統(tǒng)計學 第4章變量數(shù)列(上)課件

第四章變量數(shù)列分析

第一節(jié)集中趨勢的測度一、平均指標的概念和作用（一）平均指標的概念P108例：某車間有三名職工，其年齡分別為20、40和54歲。則其平均年齡為：（20+40+54）÷3=38（歲）（二）平均指標的特點１.平均指標將總體各單位標志值的差異抽象化，掩蓋了各單位之間的具體差異，反映總體的綜合數(shù)量特征。（三）平均指標的作用了解P109

二、數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)總體各單位的標志值計算而來，具體包括算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。位置平均數(shù)是根據(jù)標志值所處的位置來確定，主要包括眾數(shù)和中位數(shù)。（一）數(shù)值平均數(shù)的計算1.算術平均數(shù)算術平均數(shù)是平均指標中最常見，也是最重要的平均數(shù)，其應用最為廣泛。它是總體標志總量與總體單位總量的比值。其基本公式為：

【例】甲公司有職工100人，5月份發(fā)放工資總額為230000元，求職工平均工資。職工平均工資=230000/100=2300（元/人）利用公式計算時應注意：課本P109

各變量值必須是同質(zhì)的，分子、分母同屬于同一總體，即分子是分母所具有的標志值，分母是分子的承擔者。

【例】某車間有五名職工，其月工資分別是：2500元、2520元、2550元、2580元、2600元。則其平均工資為：

（2）加權(quán)算術平均數(shù)統(tǒng)計資料經(jīng)過分組，編制變量數(shù)列后應采用加權(quán)平均法計算平均數(shù)。其計算公式為：

式中f—代表權(quán)數(shù)，即變量值出現(xiàn)的次數(shù)。從上式可以看出：加權(quán)算術平均數(shù)的大小不僅取決于總體各單位變量值的大小，而且受各變量值出現(xiàn)的頻數(shù)的影響。某組頻數(shù)大，說明分布在該組的變量值較多，那么該組變量值對算術平均數(shù)的大小影響就大，反之就小。因此把頻數(shù)稱為權(quán)數(shù)。由于分組數(shù)列有單項數(shù)列和組距數(shù)列兩種形式，所以計算加權(quán)算術平均數(shù)又分根據(jù)單項數(shù)列計算加權(quán)算術平均數(shù)和根據(jù)組距數(shù)列計算加權(quán)算術平均數(shù)兩種。①根據(jù)單項數(shù)列計算加權(quán)算術平均數(shù)【例5—14】甲車間有20名工人，按其每日生產(chǎn)零件數(shù)編制數(shù)列如下，求該車間工人平均日產(chǎn)量。日產(chǎn)量（件）（x）工人數(shù)（f）比重（%）21210227352384024315合計20100

②根據(jù)組距數(shù)列計算加權(quán)算術平均數(shù)

根據(jù)組距數(shù)列計算算術平均數(shù)時，按理應先計算各組的平均數(shù)，但在實際工作中為簡化計算是以各組的組中值代替各組的變量值，再按上述單項數(shù)列計算平均數(shù)的方法來計算。

【例】甲車間有30名工人，按其日產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)分組如下表，求該車間工人的平均日產(chǎn)量。

日產(chǎn)量（件）組中值（x）工人數(shù)（f）60—7065570—80751080—90851090以上955合計—30即甲車間工人的平均日產(chǎn)量為80件/人。

注意：以各組組中值來代替各組的變量值會產(chǎn)生誤差，所以，由組距數(shù)列計算的加權(quán)算術平均數(shù)只是實際平均數(shù)的近似值或大約數(shù)?！纠?—16】某種蘋果在甲、乙、丙三個市場上的銷售價格分別為4元/公斤、4.5元/公斤和5元/公斤。如果在三個市場各銷售1元錢的蘋果，試計算蘋果的平均銷售價格?

即蘋果的平均銷售價格為4.46元/公斤。

2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在統(tǒng)計資料分組的情況下，很多時候由于只掌握每組標志值的總和（m）而缺少總體單位數(shù)（f）的資料，不能直接采用加權(quán)算術平均法計算平均數(shù)，則應采用加權(quán)調(diào)和平均法予以計算。

在統(tǒng)計工作中，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是作為加權(quán)算術平均數(shù)的一種變形來使用的，在經(jīng)濟內(nèi)容和計算結(jié)果上與加權(quán)算術平均數(shù)一樣，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)算術平均數(shù)的計算公式可以相互推算，前者是后者的變形。

應用平均指標必須注意的問題：⑴計算和應用平均指標，必須注意總體的同質(zhì)性；⑵用組平均數(shù)來補充說明總體平均數(shù)；⑶計算和運用平均數(shù)時，要注意極端數(shù)值的影響。因為算術平均數(shù)受極端數(shù)值的影響很明顯。強度相對指標與平均指標的區(qū)別：（１）指標的含義不同。強度相對指標說明的是某一現(xiàn)象相對于另一現(xiàn)象發(fā)展的強度、密度或普遍程度；而平均指標說明的是現(xiàn)象發(fā)展的一般水平。（２）計算方法不同。強度相對指標是兩個不同總體但有聯(lián)系的指標之間的比例關系，即分子、分母屬于兩個不同的總體，分母中的個體不一定都具有分子上的標志值。如：人均糧食產(chǎn)量=糧食總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù)（有些人不生產(chǎn)糧食）

人均國民生產(chǎn)總值=國民生產(chǎn)總值/總?cè)丝跀?shù)（有些人如嬰兒沒有產(chǎn)值）。平均指標是在同一總體內(nèi)標志總量和單位總量的比例關系，分母中的個體都具有分子上的標志值，如：M車間職工的平均工資=M車間職工總工資/M車間職工人數(shù)M車間職工的平均年齡=M車間職工總年齡/M車間職工人數(shù)

分子、分母都是指M車間，且分母的每位職工都有自己的工資、年齡。3.幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)是另一種計算平均標志值的平均數(shù)。它是計算平均比率和平均速度常用的一種方法。幾何平均數(shù)不同于算術平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)，它是n個變量值連乘積的n次方根，用字母G表示。幾何平均數(shù)也分簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。1.簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根，適用于計算未分組資料的平均比率或平均速度。

2.加權(quán)幾何平均數(shù)當計算幾何平均數(shù)的每個變量值次數(shù)不同時，則應采用加權(quán)幾何平均數(shù)，它適用于頻數(shù)分布資料計算平均比率或平均速度。其計算公式為：【例】假設有一筆期限為20年的投資按復利計算收益，前10年的年利率為10％，中間5年的年利率為8％，最后5年的年利率為6％，試計算整個投資期內(nèi)的年平均利率。在計算平均年利率時，根據(jù)研究對象的性質(zhì)必須先將各年利率加100％換算成各年本利和，然后，按加權(quán)幾何平均法計算年平均利率。

假設存入一元錢，第一年末本利和為：1×（1+10%）；第二年末本利和為：1×（1+10%）×（1+10%）；第三年末本利和為：1×（1+10%）×（1+10%）×（1+10%）.幾何平均數(shù)的特點：P117（二）位置平均數(shù)的計算

常用的位置平均數(shù)有眾數(shù)和中位數(shù)。由于眾數(shù)和中位數(shù)是根據(jù)標志值所處的位置確定的，因此，稱為位置平均數(shù)。1.中位數(shù)中位數(shù)是指將總體各單位的標志值按照從大到?。ɑ蛘邚男〉酱螅┑捻樞蚺帕校幱谥虚g位置的那個變量值。中位數(shù)的大小不受極端數(shù)值的影響。則整個存期內(nèi)，平均年利率為：確定中位數(shù)時，必須將總體各單位的標志值按大小順序排列。根據(jù)不同的資料，中位數(shù)的計算有以下三種情況：（1）根據(jù)未分組的資料確定中位數(shù)在資料未分組的情況下，先將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后，按下面公式確定中間位置，即中位數(shù)位置。公式為：式中：n—為總體單位數(shù)如果總體單位數(shù)（n）為奇數(shù)，則居于中間位置點的標志值就是中位數(shù)。如果總體單位數(shù)（n）為偶數(shù)，則中位數(shù)為中間位置點的兩個標志值的算術平均數(shù)。中位數(shù)的作用可以替代平均數(shù)，反映總體各單位標志值的一般水平。如果總體各單位的標志值呈等差分布，則：中位數(shù)=平均數(shù)如上例中的甲車間，工人日產(chǎn)量呈等差分布工人日產(chǎn)量的平均值為：（13+14+15+16+17+18+19+20+21）/9=153/9=17（件）

=中位數(shù)（2）根據(jù)單項數(shù)列計算中位數(shù)根據(jù)單項數(shù)列計算中位數(shù)，步驟為：（a）計算各組的累計次數(shù)(采用向下累計或向上累計均可)；（b）確定中位數(shù)的位置（∑f/2）；（c）根據(jù)中位數(shù)位置對照累計次數(shù)來確定中位數(shù)所在的組，中位數(shù)所在組對應的標志值就是中位數(shù)。舉例如下：【例5—23】甲車間有50名工人，按其每日生產(chǎn)零件數(shù)編制數(shù)列如下。試確定該車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。日產(chǎn)量（件）（x）工人數(shù)（f）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)2622502757482830374329104713303503合計50——中位數(shù)位置=∑f/2=50/2=25。第25位落在第三組(向上累計次數(shù)為37，向下累計次數(shù)為43）因此，第三組對應的變量值“28件”即為中位數(shù)?！纠磕吵鞘芯途用窦彝ツ晔杖肭闆r進行了抽樣調(diào)查，具體資料如下表所示。要求：計算該市居民家庭年收入的中位數(shù)。年收入（元）（x）戶數(shù)（戶）（f）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)10000以下100100100010000—20000210

310（m--1）

900（m+1）20000—30000220530（m）690（m）30000—40000200730（m+1）470（m-1）

40000—5000015088027050000以上1201000120合計1000——

根據(jù)上表，組距數(shù)列的中位數(shù)位置為：∑f/2=1000/2=500，這說明第3組(年收入為20000—30000元)為中位數(shù)組。中位數(shù)的主要特點P1211.中位數(shù)是一個位置代表值，不受極端數(shù)值的影響。2.中位數(shù)的取值只與處于中間位置的一個或兩個標志值有關，利用信息不充分。2.眾數(shù)P121概念：眾數(shù)是指在一個統(tǒng)計總體或分配數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多、頻率最高的那個標志值(或?qū)傩员憩F(xiàn))。

例如，同一種商品在市場上經(jīng)常有多種售價，成交數(shù)量最多的那個價格就是該種商品價格的眾數(shù)；用眾數(shù)來反映總體的一般水平成或集中趨勢，具有非常直觀的代表性意義；并且，眾數(shù)不僅可以對數(shù)量標志來計算，還可以對品質(zhì)標志來確定。例如，銷售數(shù)量最多的服裝款式或色彩，也即通常所謂的“流行款式”或“流行色”，也屬于這種意義上的眾數(shù)。作用：眾數(shù)可以近似地代表現(xiàn)象的一般水平。通常，如果只要求掌握一般的、常見的變量值作為研究問題時的參考，就可以不計算其平均數(shù)，而采用眾數(shù)來代替平均數(shù)。

確定眾數(shù)的方法，應視所掌握的資料而定。（1）由單項數(shù)列確定眾數(shù)對于單項數(shù)列，可以通過直接觀察來確定眾數(shù)，即從分布數(shù)列中找出最大頻數(shù)或頻率，其對應的變量值或標志表現(xiàn)就是該數(shù)列的眾數(shù)。【例】2月份，某商場把羊毛衫的銷售情況按尺碼分組如下表，試確定羊毛衫尺碼的眾數(shù)。尺碼（cm）銷售量（件）比重（%）8520109040209570351006030105105合計200100由上表可知，尺碼為95匣米的羊毛衫銷售數(shù)量最多，為70件，占總銷售數(shù)量的35％，所占比重也最大。所以，該商場羊毛衫尺碼的眾數(shù)為95厘米。2．由組距數(shù)列計算眾數(shù)對于組距數(shù)列，眾數(shù)的計算需分兩步進行：(1)從變量數(shù)列中找出頻數(shù)或頻率最大的組，即眾數(shù)組，該組對應的上、下限確定了眾數(shù)的取值范圍。(2)依據(jù)與眾數(shù)組相鄰的兩個組的頻數(shù)，用比例插值法計算眾數(shù)的近似值。計算公式為：d——表示眾數(shù)組的組距。【例】某城市就居民家庭年收入情況進行了抽樣調(diào)查，資料如下表所示。要求：計算該市居民家庭年收入的眾數(shù)。年收入（元）居民戶數(shù)（戶）10000以下10010000—20000210（m-1）20000—30000

220（m）30000—40000200（m+1）40000—5000015050000以上120合計1000從上表可以看出眾數(shù)組為20000-30000元一組，因為這一組居民戶數(shù)最多，達220戶。即該市居民家庭年收入的眾數(shù)為23333.33元。【思考】根據(jù)上例，請用上限公式計算眾數(shù)，比較二者計算結(jié)果是否相同。需要注意的是：上面給出的眾數(shù)計算公式通常只適用于等距數(shù)列，或者至少變量數(shù)列中頻數(shù)較多的幾個組應該是等距的。否則，隨著組距的變化，眾數(shù)組和眾數(shù)都有可能發(fā)生變化，根據(jù)公式計算的結(jié)果就失去客觀意義；并且，根據(jù)上述計算可知：眾數(shù)是總體單位高度集中的變量值，不是根據(jù)全部變量值加以平均求得的，所以它不受極大、極小變量值的影響，僅受其前后相鄰兩組次數(shù)