2022年度福建省南平市峻德中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年度福建省南平市峻德中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，則f（2）=（）A．2 B． C． D．{x∈R|﹣2＜x＜2}參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件構(gòu)造關(guān)于g（2）和f（2）的方程組來求解．【解答】解：因?yàn)閒（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，所以，因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，所以，上述方程組中兩式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因?yàn)間（2）=a，所以a=2，將g（2）=2，a=2代入方程組中任意一個可求得f（2）=，故選C．2.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定．【分析】由AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，得到AD1⊥平面A1DB1．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，在A中，AD1與平面DD1C1C相交但不垂直，故A錯誤；在B中，AD1與平面A1DB相交但不垂直，故B錯誤；在C中，AD1與平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C錯誤；在D中，AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故D正確．故選：D．3.某小組有2名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，在下列選項(xiàng)中，互斥而不對立的兩個事件是(

)A．“至少有1名女生”與“都是女生”

B．“至少有1名女生”與“至多有1名女生”C.“恰有1名女生”與“恰有2名女生”

D．“至少有1名男生”與“都是女生”參考答案：C4.如果兩個球的體積之比為8：27，那么兩個球的表面積之比為（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】據(jù)體積比等于相似比的立方，求出兩個球的半徑的比，表面積之比等于相似比的平方，即可求出結(jié)論．【解答】解：兩個球的體積之比為8：27，根據(jù)體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為2：3，從而這兩個球的表面積之比為4：9．故選C．5.觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在(2700，3000的頻率為(

).A.

0.25

B.

0.3

C.

0.4

D.

0.45

參考答案：B略6.設(shè)，則下列不等式中不成立的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.拋擲一枚骰子，觀察擲出骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝，P(B)＝，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率為()A. B. C. D.參考答案：D記“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”為事件C，因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故選D.考點(diǎn)：互斥事件的概率.8.已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），且滿足，則的值A(chǔ)．一定大于零

B．一定小于零

C．可能等于零

D．一定等于零參考答案：B9.已知函數(shù)，函數(shù)的最小值等于（

）A. B. C.5 D.9參考答案：C【分析】先將化為，由基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值問題，需要先將函數(shù)化為能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，屬于基礎(chǔ)題型.10.如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA1時，AE+BF是定值．其中正確說法的是（）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③參考答案：C【考點(diǎn)】平行投影及平行投影作圖法．【分析】①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面判斷即可；②水面四邊形EFGH的面積不改變；可以通過EF的變化EH不變判斷正誤；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；利用直線與平面平行的判斷定理，推出結(jié)論；④當(dāng)E∈AA1時，AE+BF是定值．通過水的體積判斷即可．【解答】解：①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變；EF是可以變化的EH不變的，所以面積是改變的，②是不正確的；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的判斷定理，可知A1D1∥EH，所以結(jié)論正確；④當(dāng)E∈AA1時，AE+BF是定值．水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所以正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù),在上的最大值是最小值的2倍，則m=

參考答案：2略12.若loga3b=﹣1，則a+b的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；基本不等式．【分析】把對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵loga3b=﹣1，∴a﹣1=3b，解得ab=．a(chǎn)，b＞0．則a+b≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號，其最小值為．故答案為：．13.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若,，則角A的大小為____________________.參考答案：本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了同學(xué)們解決三角形問題的能力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14.如果數(shù)集{0，1，x＋2}中有3個元素，那么x不能取的值是________．參考答案：－2，－115.化簡的結(jié)果為______________.參考答案：略16.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象必定經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是

▲

.

參考答案：_4_略17.函數(shù)，則該函數(shù)值域?yàn)?/p>

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直角梯形中，，，當(dāng)分別在線段上,,，現(xiàn)將梯形沿折疊，使平面與平面垂直。（1）判斷直線與是否共面，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)直線與平面所成角正切值為多少時，二面角的大小是?參考答案：（1）略

（2）正切值：19.已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）若bn=，記Sn=，如果Sn＜對任意的n∈N*恒成立，求正整數(shù)m的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）由題設(shè)條件知a1=1．當(dāng)n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由題意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式即可得到所求．（3）求得bn===2[﹣]，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得Sn，結(jié)合不等式的性質(zhì)，恒成立思想可得m≥，進(jìn)而得到所求最小值．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時，有a13=a12，由于an＞0，所以a1=1．當(dāng)n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，將a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于an＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①則有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③同樣有an2=2（a1+a2+…+an﹣1）+an（n≥2），④③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．由于a2﹣a1=1，即當(dāng)n≥1時都有an+1﹣an=1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．故an=n．（3）bn===2[﹣]，則Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，Sn＜對任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整數(shù)m的最小值為4．20.已知函數(shù)f（x）=．（1）在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象的草圖；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的草圖，求函數(shù)y=f（x）值域，單調(diào)區(qū)間及零點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）直接描點(diǎn)畫圖即可，（2）由草圖可知函數(shù)y=f（x）值域，單調(diào)區(qū)間及零點(diǎn)【解答】解：（1）（2）由（1）中草圖得函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)镽，單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），函數(shù)的零點(diǎn)為x=±1．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)圖象的畫法和識別，屬于基礎(chǔ)題．21.若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點(diǎn)”.（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請說明理由；（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：有“和一點(diǎn)”.參考答案：（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【分析】（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數(shù)有“和一點(diǎn)”.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的化簡與應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為有解問題是關(guān)鍵，是中檔題22.（14分）已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），對任意x滿足f（3﹣x）=f（x），且有最小值．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x（t∈R）在區(qū)間[0，1]上的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得在區(qū)間[﹣1，3]上函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的最值及其幾何意義．專題： 綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，利用條件圖象過點(diǎn)（0，4），f（3﹣x）=f（x），最小值得到三個方程，解方程組得到本題結(jié)論；（2）分類討論研究二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值，得到本題結(jié)論；（3）將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用參變量分離，求出函數(shù)的最小值，得到本題結(jié)論．解答： （1）二次函數(shù)f（x）圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），任意x滿足f（3﹣x）=f（x），則對稱軸x=，f（x）存在最小值，則二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，設(shè)f（x）=a（x﹣）2+．將點(diǎn)（0，4）代入得：f（0）=+=4，解得：a=1∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．當(dāng)對稱軸x=t≤0時，h（x）在x=0處取得最小值h（0）=4