則該問題的數(shù)學(xué)模型為：用單純形法求解結(jié)果:最優(yōu)生產(chǎn)方案：產(chǎn)品A生產(chǎn)15件，產(chǎn)品B生產(chǎn)15/2件,利潤最大為975千元。三種資源的影子價格例2在云天公司的實例中:

（1）若c1=20,c2=80,最優(yōu)生產(chǎn)計劃有何變化？

（2）若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化？解：把產(chǎn)品利潤的變化直接反映到最優(yōu)單純形表中20208080-5010θ3018-[]單純形迭代計算結(jié)果如下表：新的最優(yōu)生產(chǎn)方案為：產(chǎn)品A生產(chǎn)6件，產(chǎn)品B生產(chǎn)12件,利潤最大為1080千元。（2）若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化？解：設(shè)產(chǎn)品B的利潤為C2千元，將其反映到最優(yōu)單純形表中：為使最優(yōu)解不變，應(yīng)有：C2C220-3/4C2-20+C2/420-3/4C2≤0-20+C2/4≤0解得：80/3≤C2≤80產(chǎn)品B的利潤的變化范圍是：80/3≤c2

≤80（2）若c1不變,c2在什么范圍內(nèi)變化，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化？解：設(shè)產(chǎn)品B的利潤為（50+）千元，將其反映到最優(yōu)單純形表中：為使最優(yōu)解不變，應(yīng)有：50+50+-35/2-3/4-15/2+/4-35/2-3/4≤0-15/2+/4≤0解得：-70/3≤≤30產(chǎn)品B的利潤c2=50+，故c2的變化范圍是：80/3≤c2

≤802.右端資源項bi變化若b變化后的最優(yōu)解XB’=B1b0,則最優(yōu)基不變；否則，最優(yōu)基改變，用對偶單純形法迭代。b的變化在實際問題中表明可用資源量發(fā)生變化。由XB=B1b和

=C-CBB-1A可知，b的變化只會影響最優(yōu)解的改變，不會引起檢驗數(shù)的變化。Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表例1：

分析b1=16和b2=20時，最優(yōu)基和最優(yōu)解的變化16124-92當(dāng)b1=16,b2=20時，最優(yōu)基不變，最優(yōu)解變?yōu)椋簒1=12，x2=4結(jié)論Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表例1：分析b1=22和b2=20時，最優(yōu)基和最優(yōu)解的變化2224-2-104Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X224-21001012-1-11j=cj-zj-10400-2-2-3Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X4202102-12-1011-1j=cj-zj-1000-2-40-5用對偶單純形方法求解當(dāng)b1=22,b2=20時，最優(yōu)基改變，最優(yōu)解變?yōu)椋簒1=20，x4=2結(jié)論解之得：10≤b1≤20即:當(dāng)10≤b1≤20時，最優(yōu)基不變保持b2=20,分析b1在什么范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)基不變?Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表b12b1-20-b1+20?解之得：12≤b2≤24即:當(dāng)12≤b2≤24時，最優(yōu)基不變保持b1=12,分析b2在什么范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)基不變?Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表b224-b2-12+b2?練習(xí)最優(yōu)單純形表為：求：（1）b1、b2的值；（2）對偶問題的最優(yōu)解；（3）表中f、g、h、d、e的值；（4）在不破壞最優(yōu)基的情況下，能否單獨增加b1、b2來增加目標(biāo)函數(shù)f的值，最多能增加到多少？Cj52300CBXBB-1bX1X2X3X4X550X1X5301010fg2-81-101j=cj-zj-1500h-7de例2在云天公司的實例中:（1）若b1=40，試分析公司最優(yōu)計劃的變化。（2）b1在什么范圍內(nèi)變化時，問題的最優(yōu)基不變？解：由最優(yōu)單純形表可知：當(dāng)b1=40時，用單純形法求解結(jié)果:4010-615[]用對偶單純性迭代得：公司最有計劃變?yōu)椋寒a(chǎn)品A生產(chǎn)12件，產(chǎn)品B也生產(chǎn)12件。（2）確定使最優(yōu)基不變的b1變動范圍：所以，當(dāng)煤的供應(yīng)量在20噸到36噸之間時，問題的最優(yōu)基不變。解：問題的最優(yōu)基不變，只要解得：20≤b1≤36軟件求解與分析例1產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤（元/kg）586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表：激活靈敏度計算功能方法一：LINGO——options——GeneralSolver—DualComputations——Prices&Ranges；

方法二：打開commandwindow，輸入range；解釋1.靈敏性分析結(jié)果表示的是最優(yōu)基保持不變的系數(shù)范圍。2.CurrentCoefficient:當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)系數(shù)

AllowableIncrease：允許增加量

AllowableDecrease：允許減少量

CurrentRHS：當(dāng)前右邊常數(shù)項

3.系數(shù)矩陣A變化的分析系數(shù)矩陣A變化的分析包括

（3）增加新變量的分析（增加新產(chǎn)品）（4）系數(shù)列向量Pk變化的分析（工藝系數(shù)變化）（5）增加新約束條件的分析

3.增加新的變量的分析假如要增加一個新的決策變量xj，其對應(yīng)的系數(shù)列向量為Pj，價值系數(shù)為cj。在原最優(yōu)單純形表中xj對應(yīng)的檢驗數(shù)為若j≤0，則原最優(yōu)解不變。從經(jīng)濟學(xué)的觀點來看，增加該項產(chǎn)品的生產(chǎn)是不利的。

若j0，則原來的最優(yōu)解不再是最優(yōu)解，表明生產(chǎn)該產(chǎn)品是有利的。

這時把xj對應(yīng)于原最優(yōu)基B的系數(shù)列向量Pj’=B-1Pj

加入到原最優(yōu)表中，并以xj作為換入變量按單純形法進行迭代，即可得到新的最優(yōu)解。例1：產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤（元/kg）586產(chǎn)品資源ABCD資源擁有量原料甲111212kg原料乙122120kg利潤（元/kg）5868在本例中，如果該廠還計劃生產(chǎn)一種新產(chǎn)品D，問生產(chǎn)產(chǎn)品D是否有利？Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X600X4X51220111212100121j=cj-zj0586008初始單純形表：最優(yōu)單純形表：Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X658X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-33-11新的最優(yōu)解為X=(028/30004/3)T繼續(xù)迭代，找到新的最優(yōu)解Cj586008CBXBB-1bX1X2X3X4X5X688X6X24/328/31/31/301012/3-1/3-1/32/310j=cj-zj-85.33-1/30-2-2-8/30例2：在云天公司的實例中，如果該公司又計劃推出一種新產(chǎn)品C，生產(chǎn)單位產(chǎn)品C需消耗煤2噸、勞動日3天、倉庫1平方米。（1）該產(chǎn)品的預(yù)期盈利為多少時，投產(chǎn)產(chǎn)品C有盈利？（2）如該產(chǎn)品的預(yù)期盈利為60千元/件，則公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是什么？解：（1）設(shè)產(chǎn)品C的產(chǎn)量為x6，已知（2）當(dāng)c6=60時當(dāng)60，即當(dāng)從c6115/2時，該產(chǎn)品值得生產(chǎn)。用單純形法求解結(jié)果:當(dāng)60，即當(dāng)從c6115/2時，該產(chǎn)品值得生產(chǎn)。[]用單純形方法迭代得：該公司新的生產(chǎn)計劃變?yōu)椋寒a(chǎn)品A生產(chǎn)10件，產(chǎn)品C也生產(chǎn)10件。4.工藝系數(shù)的變化

在初始單純形表上，變量xj的系數(shù)列向量Pj變?yōu)镻j’，經(jīng)過迭代后，在最終單純形表上，xj是非基變量。這時最終單純形表上xj的系數(shù)列就變成B-1Pj’。新的判別數(shù)為若j≤0

，原最優(yōu)解不變；若j0

，則最優(yōu)解改變，繼續(xù)迭代可以求出新的最優(yōu)解。例1：產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg利潤（元/kg）586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中，假設(shè)產(chǎn)品C的資源消耗量由變?yōu)?，試分析最?yōu)解的變化情況。213-1-1所有的判別數(shù)都非正，故最優(yōu)解不變。初始表最優(yōu)表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3在例1中，假設(shè)產(chǎn)品C的資源消耗量由變?yōu)椋嚪治鲎顑?yōu)解的變化情況。11101判別數(shù)有正，故最優(yōu)解變化。初始表最優(yōu)表Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X568X3X2481001102-1-11j=cj-zj-88-100-4-2繼續(xù)求解得到新的最優(yōu)解Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001[1]02-1-11j=cj-zj-84001-2-3新的最優(yōu)解為X=(08400)T例2中

在云天公司的實例中，假設(shè)產(chǎn)品A工藝改變，生產(chǎn)單位產(chǎn)品A需煤1噸、勞動日4天、倉庫1平方米，該產(chǎn)品的利潤變?yōu)?0千元，試重新確定該公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃。1413/23/2-1/45050-25/2-25/2-25/2將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化：用對偶單純形法迭代得：工藝改變后的最優(yōu)方案為：產(chǎn)品A生產(chǎn)12件，產(chǎn)品B生產(chǎn)6件。5.增加一個約束條件的變化（1）將最優(yōu)解代入新的約束條件，若滿足，則最優(yōu)解不變。（2）若不滿足，則當(dāng)前最優(yōu)解要發(fā)生變化；將新增約束條件加入最優(yōu)單純形表，并變換為標(biāo)準(zhǔn)型。（3）利用對偶單純型法繼續(xù)迭代例1：

增加新約束條件的分析產(chǎn)品資源ABC資源擁有量原料甲11112kg原料乙12220kg原料丙12218kg利潤（元/kg）586Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X500X4X512201112121001j=cj-zj058600初始單純形表：Cj58600CBXBB-1bX1X2X3X4X558X1X2481001012-1-11j=cj-zj-8400-2-2-3最優(yōu)單純形表：

將原最優(yōu)解x1=4，x2=8代入上式知，原最優(yōu)解不滿足該約束條件，因而原最優(yōu)解不再是增加約束條件以后的最優(yōu)解。

這個問題相當(dāng)于在原問題的基礎(chǔ)上增加約束條件

在新的約束條件中引入松馳變量x6，則有將該條件填入最優(yōu)單純形表中：將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化：將填入最優(yōu)單純形表中CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648181010120122-10-110001j=cj-zj-8400-2-2-30CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X648-21000100102-10-11-1001j=cj-zj-8400-2-2-30用對偶單純形方法迭代一次得：增加約束條件以后的最優(yōu)解為：x1=6，x2=6CBXBB-1bX1X2X3X4X5X6X1X2X56621000100102-10001-11-1j=cj-zj-7800-2-20-3增加新約束條件的分析總結(jié)1、將最優(yōu)解代入新的約束條件，若滿足，則最優(yōu)解不變。2、若不滿足，則當(dāng)前最優(yōu)解要發(fā)生變化；將新增約束條件加入最優(yōu)單純形表，并變換為標(biāo)準(zhǔn)型。3、利用對偶單純形法繼續(xù)迭代。為什么可以利用對偶單純形法?例2

以云天公司為例，假設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、B還需要經(jīng)過一道環(huán)境檢測工序。產(chǎn)品A每件需環(huán)境檢測3小時，產(chǎn)品B每件需環(huán)境檢測2小時，又環(huán)境檢測工序每天可用能力為36小時。試分析增加該工序后的云天公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃。例2:云天公司生產(chǎn)計劃問題產(chǎn)品資源產(chǎn)品A產(chǎn)品B資源總量煤（噸）1230勞動日（天）3260倉庫（m2）0224環(huán)境監(jiān)測（小時）3236利潤（千元）4050

將原最優(yōu)解x1=15，x2=15/2代入上式知，原最優(yōu)解不滿足該約束條件，因而原最優(yōu)解不再是增加約束條件以后的最優(yōu)解。

這個問題相當(dāng)于在原問題的基礎(chǔ)上增加約束條件

在新的約束條件中引入松馳變量x6，則有將該條件填入最優(yōu)單純形表中：將該單純形表標(biāo)準(zhǔn)化：用對偶單純形法迭代，得問題的最優(yōu)解如下：增加約束條件以后的最優(yōu)解為：x1=4，x2=124.3軟件求解與分析一、問題的提出例4-6

某公司飼養(yǎng)實驗用的動物并出售給動物研究所，已知這些動物的生長對飼料中的3種營養(yǎng)成分（蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)