上海浦東新區(qū)祝橋高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

上海浦東新區(qū)祝橋高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，（m為常數(shù)），則的值為（

）A.6

B.4

C.－4

D.－6參考答案：C因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，.2.“”是“直線(xiàn)與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C由圓，可得圓心為，半徑.∵直線(xiàn)與圓相切∴∴∴“”是直線(xiàn)與圓相切的充要條件故選C.

3.某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1,－7)的圓截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)的最小值等于（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】因?yàn)閳A心在弦AC的中垂線(xiàn)上，所以設(shè)圓心P坐標(biāo)為（a，-2），再利用，求得，確定圓的方程.又直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)Q，則可以得到弦長(zhǎng)最短時(shí)圓心與直線(xiàn)的定點(diǎn)Q與弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)P為（a,-2），則r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)Q（-2，0），當(dāng)直線(xiàn)PQ與弦垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，根據(jù)圓內(nèi)特征三角形可知弦長(zhǎng)∴直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為．故選B．5.已知函數(shù),其圖象與直線(xiàn)相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，若對(duì)恒成立，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：D分析：由題意可得函數(shù)的周期為求得．再根據(jù)當(dāng)時(shí)，恒成立，，由此求得的取值范圍．詳解：函數(shù)，其圖象與直線(xiàn)相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，

故函數(shù)的周期為

若對(duì)恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，，

故有，求得結(jié)合所給的選項(xiàng)，

故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．6.“”是“對(duì)任意的正數(shù)，”的

(

)高考資

Ａ．充分不必要條件

Ｂ．必要不充分條件

Ｃ．充要條件Ｄ．既不充分也不必要條參考答案：A略7.=（

）

A．2

B．

C．

D．參考答案：D8.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[0,1]

B．[－1,0]

C.[0,2]

D．[－1,1]參考答案：A整理得，如圖，為了滿(mǎn)足不等式恒成立，則，且在處的切線(xiàn)斜率，，所以，，所以得，綜上，。故選A。

9.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.參考答案：B由題意0＜a＜1，故a＜aa，故aa＞，即b＞c，而c=＞a=π﹣2，故選：B．

10.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則等于（）A．10B．8C．6D．4參考答案：答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知θ∈（，π），+=2，則sin（2θ﹣）=

．參考答案：﹣1考點(diǎn)：二倍角的正弦．專(zhuān)題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：對(duì)+=2進(jìn)行通分、兩邊同乘sinθcosθ，然后兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式可求出sin2θ、cos2θ，注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，代入兩角差的正弦公式求sin（2θ﹣）值．解答： 解：∵+==2，∴sinθ+cosθ=2sinθcosθ=兩邊平方得：1+sin2θ=2sin22θ解得：sin2θ=﹣或sin2θ=1∵θ∈（，π），∴2θ∈（π，2π）∴sin2θ=﹣，∴sinθ+cosθ=∴cos2θ=∴sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin==﹣1故答案為﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及求值問(wèn)題，在求解過(guò)程中注意公式的選擇，在利用平方關(guān)系式時(shí)要特別注意要確定三角函數(shù)值的符號(hào)．注意：14.15，16為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題都做，則按前兩題給分12.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=2017x+log2017x，則f（x）在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

．參考答案：3【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】x＞0時(shí)，求f′（x），并容易判斷出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．然后判斷有沒(méi)有x1，x2使得f（x1）f（x2）＜0：分別取x=2017﹣2017，1，便可判斷f＜0，f（1）＞0，從而得到f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性便得到f（x）在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，而因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，這樣便得到在R上f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【解答】解：x＞0時(shí)，f′（x）=2017xln2017+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，取x=2017﹣2017，則f=﹣2017＜0，又f（1）=2017＞0；∴f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（x）在（﹣∞，0）也有一個(gè)零點(diǎn)；又f（0）=0；∴函數(shù)f（x）在R上有3個(gè)零點(diǎn)．故答案為：3．13.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，記g(x)＝，若函數(shù)g(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：14.設(shè)A、B、C是球面上三點(diǎn),線(xiàn)段若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球的表面積等于_______參考答案：略15.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)___

__；參考答案：16.已知拋物線(xiàn)C：x2=8y的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)Q在C上，圓Q的半徑為1，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與圓Q切于點(diǎn)P，則的最小值為．參考答案：3【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】可作出圖形，由圖形可看出，而根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，|FQ|等于Q到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)y=﹣2的距離，根據(jù)圖形便可看出Q到準(zhǔn)線(xiàn)的最短距離為2，從而便可得出的最小值為3．【解答】解：如圖，；由拋物線(xiàn)的定義知：為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，易知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最短，；∴；即的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】考查圓心和切點(diǎn)連線(xiàn)垂直于切線(xiàn)，余弦函數(shù)的定義，直角三角形邊的關(guān)系，以及拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．17.將一批數(shù)據(jù)分成5組列出頻率分布表，其中第1組的頻率是0、1，第4組與第5組的頻率之和是0、3，那么第2組與第3組的頻率之和是

。參考答案：0、6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）在的平分線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng)．

參考答案：解：（1）因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以．由三視圖可得，在中，，為中點(diǎn)，所以，所以平面

ks5u（2）由三視圖可得，由⑴知，平面，又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，所以，所求三棱錐的體積．（3）取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)即為所求．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，連接，，四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，所以為平行四邊形，所以，又平面，所以在直角中，．

19.已知函數(shù)f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)時(shí)a=1，h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣+alnx，∴f′（x）=1++，∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）=1++≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，∵y=﹣x﹣在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴y≤﹣2，∴a≥﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)得，h′（x）=，若h′（x）=0兩根分別為x1，x2，則有x1?x2=1，x1+x2=﹣m，∴x2=，從而有m=﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈（﹣∞，）∪（，+∞）則h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（）=2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），令φ（x）=2lnx﹣（x2﹣），x∈[，1]．則[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，φ′（x）=﹣，當(dāng)x∈（，1]時(shí)，φ′（x）＜0，∴φ（x）在[，1]上單調(diào)遞減，φ（x）min=φ（1）=0，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值為0．20.函數(shù).判斷的單調(diào)性；記，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證:.參考答案：略21.（本小題滿(mǎn)分分）已知?jiǎng)訄A的圓心為點(diǎn),圓過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切.(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程；(Ⅱ)若圓與圓相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)解法1:依題意,點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,………1分

∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).

…………2分

∴曲線(xiàn)的方程為.

………3分

解法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意,得，………1分

∴.

………2分

化簡(jiǎn)得.

∴曲線(xiàn)的方程為.

………3分(Ⅱ)(Ⅱ)解法1：設(shè)點(diǎn)，則圓的半徑為.………4分

∴圓的方程為.①

………5分

∵圓,②

①②得直線(xiàn)的方程為.…………6分∵點(diǎn)在曲線(xiàn)上,∴,且.

∴點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.……7分

∵圓的半徑為,∴.

…8分.

…9分∵,∴.∴.

………10分∴.………11分∴.∴的取值范圍為.

……12分解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.

……4分∵圓的半徑為,圓的半徑為,∴.

……………5分∴,化簡(jiǎn)得.

…6分∴.

……7分∵點(diǎn)在曲線(xiàn)上,∴,且.∴

…………………8分.

………9分∴.

………10分∴.

………11分∴.∴的取值范圍為.

…………12分22.有時(shí)可用函數(shù)

述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程