2022年度湖南省郴州市資興第三中學高三數學理下學期期末試卷含解析

2022年度湖南省郴州市資興第三中學高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知m為直線,為不同的平面，下列命題正確的是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略2.如圖所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1內接于半徑為的半球O，四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時，AB的長是（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點】LR：球內接多面體．【分析】設AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，利用導數，得到該正四棱柱體積的最大值，即可得出結論．【解答】解：設AB=a，BB1=h，則OB=a，連接OB1，OB，則OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，當0＜h＜1時，V′＞0，1＜h＜時，V′＜0，∴h=1時，該四棱柱的體積最大，此時AB=2．故選：D．3.如圖所示，是定義在[0，1]上的四個函數，其中滿足性質：“對[0，1]中任意的x1和x2，任意恒成立”的只有

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.已知向量，滿足＝3，＝2，＝5，則在方向上的投影是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.定義在上的函數，滿足，，若，且，則有（

）A.

B.

C.

D.不確定參考答案：A略6.設a，b，c都是正實數，且a，b滿足，則使a＋b≥c恒成立的c的范圍是()A．(0,8]

B．(0,10]

C．(0,12] D．(0,16]參考答案：D7.（5分）（2006?廣東）若復數z滿足方程z2+2=0，則z3=（）A．B．C．D．參考答案：D考點：復數代數形式的混合運算．分析：先求復數z，再求z3即可解答：解：由，故選D．點評：復數代數形式的運算，是基礎題．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識點】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖【試題解析】該幾何體是半個圓錐，故

故答案為：A9.定義在R上的函數y=f（x）是減函數，且函數y=f（x﹣1）的圖象關于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）．則當1≤s≤4時，的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】奇偶性與單調性的綜合；函數解析式的求解及常用方法．【專題】計算題；綜合題；壓軸題．【分析】首先由由f（x﹣1）的圖象關于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關于（0，0）中心對稱，根據奇函數定義與減函數性質得出s與t的關系式，然后利用不等式的基本性質即可求得結果．【解答】解析：由f（x﹣1）的圖象相當于f（x）的圖象向右平移了一個單位又由f（x﹣1）的圖象關于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關于（0，0）中心對稱，即函數f（x）為奇函數得f（s2﹣2s）≤f（t2﹣2t），從而t2﹣2t≤s2﹣2s，化簡得（t﹣s）（t+s﹣2）≤0，又1≤s≤4，故2﹣s≤t≤s，從而，而，故．故選C．【點評】題綜合考查函數的奇偶性、單調性知識；同時考查由最大值、最小值求取值范圍的策略，以及運算能力，屬中檔題．10.已知函數是定義在(－∞,－2)∪(2,+∞)上的奇函數，當時，，則的解集是（

）A.(－∞,－2)∪(3,4) B.(－∞,－3)∪(2,3)C.(3,4) D.(－∞,－2)參考答案：A【分析】畫出函數的圖象，根據圖象列不等式，由此求得的解集.【詳解】畫出函數圖象如下圖所示，由圖可知，或，解得.【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性，考查數形結合的數學思想方法，考查函數不等式的解法，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，則實數x的取值范圍是

.參考答案：[0,4]12.某小學對學生的身高進行抽樣調查，如圖，是將他們的身高（單位：厘米）數據繪制的頻率分布直方圖，由圖中數據可知a＝▲．參考答案：略13.如圖，在等腰三角形中，已知分別是邊上的點，且其中若的中點分別為且則的最小值是

．參考答案：14.C.（幾何證明選講）如圖，是圓O的切線，切點為，.是圓O的直徑，與圓交于B，，則

參考答案：15.在等差數列{an}中，，則___________.參考答案：1【分析】根據題意，由等差數列的性質可得答案．【詳解】根據題意，等差數列{an}中，＝2，則（）＝1；故答案為116.已知變量x、y滿足條件則的最大值是______.

參考答案：617.（13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

.參考答案：16π-16三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（α為參數），直線C2的方程為y=，以O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，（1）求曲線C1和直線C2的極坐標方程；（2）若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求+．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數方程化成普通方程．【分析】（1）利用三種方程的轉化方法，即可得出結論；（2）利用極坐標方程，結合韋達定理，即可求+．【解答】解：（1）曲線C1的參數方程為（α為參數），直角坐標方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直線C2的方程為y=，極坐標方程為tanθ=；（2）直線C2與曲線C1聯立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，設A，B兩點對應的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．19.（本小題滿分12分）

將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在整個下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口處依次放入2個小球，記落入袋中的小球個數為，試求的分布列和的數學期望．參考答案：解：（Ⅰ）當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下時小球才會落入袋中，故．

………5分（Ⅱ）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件與事件為對立事件，從而．

………8分顯然，的取值為0、1、2，且；；．

的分布列為012p故

………12分（或由隨機變量，故）略20.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點M，E是CD延長線上一點，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圓O于F，BF交CD于G．（1）求證：△EFG為等腰三角形；（2）求線段MG的長．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段．【分析】（1）連接AF，OF，則A，F，G，M共圓，∠FGE=∠BAF，證明∠EFG=∠FGE，即可證明：△EFG為等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，連接AD，則∠BAD=∠BFD，即可求線段MG的長．【解答】（1）證明：連接AF，OF，則A，F，G，M共圓，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG為等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48，∴EF=EG=4，連接AD，則∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．21.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標系，可得，，的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求cos＜，＞，即為所求正弦值．解答：解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，