抽象代數(shù)期末考試試卷及答案

抽象代數(shù)期末考試試卷及答案近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：1．，；2．兩個(gè)都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R的一個(gè)理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1?！唬袛囝}(每小題2分,共20分)1.實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法成群.（）2.若是群的一個(gè)非空有限子集，且都有成立，則是的一個(gè)子群.（）3.循環(huán)群一定是交換群.4.素?cái)?shù)階循環(huán)群是單群.（）（）5.設(shè)是有限群，，是的階，若，則.（）6.設(shè)是群到群的同態(tài)映射，是的子群，則7.交換群的子群是正規(guī)子群.是的子群.（）（）8.設(shè)是有限群，是的子群，則9.有限域的特征是合數(shù)..（）（）10.整數(shù)環(huán)的全部理想為形如二．選擇題(每小題3分,共15分)的理想.（）11.下面的代數(shù)系統(tǒng)中，（）不是群.A.為整數(shù)集合，為加法；B.為偶數(shù)集合，為加法；C.為有理數(shù)集合，為加法；D.為整數(shù)集合，為乘法.12.設(shè)是的子群，且有左陪集分類A.6；B.24；C.10；D.12..如果的階為6，那么的階（）13.設(shè)，則中與元不能交換的元的個(gè)數(shù)是A.1；B.2；C.3；D.4.14.從同構(gòu)的觀點(diǎn)看，循環(huán)群有且只有兩種，分別是（）A.G=（a）與G的子群；B.整數(shù)加法群與模的剩余類的加法群；C.變換群與置換群；D.有理數(shù)加法群與模的剩余類的加法群.15.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是()。A.1個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無限個(gè)三．填空題(每小題3分,共15分)16.如果是全體非零有理數(shù)的集合，對(duì)于普通乘法來說作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是17.次對(duì)稱群的階是____________..18.整數(shù)加法群關(guān)于子群的陪集為.19.設(shè)是的正規(guī)子群，商群20.若是交換環(huán),四．計(jì)算題(第21小題8分,第22小題12分，共20分)中的單位元是。則主理想____________.21.令，，，計(jì)算.22.設(shè)是3次對(duì)稱群的子群，求的所有左陪集和右陪集，并說明是否是的正規(guī)子群.五．證明題(每題10分,共30分)23.設(shè)是群，是的子群，證明：，則也是子群24.設(shè)是群，是的正規(guī)子群.關(guān)于的陪集的集合為，證明：對(duì)于陪集的乘法成為一個(gè)群，稱為對(duì)的商群.25.證明：域上全體矩陣的集合在矩陣的加法和乘法下成為環(huán).一．判斷題(每小題2分,共20分)1-10××√√√√√√×√二．選擇題(每小題3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空題(每小題3分,共15分)16.1；17.；20.；18.；19..四．計(jì)算下列各題(第21小題8分,第22小題12分，共20分)21.解：，4分8分.22.解：的所有左陪集為，，；4分的所有右陪集為.對(duì)，有，即是正規(guī)子群.12分4分五．證明題(每題10分,共30分)23.證明：因?yàn)槭堑淖尤?，?duì)任意，有.由題意，對(duì)任意，有，從而，即也是子群.10分24.證明：首先對(duì)于上述乘法是封閉的，且乘法滿足結(jié)合