維納濾波和卡爾曼濾WienerandKalmanFiltering課件

第七章維納濾波和卡爾曼濾

（WienerandKalmanFiltering）

隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過(guò)程(randomprocess)是普遍存在的。一方面，任何確定性信號(hào)經(jīng)過(guò)測(cè)量后往往就會(huì)引入隨機(jī)性誤差而使該信號(hào)隨機(jī)化；另一方面，任何信號(hào)本身都存在隨機(jī)干擾，通常把對(duì)信號(hào)或系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)稱之為噪聲。噪聲按功率譜密度劃分可以分為白噪聲（whitenoise）和色噪聲（colornoise），我們把均值為0的白噪聲叫純隨機(jī)信號(hào)（purerandomsignal）。因此，任何其它隨機(jī)信號(hào)都可看成是純隨機(jī)信號(hào)與確定性信號(hào)并存的混合隨機(jī)信號(hào)或簡(jiǎn)稱為隨機(jī)信號(hào)。要區(qū)別干擾（interference）和噪聲(noise)兩種事實(shí)和兩個(gè)概念。非目標(biāo)信號(hào)（nonobjectivesignal）都可叫干擾。

干擾可以是確定信號(hào)，如國(guó)內(nèi)的50Hz工頻干擾。干擾也可以是噪聲，純隨機(jī)信號(hào)（白噪聲）加上一個(gè)直流成分（確定性信號(hào)），就成了最簡(jiǎn)單的混合隨機(jī)信號(hào)。醫(yī)學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的目的是要提取包含在隨機(jī)信號(hào)中的確定成分，并探求它與生理、病理過(guò)程的關(guān)系，為醫(yī)學(xué)決策提供一定的依據(jù)。例如從自發(fā)腦電中提取誘發(fā)腦電信號(hào)，就是把自發(fā)腦電看成是干擾信號(hào)，從中提取出需要的信息成分。因此我們需要尋找一種最佳線性濾波器，當(dāng)信號(hào)和干擾以及隨機(jī)噪聲同時(shí)輸入該濾波器時(shí)，在輸出端能將信號(hào)盡可能精確地表現(xiàn)出來(lái)。維納濾波和卡爾曼濾波就是用來(lái)解決這樣一類問(wèn)題的方法：從噪聲中提取出有用的信號(hào)。實(shí)際上，這種線性濾波方法也被看成是一種估計(jì)問(wèn)題或者線性預(yù)測(cè)問(wèn)題。設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)是，當(dāng)輸入一個(gè)觀測(cè)到的隨機(jī)信號(hào)，簡(jiǎn)稱觀測(cè)值，且該信號(hào)包含噪聲和有用信號(hào)，簡(jiǎn)稱信號(hào)，也即

(7-1)則輸出為(7-2)如果該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，式(7-2)的m＝0，1，2，…，則輸出的可以看成是由當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值和過(guò)去時(shí)刻的觀測(cè)值、、…的估計(jì)值。用當(dāng)前的和過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)稱為濾波；用過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)當(dāng)前的或?qū)?lái)的信號(hào)，N，稱為預(yù)測(cè)；用過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)過(guò)去的信號(hào)，N，稱為平滑或者內(nèi)插。本章將討論濾波和預(yù)測(cè)問(wèn)題。從圖7-1的系統(tǒng)框圖中估計(jì)到的信號(hào)和我們期望得到的有用信號(hào)可能不完全相同，這里用來(lái)表示真值和估計(jì)值之間的誤差(7-3)顯然是隨機(jī)變量，維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準(zhǔn)則就是最小均方誤差準(zhǔn)則：(7-4)第一節(jié)維納濾波器的時(shí)域解

（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）

設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我們從時(shí)域入手求最小均方誤差下的，用表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)。一、因果維納濾波器

設(shè)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列：因此，從式(7-1)、(7-2)、(7-3)、(7-4)推導(dǎo)：

(7-5)要使得均方誤差最小，則將上式對(duì)各，m＝0，1，…，求偏導(dǎo)，并且令其等于零，得：(7-6)(7-7)由式（7-9）進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：(7-10)二、有限脈沖響應(yīng)法求解維納－霍夫方程

如何去求解維納－霍夫方程，即式（7-9）中解的問(wèn)題，設(shè)是一個(gè)因果序列且可以用有限長(zhǎng)（N點(diǎn)長(zhǎng)）的序列去逼近它，則式(7-5)－(7-10)分別發(fā)生變化(7-11)

(7-12)

(7-13)………..(7-14)(7-15)簡(jiǎn)化形式：RxxH=Rxs

(7-17)式中，H＝[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]′，是待求的單位脈沖響應(yīng)；Rxs＝′，是互相關(guān)序列；

Rxx＝

，是自相關(guān)矩陣

只要Rxx是非奇異的，就可以求到H：H=Rxx－1Rxs

(7-18)求得后，這時(shí)的均方誤差為最?。?/p>

由式（7-15）進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

(7-19)用有限長(zhǎng)的來(lái)實(shí)現(xiàn)維納濾波時(shí)，當(dāng)已知觀測(cè)值的自相關(guān)和觀測(cè)值與信號(hào)的互相關(guān)時(shí)就可以按照式（7-15）在時(shí)域里求解但是當(dāng)N比較大時(shí)，計(jì)算量很大，并

且涉及到求自相關(guān)矩陣的逆矩陣問(wèn)題。

則式（7-15）和式（7-19）化為：(7-20)

(7-21)【例7-1】已知圖7-1中

且與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中

的自相關(guān)序列為

，是方差為1的單位白噪聲，維納濾波器來(lái)估計(jì)

，并求最小均方誤差。

〖解〗依題意，已知信號(hào)的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：

，代入式（7-20）得解得：

＝0.451，

＝0.165。

將上述結(jié)果代入式（7-21），求得最小均方誤差：若要進(jìn)一步減小誤差可以適當(dāng)增加維納濾波的階數(shù)，但相應(yīng)的計(jì)算量也會(huì)增加。三、預(yù)白化法求解維納－霍夫方程

從上面分析知求解維納－霍夫方程比較復(fù)雜，本節(jié)用波德（Bode）和香（Shannon）

提出的白化的方法求解維納－霍夫方程，得到系統(tǒng)函數(shù)

H(z)。由第三章的知識(shí)，我們知道隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由一白色噪聲

w1(n)

激勵(lì)一個(gè)物

理可實(shí)現(xiàn)

的系統(tǒng)

或模型的響應(yīng)，如圖7-2所示，

其中A(z)表示系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)。由于

x(n)=s(n)+w(n)，

在圖7-2的基礎(chǔ)上給出x(n)的信號(hào)模型

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，它的z變換就等于。圖7-2中輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為，根據(jù)卷積性質(zhì)有令

上式

令

對(duì)式（7-22）進(jìn)行Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的z變換之間的關(guān)系：

(7-23)同樣，對(duì)圖7-4進(jìn)行z變換得(7-24)圖7-4中利用卷積性質(zhì)還可以找到互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：兩邊z變換得到(7-25)如果已知觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，求它的z變換，

然后找到該函數(shù)的成對(duì)零點(diǎn)、極點(diǎn)，取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點(diǎn)、極點(diǎn)構(gòu)成，另外在單位圓外的零、極點(diǎn)構(gòu)成，這樣就保證了

是因果的，并且是最小相位系統(tǒng)。將圖7-1重新給出，待求的問(wèn)題就是最小均方誤差下的最佳，如圖7-5(a)所示，為了便于求這個(gè)，將圖7-5(a)的濾波器分解成兩個(gè)級(jí)聯(lián)的濾波器：和G（z），

如圖7-5(b)所示，則

(7-27)（a）（b）圖7-5利用白化方法求解模型有了上述的模型后，白化法求解維納－霍夫方程步驟如下：1）對(duì)觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)求z變換得到；2）利用等式，找到最小相位系統(tǒng)；3）利用均方誤差最小原則求解因果的G（z）；4），即得到維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解。在上述步驟中，可以通過(guò)已知的觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)來(lái)求得，因而求解的問(wèn)題就歸結(jié)為求解G（z）的問(wèn)題了。由于G（z）的激勵(lì)源是白噪聲，求解變得容易多了，下面我們分析步驟3的求解過(guò)程。按圖7-5(b)有:

(7-28)均方誤差為：由于，代入上式，并且進(jìn)行配方得：均方誤差最小也就是上式的中間一項(xiàng)最小，所以

(7-30)注意，這里的是因果的。對(duì)該式求z變換，得到

(7-31)表示對(duì)求單邊z變換。所以維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解表示為：由式（7-25）上式可以表示為：因果的維納濾波器的最小均方誤差為：

(7-33)利用帕塞伐爾(Parseval)定理，上式可用z域來(lái)表示：(7-34)利用帕塞伐爾(Parseval)定理，上式可用z域來(lái)表示：

圍線積分可以取單位圓。(7-34)【例7-2】已知圖7-1中，且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中的自相關(guān)序列為，是方差為1的單位白噪聲，試，并求最小均方誤差。與設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的維納濾波器來(lái)估計(jì)〖解〗依題意，已知，，，步驟1求z變換步驟2由于，容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差步驟3利用式（7－32）

對(duì)括號(hào)里面求反變換，注意括號(hào)內(nèi)的收斂域?yàn)槿∫蚬糠?，也就是第一?xiàng)，所以步驟4最小均方誤差為取單位圓為積分圍線，有兩個(gè)單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，0.8和0.5，求它們的留數(shù)和，所以第二節(jié)維納預(yù)測(cè)器（Wiener’sPredictor）

上節(jié)討論的維納濾波器是一種估計(jì)器，是用觀測(cè)到的當(dāng)前和全部過(guò)去的數(shù)據(jù)、、…來(lái)估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值。本節(jié)將討論維納預(yù)測(cè)器，它同樣也是一種估計(jì)器，是用過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)當(dāng)前的或?qū)?lái)的信號(hào)，N，也是用真值和估計(jì)值的均方誤差最小為估計(jì)準(zhǔn)則。一、因果的維納預(yù)測(cè)器

圖7-6就是維納預(yù)測(cè)器的模型，N>0，是希望得到的輸出，而表示實(shí)際的估計(jì)值。圖7-6維納預(yù)測(cè)器本節(jié)和上節(jié)一樣著重討論預(yù)測(cè)器的系統(tǒng)函數(shù)以及預(yù)測(cè)的均方誤差，維納預(yù)測(cè)器和維納濾波器比較類似，因而分析方法也都可以借鑒前面的內(nèi)容。對(duì)于圖7-6模型，設(shè)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即，則有是因果序列：

(7-35)

(7-36)要使得均方誤差最小，則將上式對(duì)各，m＝0，1，…，求偏導(dǎo)，并且等于零，得：

(7-37)即用相關(guān)函數(shù)R來(lái)表達(dá)上式：(7-38)(7-39)由于，則，z變換得(7-40)借鑒維納濾波器的結(jié)果類似給出維納預(yù)測(cè)器的最佳傳遞函數(shù)，對(duì)應(yīng)維納預(yù)測(cè)器，對(duì)應(yīng)維納濾波器，故因果的預(yù)測(cè)器的傳遞函數(shù)為：

(7-41)最小均方誤差為(7-42)利用帕塞伐爾(Parseval)定理，上式可用z域來(lái)表示【例7-3】已知圖7-6中，且與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中的自相關(guān)序列為，是方差為1的單位白噪聲，，并求最小均方誤差。試設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的維納預(yù)測(cè)器估計(jì)〖解〗依題意已知，，，

求z變換：由于，容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差：由式（7-41），N＝1，求z變換：由于，容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差：由式（7-41），N＝1，對(duì)括號(hào)里面求z反變換，注意括號(hào)內(nèi)的收斂域?yàn)椋?，取因果部分，也就是第一?xiàng)，所以把上式寫成差分方程形式有：最小均方誤差為：二、純預(yù)測(cè)器（N步）

純預(yù)測(cè)器指的是＝0的情況下，對(duì)的預(yù)測(cè)。如圖7-7所示。圖7-7N步純預(yù)測(cè)器這時(shí)，用白化法來(lái)求解預(yù)測(cè)器的系統(tǒng)函數(shù)。因?yàn)?，從而有?/p>

(7-44)將上式代入式（7-41）、（7-43）得：假設(shè)B(z）是b（n）的z變換，且b（n）是實(shí)序列，則上式可以利用帕塞伐爾定(Parseval)理進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

(7-46)又因?yàn)锽(z）是最小相位系統(tǒng)，一定是因果的，上式可以簡(jiǎn)化

(7-47)上式說(shuō)明最小均方誤差隨著N的增加而增加，也即預(yù)測(cè)距離越遠(yuǎn)誤差越大。【例7-4】已知圖7-7中，其中的自相關(guān)序列為，試設(shè)計(jì)一個(gè)物理可，并求最小均方誤差。，則實(shí)現(xiàn)的維納預(yù)測(cè)器來(lái)估計(jì)〖解〗依題意，已知因?yàn)?/p>

容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差:利用式（7-45）:因?yàn)?/p>

，只取的部分，有:回到z域有：，代入得:最小均方誤差為：它說(shuō)明當(dāng)N越大，誤差越大，當(dāng)N＝0時(shí)，沒有誤差。把上述結(jié)果用模型表示如圖7-8所示。圖7-8例題7-3的純預(yù)測(cè)模型三、一步線性預(yù)測(cè)器

對(duì)于純預(yù)測(cè)問(wèn)題，有，然而預(yù)測(cè)的問(wèn)題常常是要求在過(guò)去的p個(gè)觀測(cè)值的基礎(chǔ)上來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前值，也就是這就是一步線性預(yù)測(cè)公式，常常用下列符合表示

(7-48)式中p為階數(shù)，。預(yù)測(cè)的均方誤差為:(7-49)要使得均方誤差最小，將上式右邊對(duì)求偏導(dǎo)并且等于零，得到p個(gè)等式

(7-50)最小均方誤差：

(7-51)式（7-50）就是Yule－Walker（Y-W）方程，和第三章AR模型參數(shù)估計(jì)的方程一致，如何去求解該方程在第三章有詳細(xì)介紹。把Yule－Walker（Y-W）方程和維納－霍夫方程進(jìn)行比較，維納－霍夫方程要估計(jì)的量是s(n)，Y-W方程要估計(jì)的量是x(n)本身，因而解維納－霍夫方程要已知x(n)、y(n)的互相關(guān)函數(shù)，實(shí)際中這個(gè)互相關(guān)函數(shù)往往是未知的，而解Y-W方程只需要知道觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。因此Y-W方程比W-H方程更具有實(shí)用價(jià)值。例7-5】已知圖7-7中x(n)=s(n)，其中的自相關(guān)序列為的可實(shí)現(xiàn)的一步線性預(yù)測(cè)器，并求最小均方誤差。〖解〗，

，試設(shè)計(jì)一個(gè)p＝2利用Y-W方程，可以列出2個(gè)方程式解得：，也即結(jié)果和例（7-4）N=1時(shí)一致。第三節(jié)維納濾波器的應(yīng)用

（ApplicationofWienerFilter）要設(shè)計(jì)維納濾波器必須知道觀測(cè)信號(hào)和估計(jì)信號(hào)之間的相關(guān)函數(shù)，即先驗(yàn)知識(shí)。如果我們不知道它們之間的相關(guān)函數(shù)，就必須先對(duì)它們的統(tǒng)計(jì)特性做估計(jì)，然后才能設(shè)計(jì)出維納濾波器，這樣設(shè)計(jì)出的濾波器被稱為“后驗(yàn)維納濾波器”。在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中比較典型的應(yīng)用就是關(guān)于誘發(fā)腦電信號(hào)的提取。大腦誘發(fā)電位（EvokedPotential，EP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關(guān)結(jié)構(gòu)在特定刺激情況下的狀態(tài)反應(yīng)。在神經(jīng)學(xué)研究以及臨床診斷、手術(shù)監(jiān)護(hù)中有重要意義。EP信號(hào)十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電（EEG）之中，從EEG背景中提取誘發(fā)電位一直是個(gè)難題：EP的幅度比自發(fā)腦電低一個(gè)數(shù)量級(jí)，無(wú)法從一次觀察中直接得到；EP的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計(jì)上EP是非平穩(wěn)的、時(shí)變的腦誘發(fā)電位。通過(guò)多次刺激得到的腦電信號(hào)進(jìn)行疊加來(lái)提取EP，這是現(xiàn)今最為廣泛使用的EP提取方法。為了解決誘發(fā)電位提取問(wèn)題，研究者利用維納濾波來(lái)提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等對(duì)維納濾波方法進(jìn)行了改進(jìn)。在頻域應(yīng)用后驗(yàn)維納濾波的核心就是由各次觀察信號(hào)中分解出信號(hào)的譜估計(jì)和噪聲的譜估計(jì)，通過(guò)設(shè)計(jì)出的濾波器來(lái)提高信噪比。本節(jié)將介紹時(shí)－頻平面的維納濾波（time－frequencyplanewienerfiltering，簡(jiǎn)稱TFPW）在高分辨心電圖（HRECG）中的應(yīng)用。方法如下：一、觀測(cè)樣本設(shè)共有N次觀測(cè)樣本：xi(t)=s(t)+wi(t),i=1,2,…N。其中s(t)是周期確定的心電信號(hào)；wi(t)是第i次記錄時(shí)的噪聲，包括肌電、測(cè)量?jī)x器噪聲等，假設(shè)每次記錄的噪聲之間互不相關(guān)；xi(t)是觀測(cè)信號(hào)；信號(hào)和噪聲相互獨(dú)立。對(duì)每次觀測(cè)用短時(shí)傅立葉變換求時(shí)頻表示（TFR）：對(duì)N次觀測(cè)的時(shí)頻表示（TFR）求平均：，樣本平均的時(shí)頻表示（TFR）為：

(1)樣本平均為：

(2)從式（2）可以得到一個(gè)基于樣本平均的簡(jiǎn)單時(shí)－頻平面后驗(yàn)維納濾波器：

(3)二、公式修正在時(shí)－頻域上對(duì)式（1）（2）進(jìn)行修正，給出更實(shí)際的表示：

………………..……(4)

(5)式中COV表示信號(hào)和噪聲之間的方差，也就是考慮了信號(hào)和噪聲并非相互獨(dú)立；IF是干擾項(xiàng)；表示樣本平均的噪聲功率；表示樣本噪聲功率的平均。三、TFPW的計(jì)算過(guò)程TFPW的計(jì)算過(guò)程如圖7-9所示。圖7-10TFPW的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

注：(上圖)原信號(hào)是兩個(gè)正弦波，觀測(cè)信號(hào)混有白噪聲；(下圖)原信號(hào)是線性調(diào)頻信號(hào)，觀測(cè)信號(hào)混有白噪聲。

在圖7-10中每一個(gè)圖中從上至下分別表示：測(cè)量的單個(gè)樣本，樣本平均，TFPW濾波器估計(jì)的信號(hào)，原始信號(hào)。圖7-10的初始信噪比設(shè)為－12dB，TFPW與疊加平均法相比，信噪比有5個(gè)dB左右的改善。五、需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題FPW濾波中由于有二次TFR中的相關(guān)噪聲以及IF項(xiàng)，濾波器可能包含虛部，也就是包含信號(hào)的相位信息，直接在時(shí)－頻平面上考慮相位問(wèn)題還需要進(jìn)一步研究。第四節(jié)卡爾曼濾波的信號(hào)模型

（SignalModelofKalmanFiltering）

通過(guò)前面幾節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們知道維納濾波是根據(jù)當(dāng)前和過(guò)去全部的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解形式是以均方誤差最小為原則下的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位脈沖響應(yīng)。而卡爾曼濾波不需要過(guò)去全部的觀測(cè)它是根據(jù)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)值來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前推方法進(jìn)行估計(jì)的，因而卡爾曼濾波對(duì)信號(hào)的平穩(wěn)性和時(shí)不變性不做要求。我們利用維納濾波的模型引入到卡爾曼濾波的信號(hào)模型。，它是用狀態(tài)方程和遞一、狀態(tài)方程和量測(cè)方程要給出卡爾曼濾波的信號(hào)模型，先來(lái)討論狀態(tài)方程和量測(cè)方程。圖7-11是維納濾波的模型，信號(hào)可以認(rèn)為是由白噪聲激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的響應(yīng)，假設(shè)響應(yīng)和激勵(lì)的時(shí)域關(guān)系可以用下式表示：

(7-52)上式也就是一階AR模型。在卡爾曼濾波中信號(hào)被稱為是狀態(tài)變量，用矢量的

形式表示為，在k時(shí)刻的狀態(tài)用表示，

在k－1時(shí)刻的狀態(tài)用表示。

激勵(lì)信號(hào)也用矢量表示為，激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系用傳遞矩陣來(lái)表示，它是由系統(tǒng)的有一定關(guān)系。有了這些假設(shè)后結(jié)構(gòu)確定的，與我們給出狀態(tài)方程：(7-53)上式表示的含義就是在k時(shí)刻的狀態(tài)可以由它的前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)來(lái)求得，即認(rèn)為k－1時(shí)刻以前的各狀態(tài)都已記憶在狀態(tài)中了

圖7-11維納濾波的信號(hào)模型和觀測(cè)信號(hào)模型卡爾曼濾波是根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)數(shù)據(jù)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)的，所以除了狀態(tài)方程之外，還需要量測(cè)方程。還是從維納濾波的觀測(cè)信號(hào)模型入手，圖7-11的右圖，觀測(cè)數(shù)據(jù)和信號(hào)的關(guān)系為：，一般是均值為零的高斯白誤差矢量，則量測(cè)矢量與狀態(tài)矢量(7-54)上式和維納濾波的概念上是一致的，也就是說(shuō)卡爾曼濾波的一維信號(hào)模型和維納濾波的信號(hào)模型是一致的。把式(7-54)推廣就得到更普遍的多維量測(cè)方程(7-55)上式中的稱為量測(cè)矩陣，它的引入原因是，的維數(shù)不一定與狀態(tài)矢量的維數(shù)相同，因?yàn)槲覀儾灰欢苡^測(cè)到所有需要的狀態(tài)參數(shù)

量測(cè)矢量假如是的矢量，是的矢量，就是的矩陣，是的矢量。二、信號(hào)模型

有了狀態(tài)方程和量測(cè)方程后我們就能給出卡爾曼濾波的信號(hào)模型，如圖7-12所示。圖7-12卡爾曼濾波的信號(hào)模型【例7-6】設(shè)卡爾曼濾波中量測(cè)方程為，已知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的z變換為，噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求卡爾曼濾波和。信號(hào)模型中的〖解〗根據(jù)等式：可以求得：變換到時(shí)域得：因此又因?yàn)?，所以?。第五節(jié)卡爾曼濾波方法

（MethodofKalmanFiltering）

建立好了卡爾曼濾波的信號(hào)模型以及狀態(tài)方程、量測(cè)方程后，要解決的問(wèn)題就是要尋找在最小均方誤差下信號(hào)的估計(jì)值。一、卡爾曼濾波的一步遞推法模型

把狀態(tài)方程和量測(cè)方程重新給出：(7-56)(7-57)上式中和是已知的，已知，現(xiàn)在的問(wèn)題就是如何來(lái)求當(dāng)前時(shí)刻。

是觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，也是已知的，假設(shè)信號(hào)的上一個(gè)估計(jì)值的估計(jì)值上兩式中如果沒有與，可以立即求得，估計(jì)問(wèn)題的出現(xiàn)就是因?yàn)樾盘?hào)與噪聲的與，用上兩式和分別用和表示，得：疊加。假設(shè)暫不考慮得到的(7-58)

(7-59)必然，觀測(cè)值和估計(jì)值之間有誤差

，它們之間的差稱為新息（innovation）：

(7-60)顯然，新息的產(chǎn)生是由于我們前面忽略了與所引起的，也就是說(shuō)新息里面

包含了與的信息成分。因而我們用新息乘以一個(gè)修正矩陣，用它來(lái)代替式（7-56）的來(lái)對(duì)進(jìn)行估計(jì)：(7-61)由（7-56）～（7-61）可以畫出卡爾曼濾波對(duì)進(jìn)行估計(jì)的遞推模型，如圖7-13所示，輸入為觀測(cè)值，輸出為信號(hào)估計(jì)值。圖7-13卡爾曼濾波的一步遞推法模型二、卡爾曼濾波的遞推公式從圖7-13容易看出，要估計(jì)出就必須要先找到最小均方誤差下的修正矩陣，結(jié)合式（7-61）、（7-56）、（7-57）得：……….(7-62)根據(jù)上式來(lái)求最小均方誤差下的，然后把求到的代入（7-61）則可以得

到估計(jì)值。設(shè)真值和估計(jì)值之間的誤差為：，誤差是個(gè)矢量，因而均方誤差是一個(gè)矩陣，用表示。把式（7-62）代入得：….(7-63)均方誤差矩陣：(7-64)表示對(duì)向量取共軛轉(zhuǎn)置。為了計(jì)算方便，令(7-65)找到和均方誤差矩陣的關(guān)系：(7-66)把式（7-63）代入式（7-64），并且利用條件：與都是零均值的高斯白噪聲，且它們和

互不相關(guān)，協(xié)方差矩陣分別為與不相關(guān)；與及不相關(guān)。最后化簡(jiǎn)得：………………….(7-67)把式（7-66）代入（7-67）得令，，代入上式化簡(jiǎn)：

(7-68)上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)與修正矩陣無(wú)關(guān)，第三項(xiàng)是，于是可以求得最小均方誤差下的修正矩陣為：半正定矩陣，要使得均方誤差最小，則必須(7-69)把上式代入(7-61)即可得均方誤差最小條件下的遞推公式。相應(yīng)的式（7-68）的第三項(xiàng)為零，得最小均方誤差為：(7-70)綜上所述，得到卡爾曼濾波的一步遞推公式：(7-71)(7-72)(7-73)(7-74)有了上面四個(gè)遞推公式后我們就可以得到和。如果初始狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)特性已知，并且令且矩陣

都是已知的，以及觀測(cè)量也是已知的，就能用遞推

計(jì)算法得到所有的和：將初始條件代入式（7-71）求得；

將代入式（7-72）求得和代入式（7-73）求得；將初始條件和代入式（7-74）求得；…依此類推。這樣遞推用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

；將非常方便。和維納濾波一樣，卡爾曼濾波也可以推廣到卡爾曼預(yù)測(cè)，推導(dǎo)過(guò)程和維納濾波到維納預(yù)測(cè)類似，也同樣有純卡爾曼預(yù)測(cè)，這里不再推導(dǎo)?！纠?-7】設(shè)卡爾曼濾波中量測(cè)方程為，已知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的z變換為，噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，已知，在k＝0時(shí)刻開始觀測(cè)信號(hào)。試用卡爾曼濾波的公式求和，k＝0,1,2,3,4,5,6,7；以及和。穩(wěn)態(tài)時(shí)的〖解〗由例7-6的結(jié)果知，＝1，，，把它們代入式(7-71)～(7-74)得（1）（2）

（3）（4）由于是一維情況，求逆，把（1）代入（2）、（3）式，消去，再把（2）和（3）聯(lián)立，得到

（5）初始條件為，k＝0開始觀測(cè)，利用等式（4），（5）進(jìn)行遞推得：k＝0，1.0000，1.0000，；k＝1，0.5000，0.5000，k＝2，0.4048，0.4048，

k＝3，0.3824，0.3824，

k＝4，0.3768，0.3768，

k＝5，0.3755，0.3755，

k＝6，0.3751，0.3751，；k＝7，0.3750，0.3750，

如果給定每個(gè)時(shí)刻的觀察值就可以得到每一時(shí)刻的信號(hào)估計(jì)值，上面是遞推過(guò)程，還沒有達(dá)到穩(wěn)態(tài)的情況。假設(shè)到了某一時(shí)刻k－1，前后時(shí)刻的均方誤差相等，也就是誤差不再隨著遞推增加而下降，達(dá)到最小的均方誤差了，即穩(wěn)態(tài)情況，式（5）中的誤差，代入（5）式可以計(jì)算到穩(wěn)態(tài)時(shí)的均方誤差為

即穩(wěn)態(tài)時(shí)的修正矩陣，代入式（4）得穩(wěn)態(tài)時(shí)的信號(hào)估計(jì)：

化到z域有：。將上述結(jié)果和維納濾波的例題7-2的結(jié)果相比較：，，，發(fā)現(xiàn)當(dāng)卡爾曼濾波達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)和維納濾波的結(jié)果一致，原因就是它們兩種濾波都是用的同樣的估計(jì)原則：最小均方誤差準(zhǔn)則。然而在卡爾曼濾波的過(guò)渡期間的信號(hào)估計(jì)結(jié)果和維納濾波當(dāng)然完全不同。第六節(jié)卡爾曼濾波器的應(yīng)用

(ApplicationKalmanFilter)

最優(yōu)估計(jì)指從帶有隨機(jī)干擾的觀測(cè)數(shù)據(jù)中估計(jì)出信號(hào)來(lái)，其中的線性最小均方誤差的卡爾曼濾波占有重要的地位，自動(dòng)控制系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛。前面我們已經(jīng)推導(dǎo)出卡爾曼濾波的公式，也有了卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)的直接調(diào)用程序。應(yīng)用卡爾曼濾波時(shí)，核心是把問(wèn)題如何納入卡爾曼濾波的框架里面去，往往很難獲得準(zhǔn)確可靠的噪聲數(shù)據(jù)，如前面的和加上干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣不一定為零，有，一旦確定了這幾個(gè)，H，]＝kalman表示均方誤差矩陣，表示另外一種均方誤差矩陣。矩陣，可以直接調(diào)用Matlab中的控制工具箱中的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)函數(shù)：[S，L，（sys，Q，R，N）。輸入變量的含義與上面提到的相同，sys表示狀態(tài)空間模型，可以用函數(shù)ss（a，b，c，…）來(lái)生成。輸出變量S表示卡爾曼濾波器的狀態(tài)方程的模型，L表示濾波器增益矩陣（是為了計(jì)算而定義的），H表示修正矩陣，下面用例題來(lái)看實(shí)際的計(jì)算過(guò)程。【例7-8】已知條件和例7-7一樣，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為：其中，，，，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求卡爾曼濾波器的穩(wěn)態(tài)和?！冀狻礁鶕?jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss（A，B，C，D，1），得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。A，C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計(jì)了兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)的，我們這里只有一個(gè)觀測(cè)信號(hào)，所以B取[01]，后一個(gè)1表示噪聲的