高等代數(shù)試卷

河南理工大學2009—2010學年第2學期《高等代數(shù)》試卷本試卷考試分數(shù)占學閱卷人復查人考試方式總得分生總評成績比率閉卷80%得分一、填空：（每題5分，共55分）,L,x)的規(guī)范形由所獨一確立.12n222時，二次型f(x1,x2,x3)x1x25x32tx1x22x1x34x2x32．t滿足a的全體特色值的和等于，全體特色值的積等于3．復矩陣Aij)nn(1,2,3A35A27E4．AC看作復數(shù)域C上的線性空間，它的維數(shù)是，。6．已知A1＝，A＝.是一個正交矩陣，那么P中的一個固定的數(shù)，而W{(a,x2,L,xn)xiP,i2,L,n}是aP＝，維(W)＝.88，若A的初等因子為：8．設AC(2,(i)3,(i)31)則A的若當標準形為

是正定二次型...9．設1,2,3是線性空間V的一組基，則由基1,2,3到基2,3,1的過渡矩陣T＝，10．設線性空間P3的線性變換為：(x1,x2,x3)(x1,x2,x1x2)則在標準基1,2,3下的矩陣為.11．設W1aba0b|a,bR，W20|a,bR0b則W1W2.W1IW2=.得分二、計算與證明：（共45分）1．（5分）證明：假如A,B都是n階正定矩陣，則AB也是正定矩陣.2（．15分）已知二次型fx1,x2,x3x122x222x324x1x24x1x38x2x3，求一個正交變換XPY,把二次型f(x1,x2,x3)化為標準型.3．（10分）設V1與V2分別是齊次方程組x1x2Lxn0與x1x2Lxn的解空間，證明PnV1V2.4．（15分）設P22是數(shù)域P上的2級全體方陣所成的線性空間，定義P22的一個線性變換以下：(X)11XXP2211（1）求在基E11,E12,E21,E22下的矩陣；（2）求的值域.答案一、填空：（每題4分，共56分）1）f的秩和正慣性指數(shù)p;2）4t0;3）a11a22Lann,A;54）3，-5，-11;5)1,2;6)A,1;111i0011i7)1,n1;8);9)100;1i010i1i1i100100100),L(10)；10）010;11）L(,,11000100100二、計算與證明：（共44分）1.（5分）證明：令fXT(AB)X則fXT(AB)XXTAXXTBX因為A,B都是正定矩陣，因此對任意的X0，有XTAX0,XTBX0因此fXTAXXTBX0，則二次型fXT(AB)X為正定二次型，因此AB為正定矩陣。2．（15分）解122二次型f的矩陣為224EA(7)(2)2242故A的特色值為17,232．當17時,解方程(A7E)x0，由1132得基礎解系12.取P13223當232時，解方程(A2E)x0，由22得基礎解系21，30012254將1,2正交化得21，35011212再將2,1，p343單位化得p250355于是正交矩陣為1223535214T5353205335122x13535y1214則正交變換為x2y23535x3y3250335則有f7y122y222y32．3.證：x1x2Lxn0的解空間是n1維，基為1(1,1,0,L,0),2(1,0,1,L,0),L，n1(1,0,0,L,1),x1x2Lxn的解空間的基為(1,1,1,L,1),110L0101L1因為由1,2,L,n1,構成的矩陣A滿足AMMMM(1)n1n0100L0111L1因此1,2,L,n1,為Pn的基，故PnV1V2又因為dimPnndimV1dimV2因此PnV1V214.解1)E1110(E11,E12,E21,E22)0AE110,110近似有0E12(E11,E12,E21,E22)1,011E21(E11,E12,E21,E22)0,100E22(E11,E12,E21,E22)1,01設在基E11,E12,E21,E22下的矩陣為B，則10100101B.101001012)令B(1,2,3,4),此中i為B的列向量，因為秩B=2，且1,2為1,2,3,4的一個極大線