《角平分線模型》

角平分線模型的構(gòu)造角平分線⑴定義：如圖2-1,如果/人08=/80。，那么NA0C=2NA0B=2NB0C,像OB這樣，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫作這個(gè)角的角平分線．圖2-1(2)角平分線的性質(zhì)定理①如果一條射線是一個(gè)角的平分線，那么它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，②在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．(3)角平分線的判定定理①在角的內(nèi)部，如果一條射線的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且把一個(gè)角分成兩個(gè)等角，那么這條射線是這個(gè)角的平分線，②在角的內(nèi)部，到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型，

已知P是NMON平分線上一點(diǎn),⑴若PA，0M于點(diǎn)A,如圖2-2(a),可以過P點(diǎn)作PB，ON于點(diǎn)B,則PB二「人.可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”.⑵若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，如圖2-2出)，可以在ON上截取OB=OA,連接「8,構(gòu)造40「8640「人.可記為“圖中有角平分線，可以將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)”．閉若人「，0「于點(diǎn)「，如圖2-2(0,可以延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B,構(gòu)造△AOB是等腰三角形，「是底邊AB的中點(diǎn)，可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”．⑷若過P點(diǎn)作PQ〃ON交OM于點(diǎn)。，如圖2-26),可以構(gòu)造^「0。是等腰三角形，可記為“角平分線十平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”．例例如圖2-9匕)，AB=AC,BD,CD分別平分NABC,NACB.問:(l)圖2-9(a)中有幾個(gè)等腰三角形⑵過D點(diǎn)作EF〃BC,如圖2-9(b),交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,圖中又增加了幾個(gè)等腰三角形閉如圖2-9(0,若將題中的4人8。改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三角形直接寫出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系(4)如圖2-9&),BD平分NABC,CD平分外角NACG.DE〃BC交人8于點(diǎn)￡，交AC于點(diǎn)F線段EF與BE、CF有什么關(guān)系并說明理由.⑸如圖？4?,BD、CD為外角NCBM、NBCN的平分線，DE〃BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,直接寫出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系,AD平分例7如圖2-10(a)所示，已知AABC中，AC,AD平分NCAB,求證：AB=ACD變式1如圖變式1如圖2-11所示，已知AABC中，NA=108°,BD平分NABC.求證：BC=AB+CD.AB=AC，變式2如圖2-12,已知AABC中，AB=AC,NA=IOO°,BD平分NABC,求證：BC=BD+AD.例8如圖2-13(a),OP是NMON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，請(qǐng)你參考上圖構(gòu)造全等三角形的方法，解答下列問題：⑴如圖2-13（b）,在AABC中，NACB是直角，NB=60°,AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2-136）,在AABC中，如果/ACB不是直角，而（l）中的其他條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得結(jié)論是否依然成立若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．圖2-13(c)牛刀小試⑴如圖？-^(a),在AABC中，NABC與NACB的角平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)17作口17〃8。，交人8于點(diǎn)口，交人。于點(diǎn)￡，若BD+CE=9,則線段DE之長(zhǎng)為()(2)如圖2-14(b),在AABC中，BD、CD分別平分NABC和NACB,DE〃AB,FD〃AC.,BC=6,求4DEF的周長(zhǎng)，2.已知：如圖2-15,NBAD=NCAD,AB>AC,CDLAD于點(diǎn)是BC中點(diǎn).求證：DH=1(AB-AC).2

BC=CD.3、已知如圖2-16,四邊形ABCD中，NB+=D=180°,BC=CD.求證：AC平分NBAD..如圖2-17,4ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP交于點(diǎn)「，連接AP、CP,若NBPC=40。，求NCAP的度數(shù).

.已知：如圖2-18,在四邊形中，BC>AB,AD=CD,BD平分NABC.求證：NA+NC=180°.在平行四邊形ABCD中，NBAD的平分線交直線8。于點(diǎn)￡,交直線DC于點(diǎn)F.⑴在圖2-19(a)中證明CE=CF；出若/人8。=90,G是EF的中點(diǎn)(如圖2-19(b),直接寫出出若/人8。=90度數(shù)；度數(shù)；閉若/ABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分別連接DB、口6(如圖2-19(c),求NBDG的度數(shù).圖2-19(c)G圖2-19(c)G.已知：如圖2-20,在AODC中，ND—90°,EC是NDCO的角平分線，且OE=CE,過點(diǎn)E作EF，OC交OC于點(diǎn)F.猜想