2022年山西省晉中市壽陽(yáng)縣尹靈芝中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022年山西省晉中市壽陽(yáng)縣尹靈芝中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線的頂點(diǎn)恰好是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且焦距是，則此雙曲線的漸近線方程是(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略2.(文)已知函數(shù)，若存在，且，使成立，則以下對(duì)實(shí)數(shù)、的描述正確的是

[答]（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A由函數(shù)的圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減。若,則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以條件不成立。所以必有，所以選A.3.已知命題“，有成立”，則為A.，有成立

B.，有成立C.，有成立

D.，有成立參考答案：C略4.復(fù)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線，垂足為，與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A.2

B. C. D.參考答案：A

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．H6如圖因?yàn)?，所以A為線段FB的中點(diǎn)，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2∠2=30°∠1=60°．∴．故選：A．【思路點(diǎn)撥】先由，得出A為線段FB的中點(diǎn)，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對(duì)應(yīng)的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．6.設(shè)雙曲線，，的離心率分別為，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的公式，直接分別算出，，，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于雙曲線，可得，則，對(duì)于雙曲線，得，則，對(duì)于雙曲線，得，則，可得出，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率，屬于基礎(chǔ)題.7.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)。城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為

A．0．5小時(shí)

B．I小時(shí)

C．1．5小時(shí)

D．2小時(shí)參考答案：8.已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是（

）參考答案：A略9.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于220C”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有

(

)A．0個(gè)

B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)參考答案：C略10.函數(shù)的圖象的大致形狀是參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為第一象限角，，則

．參考答案：,因?yàn)?，所?-因?yàn)椋?，為第一象限角，所以，所以故答案為：

12.已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1+a22=－3，S5=10，則a9的值是

．參考答案：20設(shè)公差為，則由題意可得，，解得，，則．13.求展開(kāi)式的x2項(xiàng)的系數(shù)是．參考答案：1考點(diǎn)： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．

專題： 計(jì)算題．分析： 先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得展開(kāi)式的x2項(xiàng)的系數(shù)的值．解答： 解：由于展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?=?34﹣r?，令=2，可得r=4，故展開(kāi)式的x2項(xiàng)的系數(shù)是=1，故答案為1．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．14.已知函數(shù)（>0,）的圖象如右圖所示，則=

.

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

C3由圖像可得，，所以，，因?yàn)椋?，故答案?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像可得函數(shù)的正確為，根據(jù)周期公式可得，因?yàn)樵谔幦〉米钚≈?，所以，可求得結(jié)果.15.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則求得z的值，再根據(jù)它是純虛數(shù)，求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)==為純虛數(shù)，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為

.參考答案：略17.已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選出一種填空．）參考答案：必要不充分【考點(diǎn)】充要條件．【專題】空間位置關(guān)系與距離；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】可以想象兩平面垂直，平面內(nèi)的直線和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面內(nèi)，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，這根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分條件．【解答】解：由m?α，α⊥β得不出m⊥β，因?yàn)閮善矫娲怪?，其中一平面?nèi)的直線可以和另一平面平行；若m?a，m⊥β，則根據(jù)面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分條件．故答案為必要不充分．【點(diǎn)評(píng)】考查面面垂直時(shí)平面內(nèi)的直線和另一平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理，以及充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在[0，]上的值域．參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值．【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可．（2）求出相位的范圍，然后求解函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由題意知，．令，即，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）可知，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故f（x）在上的值域?yàn)椋?9.（1）已知不等式|2x+t|﹣t≤8的解集是{x|﹣5≤x≤4}，求實(shí)數(shù)t；（2）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=2，求x+y+z的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）由不等式|2x+t|﹣t≤8求得它的解集，再根據(jù)它的解集是{x|﹣5≤x≤4}，求得實(shí)數(shù)t的值．（2）由條件利用柯西不等式求得x+y+z的最大值．【解答】解：（1）由不等式|2x+t|﹣t≤8，可得﹣8﹣t≤2x+t≤t+8，求得﹣4﹣t≤x≤4．結(jié)合它的解集是{x|﹣5≤x≤4}，可得實(shí)數(shù)t=1．（2）∵實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=2，利用柯西不等式得[x2++]?[1+4+9]=2×14≥（x+y+z）2，求x+y+z≤=2，故x+y+z的最大值為2．20.（1）已知數(shù)列{an}中，，，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求證：．（2）在數(shù)列{an}中，a1=1，，n∈N*，其中實(shí)數(shù)c≠0．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，求c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意可得1﹣an+1=1﹣sin（an），令bn=1﹣an，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，運(yùn)用分析法證明，結(jié)合x(chóng)＞0時(shí)，sinx＜x，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得證；（2）（Ⅰ）在數(shù)列{an}中，a1=1，，n∈N*，可得=+2n+1，運(yùn)用數(shù)列恒等式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到所求；（Ⅱ）由對(duì)一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，可得一切k∈N*有4（c2﹣c）k2+4ck﹣c2+c﹣1＞0．設(shè)f（x）=4（c2﹣c）x2+4cx﹣c2+c﹣1，求出對(duì)稱軸和f（1）＞0，及c2﹣c≥0，可得c的范圍，證c在這個(gè)范圍內(nèi)不等式恒成立．即可得到所求范圍．【解答】解：（1）證明：數(shù)列{an}中，，，可得1﹣an+1=1﹣sin（an），令bn=1﹣an，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，由Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，要證，只需證n﹣Sn＜，即證Tn＜，由bn+1=1﹣sin（（1﹣bn））=1﹣sin（﹣bn）=1﹣cosbn=2sin2bn，＜2（bn）2≤bn，即Tn＜=＜1.305＜，則成立；（2）（Ⅰ）在數(shù)列{an}中，a1=1，，n∈N*，可得=+2n+1，即有=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+3+5+…+2n﹣1=+n2﹣1，可得an=（n2﹣1）cn+cn﹣1，（Ⅱ）由對(duì)一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，可得一切k∈N*有4（c2﹣c）k2+4ck﹣c2+c﹣1＞0．設(shè)f（x）=4（c2﹣c）x2+4cx﹣c2+c﹣1，對(duì)稱軸為x=﹣，由f（1）=3c2+c﹣1＞0，可得c＞或c＜，由c2﹣c≥0，即c≥1或c≤0，即有c≥1或c＜，下面證c在這個(gè)范圍內(nèi)不等式恒成立．當(dāng)c≥1時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x=﹣＜0，f（1）＞0，得證x≥1時(shí)，f（x）＞0成立；當(dāng)c＜時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x=﹣＜，可得f（x）在（1，+∞）遞增，f（1）＞0，可得x≥1時(shí)，f（x）＞0成立．綜上可得，c的范圍是（﹣∞，）∪[1，+∞）．21.（本小題滿分13分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購(gòu)物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)．（Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）記為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件，則，故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為．

………………4分（Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有取值為．

………………5分，，，

，．

………………10分所以，隨機(jī)變量的分布列為: