2022年湖南省懷化市龍?zhí)舵?zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年湖南省懷化市龍?zhí)舵?zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知滿足約束條件，則的最小值為(

)

參考答案：C2.函數(shù)在（0，2）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：B3.設(shè)，則它們的大小關(guān)系為

(A)a<b<c

(B)a<c<b

(C)b<c<a

(D)c<a<b參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)值大小的比較.

E1B

解析：∵，∴a<c<b,故選B.

【思路點(diǎn)撥】先求出各數(shù)值或確定其大致范圍，從而得到它們的大小順序.

4.在同一平面內(nèi)，已知，且，若，則的面積等于（

）A．2

B．1

C．

D．參考答案：B略5.如圖在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，PM垂直AD于M，PM=PB，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．線段 B．橢圓一部分 C．拋物線一部分 D．雙曲線一部分參考答案：C【分析】平面里一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線距離相等，可得P的軌跡是拋物線．【解答】解：∵PM垂直AD于M，PM=PB，∴P到點(diǎn)B的距離等于P到直線AD的距離，∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線一部分，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線定義，要求掌握拋物線的定義和性質(zhì)，能夠從立體幾何轉(zhuǎn)化成圓錐曲線問(wèn)題．6.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓相交于兩點(diǎn)，．若點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)A．

B．

C．

D．參考答案：C

7.設(shè)是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足：則等于（

）

參考答案：A8.已知偶函數(shù)在區(qū)間上遞增，則滿足的取值范圍是()

參考答案：A略9.函數(shù)的定義域是（

）A．

B．

C．D．參考答案：C略10.等軸雙曲線x2﹣y2=1上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連線互相垂直，則△PF1F2的面積（）A． B．2 C．1 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】算出雙曲線的焦距|F1F2|=2，利用勾股定理得出|PF1|2+|PF2|2=2，結(jié)合||PF1|﹣|PF2||=2聯(lián)解得出|PF1|?|PF2|的值，即可算出△PF1F2的面積．【解答】解：∵雙曲線x2﹣y2=1中，a=b=1，∴c==，得焦距|F1F2|=2設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，∴m2+n2=|F1F2|2=8…①由雙曲線的定義，得|m﹣n|=2a=2…②①②聯(lián)立，得mn=2∴△PF1F2的面積S=mn=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出等軸雙曲線的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求三角形的面積．著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、勾股定理與三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列中，若,，則

.參考答案：略12.在底面是邊長(zhǎng)為的正方形的四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為2，若四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑為r，外接球的半徑為R，則________．參考答案：【分析】設(shè)，為，的中點(diǎn)，先求出四棱錐內(nèi)切球的半徑，再求出外接球的半徑，即得解.【詳解】如圖，，為，的中點(diǎn)，由題意，為正四棱錐，底邊長(zhǎng)為2，，即為與所成角，可得斜高為2，為正三角形，正四棱錐的內(nèi)切球半徑即為的內(nèi)切圓半徑，所以可得，設(shè)為外接球球心，在中，，解得，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13.三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路．甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”．丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”．參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍是

．

參考答案：答案：解析：由＋25＋|－5|≥，

而，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；

且，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；

所以，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故；14.若非零向量，滿足，則，的夾角的大小為_(kāi)_________．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量的夾角F3解析：，即，所以，，的夾角為，故答案為.【思路點(diǎn)撥】由可得，所以?shī)A角為.15.已知△ABC的三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形最小值的正弦值是

．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；解三角形．【分析】設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，求出a=c+4和b=c+2，由邊角關(guān)系和條件求出sinA，求出A=60°或120°，再判斷A的值，利用余弦定理能求出三邊長(zhǎng)，由余弦定理和平方關(guān)系求出這個(gè)三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，則a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值為，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，當(dāng)A=60°時(shí)，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，則cosA===，化簡(jiǎn)得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），則sinC==，∴這個(gè)三角形最小值的正弦值是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，余弦定理，以及三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用，考查了方程與轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力，推理論證能力．16.已知向量,，若，其中，則

.參考答案：17.已知x和y是實(shí)數(shù)，且滿足約束條件的最小值是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=，為常數(shù)。（I）當(dāng)=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。參考答案：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，則f（x）的定義域是。由，得0＜x＜1；由，得x＞1；∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，上是減函數(shù)?！?分（2）。若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則或在區(qū)間[1，2]上恒成立?！?，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。又h（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)。h（x）max=（2）=，h（x）min=h（1）=3即，或。

∴，或。……………12分略19.已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若不等式在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）1；（2）.分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值和最值.詳解：（1），設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意得，解得，，所以實(shí)數(shù)的值為1.（2）由題意，在定義域內(nèi)恒成立，得在定義域內(nèi)恒成立，令，則，再令，則，即在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，從而，在上單調(diào)遞減；所以在處取得最大值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：1.在處理曲線的切線時(shí)，要注意區(qū)分“在某點(diǎn)的切線”和“過(guò)某點(diǎn)的切線”，前者的點(diǎn)一定為切點(diǎn)，但后者的點(diǎn)不一定在曲線上，且也不一定為切點(diǎn)；2.在處理含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，往往分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用“恒成立”進(jìn)行處理.20.已知函數(shù)f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：且n＞1）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問(wèn)題；不等式的證明．【分析】（1）由f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，知x＞1，，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由f（x）≤0恒成立，知?x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，故k＞0．f（x）max=f（1+）=ln≤0，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．（3）令k=1，能夠推導(dǎo)出lnx≤x﹣1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，得到，n≥2，由此能夠證明且n＞1）．【解答】解：（1）∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴x＞1，，∵x＞1，∴當(dāng)k≤0時(shí)，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（1，1+）上是增函數(shù)，在（1+，+∞）上為減函數(shù)．（2）∵f（x）≤0恒成立，∴?x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x1）+1≤0，∴?x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，∴k＞0．由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，解得k≥1．故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．（3）令k=1，則由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，即lnx≤x﹣1對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，則2lnn≤n2﹣1，即，n≥2，∴且n＞1）．21.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有；(3)當(dāng)為何值時(shí),與平面所成角的大小為

45°.參考答案：解：(1)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，∴EF∥PC.又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(xiàn)(0，，)，D(，0,0)，設(shè)BE＝x(0≤x≤)，則E(x,1,0)，·＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，∴PE⊥AF.(3)設(shè)平面PDE的法向量為m＝(p，q,1)，由，得m＝(，1－，1)．而＝(0,0,1)，依題意PA與平面PDE所成角為45°，所以sin45°＝＝，∴＝，得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．故BE＝－時(shí)，PA與平面PDE所成角為45°.略22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列；數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）要求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，先要根據(jù)已知條件判斷，數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不難得到數(shù)列{an}為等比數(shù)列，而由數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*，易得數(shù)列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列．求出對(duì)應(yīng)的基本量，代入即可求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．（2）由（1）中結(jié)論，我們易得，即數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式可以分解為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘的形式，則可以用錯(cuò)位相消法，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），兩式相減得a