Ch一元微分學(xué)實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1Ch一元微分學(xué)實(shí)用(切線的一般定義)點(diǎn)為曲線上一定點(diǎn),過點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)，斜率為即時(shí)，可見割線趨向于一條直線,此即切線.當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向于點(diǎn)因此切線為割線的極限位置.定義1第1頁/共99頁二、導(dǎo)數(shù)的定義在點(diǎn)

（導(dǎo)數(shù)的定義）對(duì)于函數(shù)在點(diǎn)的自變量的增量以及相應(yīng)地的因變量的增量定義2如果函數(shù)的局部變化率

有極限，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為；否則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。第2頁/共99頁根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，令顯然時(shí)因此得到導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式第3頁/共99頁例1已知存在，求解：原式=第4頁/共99頁例2用導(dǎo)數(shù)定義證明函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)為證明：第5頁/共99頁例3用導(dǎo)數(shù)定義證明函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)為證明：時(shí)第6頁/共99頁例4用導(dǎo)數(shù)定義證明函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)為證明：時(shí)第7頁/共99頁

幾個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式第8頁/共99頁三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率：切線方程：法線方程：思考：

或時(shí)切線/法線是什么？第9頁/共99頁求曲線在點(diǎn)處的法線方程。解：所求法線方程為例5第10頁/共99頁解：例6已知直線與曲線上點(diǎn)處的切線平行，求點(diǎn)的坐標(biāo)。已知直線的斜率為設(shè)點(diǎn)，則所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為因此第11頁/共99頁四、左右導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)定理1（可導(dǎo)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。第12頁/共99頁證明：定理2的逆命題不成立，即函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)不一定是可導(dǎo)點(diǎn)。注意：定理2（可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系）在點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。第13頁/共99頁解：例7討論在處的可導(dǎo)性。所以函數(shù)在處不可導(dǎo)。第14頁/共99頁§2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理1

（導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算）如果都存在，則第15頁/共99頁推論注意：第16頁/共99頁例1第17頁/共99頁基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式（續(xù)）第18頁/共99頁例2第19頁/共99頁分析:本題也可以直接使用商的求導(dǎo)法則,但注意到函數(shù)的特點(diǎn)，將函數(shù)恒等變形為冪函數(shù)，則更簡(jiǎn)單.例3已知，求第20頁/共99頁定理2

（鏈?zhǔn)椒▌t）如果函數(shù)在可導(dǎo)，而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也可導(dǎo)，并且二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則☆☆☆第21頁/共99頁鏈?zhǔn)椒▌t的證明:令則從而即第22頁/共99頁因此鏈?zhǔn)椒▌t的證明（續(xù)）:第23頁/共99頁

基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的推廣形式第24頁/共99頁基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的推廣形式（續(xù)）第25頁/共99頁意味著例如注意推廣形式中的“三位一體”現(xiàn)象，即第26頁/共99頁例4例5已知，求兩層模型法第27頁/共99頁例6例7已知，求第28頁/共99頁例8先加減，再乘除，最后復(fù)合已知，求第29頁/共99頁冪指函數(shù)例9已知，求第30頁/共99頁抽象函數(shù)例10已知且可導(dǎo)，求解：第31頁/共99頁求出這個(gè)函數(shù)的過程稱之為隱函數(shù)的顯化．有時(shí)方程雖然確定了相應(yīng)的函數(shù)，但“云深不知處”，很難（甚至是不可能）將隱函數(shù)顯化．三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如就無法顯化。問題：能否繞開函數(shù)的顯化來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？已知方程確定函數(shù)第32頁/共99頁例11已知方程確定函數(shù)求分析：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到，因此可以使用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t來求導(dǎo)。解：方程兩邊取對(duì)數(shù)，并化簡(jiǎn)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，則第33頁/共99頁第34頁/共99頁例12已知函數(shù)，求分析：將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易求導(dǎo)的等價(jià)方程解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，則即所以第35頁/共99頁例13求橢圓在點(diǎn)處的切線方程。從而所以切線方程為解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，則第36頁/共99頁例14已知函數(shù)，求解：方程兩邊取對(duì)數(shù)，并化簡(jiǎn)，得對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊對(duì)求導(dǎo)，則第37頁/共99頁四、高階導(dǎo)數(shù)對(duì)于函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記為類似地，函數(shù)在點(diǎn)的三階導(dǎo)數(shù)為第38頁/共99頁證明函數(shù)滿足微分方程例15證明：所以第39頁/共99頁例16已知函數(shù)，求解：第40頁/共99頁

一般地，對(duì)于函數(shù)，其階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù)，記為第41頁/共99頁例17已知函數(shù)，求解：第42頁/共99頁例18解：已知函數(shù)，求第43頁/共99頁§3微分一、微分的定義面積面積改變量引例有一正方形鋼板，邊長(zhǎng)為，面積為加熱后邊長(zhǎng)第44頁/共99頁

對(duì)于函數(shù)，存在與自變量的增量無關(guān)的常數(shù)，使得因變量的增量滿足則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，其微分為即或定義1說明微分

是自變量的增量

的線性函數(shù)第45頁/共99頁定理2（可導(dǎo)與可微的關(guān)系）在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并且。說明

微分的計(jì)算公式令則第46頁/共99頁解：例1已知，求例2已知方程確定函數(shù)求解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得所以第47頁/共99頁二、微分的幾何意義如圖可知,幾何意義:

取曲線上點(diǎn)及點(diǎn)為點(diǎn)處的切線,為曲線在該點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量.第48頁/共99頁三、微分的應(yīng)用---近似計(jì)算說明：在可微曲線的任意一個(gè)可微點(diǎn)附近,可用曲線在該點(diǎn)的切線近似代替曲線,即“以直代曲”。所以令則第49頁/共99頁解：例3求的近似值.令取，則所以即第50頁/共99頁前兩種是基本的，后五種都可以轉(zhuǎn)化為前兩種七種不定式：這里表示無窮小，表示無窮大?！?洛必達(dá)法則---計(jì)算極限的高級(jí)方法為什么不定式只有7種?思考：第51頁/共99頁

轉(zhuǎn)化方式第52頁/共99頁定理1（洛必達(dá)法則I

）函數(shù)和滿足（1）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)；1、型不定式（2）；（3）極限或。則第53頁/共99頁注意：自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：？！第54頁/共99頁例2洛必達(dá)例1洛必達(dá)第55頁/共99頁例3解法一：原式洛必達(dá)解法二：原式洛必達(dá)第56頁/共99頁例4解法一：原式洛必達(dá)解法二：令，則原式第57頁/共99頁例5洛必達(dá)第58頁/共99頁定理2（洛必達(dá)法則II

）函數(shù)和滿足（1）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)；2、型不定式（2）；（3）極限或。則第59頁/共99頁注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：第60頁/共99頁例6洛必達(dá)第61頁/共99頁例7例8洛必達(dá)洛必達(dá)洛必達(dá)洛必達(dá)第62頁/共99頁例9類比無窮小的比較，從趨向于無窮大的速度看，冪函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)“跑的快”，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)“跑的快”！！洛必達(dá)第63頁/共99頁定理3（冪指函數(shù)的不定式I

）函數(shù)和滿足（1）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)；（2）；則3、其他不定式第64頁/共99頁定理4（冪指函數(shù)的不定式II

）函數(shù)和滿足（1）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)；（2）；則這個(gè)結(jié)論在第一章已經(jīng)見過了。第65頁/共99頁注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：第66頁/共99頁例10洛必達(dá)第67頁/共99頁例11洛必達(dá)第68頁/共99頁例12洛必達(dá)第69頁/共99頁例13解法一：原式洛必達(dá)第70頁/共99頁例13解法二：原式第71頁/共99頁例14洛必達(dá)第72頁/共99頁4、幾點(diǎn)注意(1).洛必達(dá)法則雖然是“高等”的方法，但并不是萬能的，初等的求極限的技巧和方法(主要是等價(jià)無窮小替換和極限四則運(yùn)算法則)仍有用武之地。下面兩例就無法使用洛必達(dá)法則：第73頁/共99頁(2)、求極限的主要問題是綜合應(yīng)用各種方法和技巧，盡可能以最簡(jiǎn)捷的步驟給出問題的答案。求導(dǎo)是“手段”,“目的”是求極限。切記：不能“炫耀武力”，一味求導(dǎo)。(3)、每次使用洛必達(dá)法則之前和之后都要注意整理表達(dá)式，以便繼續(xù)使用法則.(4)、每次使用洛必達(dá)法則之前務(wù)必要判斷待求極限是否是符合要求的兩種待定型。第74頁/共99頁§5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(的性質(zhì))單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)一.函數(shù)的單調(diào)性第75頁/共99頁說明(1)對(duì)于無窮區(qū)間，結(jié)論也成立．(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)僅在該區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零時(shí)結(jié)論也成立．定理1（函數(shù)單調(diào)性的判別法，即充分條件）在點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)。（1）若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。第76頁/共99頁得駐點(diǎn)

。

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例1解:當(dāng)或時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間及內(nèi)是單調(diào)遞增的;在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).令當(dāng)時(shí)，第77頁/共99頁求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例2解:又時(shí)不存在。得駐點(diǎn)所以函數(shù)在區(qū)間及內(nèi)是單調(diào)遞增的;在區(qū)間及內(nèi)是單調(diào)遞減的。第78頁/共99頁例3證明：解:則得駐點(diǎn)顯然時(shí)等號(hào)成立。令（1）當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。所以即（2）當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的。所以即第79頁/共99頁二.函數(shù)的極值

（極值的定義）對(duì)于函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)的任何一點(diǎn)，都有定義1

則稱為函數(shù)的極大值（極小值），為函數(shù)的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。第80頁/共99頁極大點(diǎn)極小點(diǎn)注意:(1)極值是局部概念，最值是整體概念；(2)極值點(diǎn)肯定不會(huì)是端點(diǎn)；(3)極小值可能會(huì)大于極大值；(4)區(qū)間內(nèi)的最值點(diǎn)必為極值點(diǎn)。第81頁/共99頁定理2

（極值的必要條件）可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。即：若存在，且是極值點(diǎn)，則。注意：（1）定理2的逆命題不成立。即駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)。（2）不可導(dǎo)的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。（3）定理2說明駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)都是可能的極值點(diǎn)。第82頁/共99頁定理3

（極值的一階充分條件）兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)異號(hào)的可能的極值點(diǎn)必是極值點(diǎn)。即：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，并且，或函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)但連續(xù)，那么（1）若時(shí)，時(shí)，則點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)。（2）若時(shí)，時(shí)，則點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)。第83頁/共99頁定理4

（極值的二階充分條件）二階函數(shù)值不為零的駐點(diǎn)必是極值點(diǎn)。即：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在二階導(dǎo)數(shù)，并且則：（1）時(shí)點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)。（2）時(shí)點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)。注意對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)值為零的駐點(diǎn)，需要使用其他的方法來判定該點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。第84頁/共99頁解:令，得內(nèi)的駐點(diǎn)例5求函數(shù)在內(nèi)的極值。分析：此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)比較容易求，而且此函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，所以用二階判別法。第85頁/共99頁所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為因?yàn)槎呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，極小值為第86頁/共99頁解:求函數(shù)的極值。例6分析：此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)比較難求，且此函數(shù)有不可導(dǎo)點(diǎn)，所以用一階判別法極大值不存在不存在極小值極小值又時(shí)不存在。得駐點(diǎn)第87頁/共99頁所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為而是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為第88頁/共99頁解:令分析：雖易求二階導(dǎo)數(shù)，但無法用二階判別法解出，故用一階判別法。求函數(shù)的極值。例7得駐點(diǎn)第89頁/共99頁極小值非極值非極值此函數(shù)沒有極大值點(diǎn)和極大值。所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為第90頁/共99頁三、函數(shù)的最值1、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值定理指出了連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值和最小值。如何求呢？步驟：（1）找出函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的所有可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）；（2）計(jì)算區(qū)間內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)的函數(shù)值，以及端點(diǎn)的函數(shù)值；（3）比較計(jì)算出的函數(shù)值，其中最大（小）者就是函數(shù)在該區(qū)間上的最大（?。┲怠５?1頁/共99頁解：例8求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。