等差數(shù)列前n項和公式 課件 高中數(shù)學(xué)第一冊（上）函數(shù)特征 課件

等差數(shù)列前n項和公式的Powerpoint課件高中數(shù)學(xué)第一冊（上）函數(shù)特征這個解題過程十分正確，但……我們首先看一個練習(xí)（見教材Ｐ119第７題）：如果等差數(shù)列{an}前4項的和是2，前9項的和是－6，求其前n項和的公式。大多數(shù)同學(xué)的解題過程是：設(shè)這個等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則有：，解之得：∴設(shè)Sn=an2+bn，依題意得：S4=2,S9=－6,另解：∴設(shè)a=d,b=a1－d,則有Sn=an2+bn?！逽n=na1+n(n－1)d=dn2+(a1－d)n,解之得：這種解法是不是容易些？這兩個公式具有函數(shù)特征。即如果把Sn看成以ｎ為自變量的函數(shù)，就可以使用待定系數(shù)法求Sn的函數(shù)解析式。等差數(shù)列的前n項和公式的函數(shù)特征：等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn=an2+bn（a=d,b=a1－d)是一個以n為自變量，前n項和Sn為函數(shù)值的函數(shù)。當d≠0時，它是一個不含常數(shù)項的二次函數(shù)；且當d大于0時，開口向上，當d小于0時，開口向下。當d＝0且a1≠0時，它是一個一次函數(shù)。

從而，我們多了一種解決等差數(shù)列問題的方法——函數(shù)方法?！逽n=dn2＋(a1－d)n=×(－2)n2＋[21－×(－2)]n=－n2＋22n=－(n－11)2＋121，思考這些條件，能得出什么結(jié)論？例1：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=21，公差d=－2，求這個數(shù)列的前n項和Sn的最大值。解：分析：利用前ｎ項和公式的函數(shù)特征，就可以運用二次函數(shù)的性質(zhì)解題。∵a=－1,∴當n＝11時，(Sn)max=121。例２、等差數(shù)列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數(shù)列的前幾項的和最??？審題：由a1＜0,S3=S11可得：d＞0,則等差數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn是一個開口向上的二次函數(shù)，因而存在最小值。由S3=S11可找到系數(shù)a與b的關(guān)系。二次項系數(shù)ａ在此題中的作用是什么？如果ａ小于0，此數(shù)列的前ｎ項和可能存在最大值。如果ａ小于0，此數(shù)列的前ｎ項和是否存在最小值？解：依題意可設(shè)Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．∵a>0,∴當n=7時，(Sn)min=－49a,∴這個數(shù)列的前7項的和最小。例２：等差數(shù)列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數(shù)列的前幾項的和最??？∵a1<0,S3=S11,∴d>0，即a=d>0，

∵a1>0,S3=S11,∴d<0，即a=d<0，依題意可設(shè)Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．這幾處與例2不同?！遖<0,∴當n=7時，(Sn)max=－49a,∴這個數(shù)列的前7項的和最大。解：例２的變式題一：等差數(shù)列{an}中，首項a1>０，S3=S11，問：這個數(shù)列的前幾項的和最大？此兩處用字母替代后，又怎么解呢？依題意可設(shè)Sn=an2+bn，例2的變式題二：等差數(shù)列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，當m≠l時，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,問:n為何值時，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題?！郤n=an2－(m+l)an=a(n－)2－。∵a1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，ｎ一定要為正整數(shù)，但這個式子不一定表示一個正整數(shù)。此結(jié)論正確嗎？∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－。怎樣解決這個問題？分類討論！∵a<0,∴當n=時，Sn有最大值?！適∈N+，l∈N+,∴不一定為正整數(shù)，當為奇數(shù)時，由于離對稱軸最近的整數(shù)為n=時，因而當n=時，Sn最大?！喈敒榕紨?shù)時，n=時，Sn最大；3（1992年全國高考題）:設(shè)等差數(shù)列{an}的前ｎ項和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,S12中哪個值最大，并說明理由。練習(xí)與作業(yè)：1:等差數(shù)列{an}的前ｎ項和Sn滿足S5=95,S8=200,求Sn。2:若數(shù)列{an}的前ｎ項和Sn滿足Sn=an2+bn,試判斷{an}是否是等差數(shù)列。設(shè)Sn=an2+bn,則有：。解之得：，∴Sn=3n2+n。1、略解：2、略解：是。簡單提示：利用公式：3、略解（1），（2）S6最大。小結(jié)：3、用函數(shù)方法解決數(shù)列問題時，要注意數(shù)列本身所固有的性質(zhì)：n只能為正整數(shù)。2、靈活運用函數(shù)知