2011年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí) 9-3直線和平面垂直、平面與平面垂直精品課件

第三節(jié)直線和平面垂直、平面與平面垂直知識自主·梳理最新考綱1.掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．2．掌握斜線在平面上的射影的概念．3．掌握三垂線定理及其逆定理．4．掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．高考熱點1.以選擇題形式考查線面、面面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．2．以解答題的形式考查多面體中的線面垂直或面面垂直.1.直線和平面垂直(1)定義：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的

，那么就說這條直線l和平面α互相垂直．(2)判定方法ⅰ.定義ⅱ.判定定理：任意一條直線都垂直2．兩個平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直．直二面角1．無論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線與線的垂直，這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想方法，在解題時非常重要，在處理實際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再從結(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”．重點辨析2．在線面垂直和面面垂直的判定定理，有一些非常重要的限制條件，如“兩條相交直線”“一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線”等，這即為證明指明了方向，同時又有很強的制約性，所以使用這些理時，一定要注意體現(xiàn)邏輯推理的規(guī)范性．3．三垂線定理及其逆定理所論述的是三個垂直關(guān)系：一是直線與平面垂直(這是前提)；二是平面內(nèi)一條直線與斜線的射影(或斜線)垂直；三是這條直線與斜線(或射影)垂直，構(gòu)成定理的五個元素是“一面四線”．運用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面→作出垂線→找到斜線→連成射影→找面內(nèi)線，其關(guān)鍵是確定平面及平面的垂線．方法規(guī)律·歸納題型一直線和平面垂直的判定與性質(zhì)思維提示①線面垂直的定義②線面垂直的判定定理③注意垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化例1如圖，AC⊥平面α，AB∥平面α，CD?α，點M是AC的中點，點N是BD的中點，若AB＝4，AC＝2，CD＝4，BD＝6.(1)求證：AB⊥平面ACD；(2)求證：MN為AC與BD的公垂線，并計算MN的長．(2)如圖，過B作BE⊥平面α于E，∵AB∥平面α，AC⊥平面α，∴四邊形ABEC是矩形．[規(guī)律總結(jié)]

(1)證線面垂直，需先有線線垂直，在△BAD中應(yīng)用勾股定理的逆定理，可判斷出AB⊥AD，即通過計算來證明垂直關(guān)系，這在高考題中也是常用的方法之一．(2)直角三角形的一條直角邊平行于平面，則直角在該平面內(nèi)的射影仍為直角，將圖形補充完整，把證MN⊥BD轉(zhuǎn)化為證CF⊥平面BDE.等腰三角形底邊的中線垂直于底邊是我們常遇到的一種類型．做這種類型題時，應(yīng)注意抓住這一點．另外反復(fù)運用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理，是解決本題的基本方法.備選例題1如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1的中點．(1)求證：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一點F，使AB1⊥平面C1DF，并說明理由．解：(1)證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D?平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1.(2)作DE⊥AB1于E，延長DE交BB1于F，連結(jié)C1F，則AB1⊥平面C1DF.這是因為AB1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.題型二兩個平面垂直的判定思維提示①利用定義證明兩個平面所成的二面角是直角②利用面面垂直的判定定理證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線例2如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：(1)DE＝DA；(2)平面MDB⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[分析](1)要證明DE＝DA，只需證明Rt△DEF≌Rt△DAB.(2)注意到M為EA中點，可取CA中點N，先證明N點在平面BDM內(nèi)，再證明BN與平面ECA垂直即可．(3)仍需證明平面DEA經(jīng)過平面ECA的一條垂線．[規(guī)律總結(jié)]

在證明兩平面垂直時，

一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決；而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加，在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．要熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化運用.備選例題2

(2010·菏澤模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．(1)證明：AD⊥D1F；(2)求AE與D1F所成的角；(3)證明：面AED⊥面A1FD1.解：(1)證明：∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴AD⊥平面DCC1D1.∵D1F?平面DCC1D1，∴AD⊥D1F.(2)設(shè)G為AB的中點，連結(jié)A1G、FG，因為F是CD的中點，所以GF∥AD，且GF＝AD.又A1D1∥AD，且A1D1＝AD，所以四邊形GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F.設(shè)A1G與AE相交于H，則∠A1HA是AE與D1F所成的角．因為E是BB1的中點，所以△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，從而∠A1HA＝90°，故直線AE與D1F所成的角為90°.(3)證明：由(1)(2)得：D1F⊥AD，D1F⊥AE，AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面AED，∴平面A1D1F⊥平面AED，即平面AED⊥平面A1D1F.題型三兩個平面垂直的性質(zhì)思維提示①面面垂直的性質(zhì)定理②線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化例3已知：三棱錐P－ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．[分析]

已知條件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到平面垂直的性質(zhì)定理，便有如下解法．[證明]

(1)在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又PA?平面PAC.，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC內(nèi)且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連結(jié)BE并延長交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

[規(guī)律總結(jié)]

已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得到結(jié)論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．第(2)問的關(guān)鍵是靈活利用(1)問的結(jié)論.備選例題3

(2010·泉州模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D為側(cè)面ABB1A1的中心，E為BC的中點．(1)求證：平面DB1E⊥平面BCC1B1；(2)求異面直線A1B與B1E所成的角．解：(1)證明：連結(jié)AE.∵AB＝AC，且E為BC的中點，∴AE⊥BC，∵BB1⊥平面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥平面BCC1B1，∴平面DB1E⊥平面BCC1B1.題型四三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用思維提示①線線垂直、線面垂直的判定與性質(zhì)②三垂線定理及其逆定理例4如圖所示，△ADB和△ADC都以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.(1)求證：BD⊥平面ADC；(2)若H為△ABC的垂心，求證：H是D在平面ABC內(nèi)的射影；(3)若M、N分別是△ABD與△BCD的重心，求證：MN∥面ADC.[分析]

(1)“射影”與“垂直”相連，“證線面垂直，先找線線垂直”；(2)“垂心”是“高”的交點，線線垂直，由此根據(jù)三垂線定理去找；(3)“重心”有個性質(zhì)，把中線分為2∶1，“平行”當(dāng)然由平行截割定理而得到．[證明]

(1)∵AD＝BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC為直角三角形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.(2)如圖所示，設(shè)D在△ABC內(nèi)的射影為H′，連結(jié)CH′延長并交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥面ADB，∴CD⊥AB，由三垂線定理得CE⊥AB.同理，連BH′并延長交AC于F，BF⊥AC.∴H′為△ABC的垂心，即D在平面ABC內(nèi)射影為△ABC的垂心，∴H′與H重合，H是垂心．[規(guī)律總結(jié)]

三垂線定理及其逆定理所論述的是三個垂直關(guān)系：一是直線與平面垂直；二是平面內(nèi)一條直線與斜線的射影(或斜線)垂直；三是這條直線與斜線(或射影)垂直，構(gòu)成定理的五個元素是“一面四線”，運用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面→作出垂線→找到斜線→連成射影→找面內(nèi)線，其關(guān)鍵是確定平面及平面的垂線.備選例題4如圖所示，△ABC所在平面α外一點P，已知PA⊥BC，PB⊥AC.求證：(1)P在平面α內(nèi)的射影是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.證明：(1)作PO⊥平面α于O點，連結(jié)AO，并延長交BC于D.連結(jié)BO并延長交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂線定理逆定理)．同理，AC⊥BE，∴O為△ABC的垂心．(2)連結(jié)OC，∵O為△ABC的垂心，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂線定理).例1證明：斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上．[解題思路]

如圖，AC是平面α的斜線，點C是斜足，AB⊥α，點B是垂足，則BC是AC在平面α上的射影．在AC上任取一點P，過點P作PO⊥α，垂足為O.∵AB⊥α，∴PO∥AB，∵點P在A、B、C三點確定的平面上，因此，PO?平面ABC，∴O∈BC.[錯因分析]

對于平面α，直線AB是垂線，垂足B是點A的射影；C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．在AC上任取一點P，過P作PO⊥α交BC于O，∴點P在平面α上的射影在BC上．這樣的證明似乎有點道理，事實上這些點也是在這條斜線在該平面的射影上，點在這條斜線在該平面射影上的理論根據(jù)不足，過點P作PO⊥α交BC于O，恰恰是本題易犯的邏輯錯誤，許多同學(xué)在解題中往往錯而不覺，對