特征值和特征向量矩陣的相似對角化

第四章特征值和特征向量、一特征值與特征向量的概念二特征值和特征向量的求法第一節(jié)特征值與特征向量三特征值和特征向量的性質(zhì)一、特征值與特征向量的概念定義Ａ為ｎ階方陣，λ為數(shù)，為ｎ維非零向量，若則λ稱為Ａ的特征值，稱為Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組①特征向量，特征值問題只針對方陣；有非零解的λ值，即滿足的λ都是方陣Ａ的特征值．④一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值；⑤一個(gè)特征值有無窮個(gè)特征向量；若，則定義設(shè)n階方陣則稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.定義稱以λ為未知數(shù)的一元ｎ次方程為Ａ的特征方程,稱為特征方程組.二、特征值與特征向量的求法注：n階方陣A的特征多項(xiàng)式為的n次多項(xiàng)式，n階方陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)特征值.例1求矩陣的特征值和特征向量.求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟：1.計(jì)算特征多項(xiàng)式2.求出特征方程的根即為A的特征值3.求方程組的基礎(chǔ)解系即為A的屬于特征值的線性無關(guān)特征向量，基礎(chǔ)解系的線性組合即為全部特征向量.例2求矩陣的特征值和特征向量.例3求矩陣的特征值和特征向量.注：比較例2和例3的結(jié)果可得如下結(jié)論：屬于某一特征值的線性無關(guān)的特征向量可能不止一個(gè).定理設(shè)ｎ階方陣的特征值為則證明①當(dāng)是Ａ的特征值時(shí)，Ａ的特征多項(xiàng)式可分解為令得即二、特征值和特征向量的性質(zhì)定理一個(gè)n階方陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值.證明②因?yàn)樾辛惺剿恼归_式中，主對角線上元素的乘積是其中的一項(xiàng)，由行列式的定義，展開式中的其它項(xiàng)至多含ｎ－２個(gè)主對角線上的元素，含的項(xiàng)只能在主對角線上元素的乘積項(xiàng)中．故有比較①，有因此，特征多項(xiàng)式中定義方陣Ａ的主對角線上的元素之和稱為方陣Ａ的跡.記為推論１ｎ階方陣Ａ可逆Ａ的ｎ個(gè)特征值全不為零.若數(shù)λ為可逆陣的Ａ的特征值，則則為的特征值．推論２則為的特征值．推論３則為的特征值．推論４則為的特征值．推論５特別單位陣Ｅ的一個(gè)特征值為１．定理三、應(yīng)用舉例１、若λ＝２為可逆陣Ａ的特征值，則的一個(gè)特征值為（）２、證ｎ階方陣Ａ的滿足，則Ａ的特征值為０或１．３、三階方陣Ａ的三個(gè)特征值為１、２、０，則（）４、求下列方陣的特征值與特征向量四、特征向量的性質(zhì)定理互不相等的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。定理互不相等的特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征向量并在一塊，所得的向量組仍然線性無關(guān)。一相似矩陣的定義、性質(zhì)二矩陣可相似對角化的條件三應(yīng)用舉例第二節(jié)矩陣相似對角化一、定義定義設(shè)Ａ、Ｂ都是ｎ階矩陣，若有可逆矩陣Ｐ，使得則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣Ａ與Ｂ相似．稱為對Ａ進(jìn)行相似變換，對Ａ進(jìn)行運(yùn)算可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．記作：Ａ∽Ｂ．二、性質(zhì)（1）反身性：（2）對稱性：（3）傳遞性：Ａ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，則Ｂ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，則Ａ∽Ｃ；定理4.6若ｎ階矩陣Ａ與Ｂ相似，則推論若ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣相似，就是Ａ的ｎ個(gè)特征值．則（1）（2）Ａ與Ｂ有相同的特征多項(xiàng)式和特征值．（3）（4）若能尋得相似變換矩陣Ｐ使對ｎ階方陣Ａ，稱之為把方陣Ａ對角化．三、可相似對角化的條件定理4.6的推論說明，如果ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣Λ相似，那么，使得的矩陣Ｐ又是怎樣構(gòu)成的呢？則Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值．設(shè)存在Ｐ可逆，使得有于是有因?yàn)椋锌赡妫视谑鞘牵恋模顐€(gè)線性無關(guān)的特征向量。反之，即設(shè)可逆，且則Ｐ若Ａ有ｎ個(gè)線性無關(guān)的特征向量所以即Ａ與對角矩陣Λ相似．定理4.7ｎ階矩陣Ａ能與對角矩陣Λ相似Ａ有ｎ個(gè)線性無關(guān)的特征向量．推論如果ｎ階矩陣Ａ有ｎ個(gè)不同的特征值，則矩陣Ａ注意Ｐ中的列向量的排列順序要與的順序一致．（1）可相似對角化．（2）是的基礎(chǔ)解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此Ｐ也是不唯一的．（3）所以如果不計(jì)的排列順序，的根只有ｎ個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）又是唯一的．則例1設(shè)問x為何值時(shí)，矩陣A可相似對角化？例2設(shè)求3.實(shí)對稱矩陣的相似對角化1.n元實(shí)向量的內(nèi)積、施密特正交化方法、正交矩陣2.實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)第三節(jié)實(shí)對稱矩陣的相似對角化一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)1、定義設(shè)ｎ維實(shí)向量稱實(shí)數(shù)為向量α與β的內(nèi)積，記作注：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有２、性質(zhì)（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)推廣性質(zhì)：１、長度的概念二、向量的長度與夾角令為ｎ維向量α的長度（?；蚍稊?shù)）.特別長度為１的向量稱為單位向量.定理4.10（Cauchy不等式）任意兩個(gè)n維實(shí)向量恒有等號成立當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān).（1）非負(fù)性：（2）齊次性：（3）三角不等式：２、性質(zhì)注①當(dāng)時(shí)，②由非零向量α得到單位向量是α的單位向量.稱為把α單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.的過程３、夾角設(shè)α與β為ｎ維空間的兩個(gè)非零向量，α與β的夾角的余弦為因此α與β的夾角為例解練習(xí)三、正交向量組及其求法1、正交當(dāng)，稱α與β正交，記作注①若，則α與任何向量都正交.②③對于非零向量α與β，2、正交組若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個(gè)向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.3、標(biāo)準(zhǔn)正交組由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.定理4.11正交向量組必為線性無關(guān)組.是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組例1已知三元向量試求一個(gè)非零向量，使稱為正交向量組.7、施密特（Schmidt）正交化法1）正交化令將一組線性無關(guān)的向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.就得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.2）標(biāo)準(zhǔn)化令注則兩兩正交，且與等價(jià).上述方法中的兩個(gè)向量組對任意的與都是等價(jià)的.例2用施密特正交化方法將如下向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.四、正交矩陣及其性質(zhì)1、定義如果ｎ階矩陣滿足：則稱Ａ為正交矩陣.則可表示為若Ａ按列分塊表示為Ａ＝亦即其中

Ａ的列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交組.定理4.14方陣A為正交矩陣的充要條件是3、正交變換若Ｐ為正交矩陣，則線性變換ｙ=Ｐｘ稱為正交變換.正交變換后向量長度不變,內(nèi)積不變,注夾角不變.若A，B是正交矩陣，則也是正交矩陣.判斷下列矩陣是否為正交矩陣.定理4.15實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).定理4.16實(shí)對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交.定理4.17若ｎ階實(shí)對稱陣Ａ的重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量恰有個(gè)．（不證）定理4.18

若Ａ為ｎ階對稱陣，則必有正交矩陣Ｐ，使得六、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)推論實(shí)對稱矩陣的特征向量是實(shí)向量.

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣可將實(shí)對稱矩陣化為對角矩陣，其具