D104重積分的應(yīng)用211

會(huì)計(jì)學(xué)1D104重積分的應(yīng)用211例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共23頁二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共23頁故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共23頁若光滑曲面方程為

若光滑曲面方程為隱式則則有且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共23頁例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共23頁計(jì)算圓柱面

被圓柱面

所截的部分的面積解由對(duì)稱性可知A=8A1A1

的方程例3.第6頁/共23頁解曲面的方程為

第7頁/共23頁第8頁/共23頁三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用

“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共23頁將分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共23頁同理可得則得形心坐標(biāo)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共23頁若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度

—對(duì)x

軸的

靜矩—對(duì)y

軸的

靜矩機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共23頁例4.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共23頁四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元

因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共23頁類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共23頁如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共23頁內(nèi)容小結(jié)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束形心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)曲面面積第17頁/共23頁補(bǔ)充.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域

.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共23頁

思考1.證明證:左端=右端機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共23頁思考2.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0時(shí),(03考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共23頁解:

(1)

因?yàn)閮蛇厡?duì)

t

求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄