基本不等式解析幾何

基本不第一等關(guān)系與不等一．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)二．不等式的性 ， a＞b,，a＞b, a＞b＞0an＞bn(n∈Na＞b＞0?nanb(n∈N1(1)(1)a，b，c() B．若 C．若

已知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：①若 ②若 d>0，則 ③若 d>0，則其中正確命題的個數(shù)是

已知a,b,c,d為實數(shù)，且cd。則“ab”是“acbd”的 B.必要而不充分條 C．充要條 D.既不充分也不必要條例 若－2＜α＜β＜2α－β一．常用的重要的不等

第二講基本不等ab，我們有a2b2ab二．基本不a0b0ab2當(dāng)且僅 時，取等一正，二定，三相等

ab（即ab 例 (1)若x0，則x2的最小值 x若函數(shù)fxx

1x

(x2)在xa處取最小值，則a 23 23例2(1)若正實數(shù) 滿足xy3，則xy的最大值 x，yR+x4y1xy若實數(shù)a,b滿足ab2，則3a3b的最小值是 3 （C） （D）243若x，y是滿足2x+y=20的正數(shù)，則lgxlgy的最大值為

3(1)x，y

4的最小值為 (x+y)(x+ (2)x0y0191xy 已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y14的最小值是

ya1x(a0，a1AA在直線mxny10(mn0上，11的最小值為 例4 已知a0,b0，則112ab的最小值是 2 B．2

下列函數(shù)中，最小值為4的是 Ayx4

Bysinx

sin

Cy4ex

Dylogx3

x(0x例5某公司一年某種貨物400噸，每次都x噸，運費為4萬元/次，一年的總費用為4x萬元，要使一年的總運費與總費用之和最小，則x v（千米∕時）y

v23v

(vv為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（0.1千輛∕時）提升訓(xùn)練1(1)x1x

2x

的最小值 函數(shù)fxx

1x

4(x2),則fx有 最大值 B．最小值

＋＋

1 滿足x2y3，則xy的最大值(2)若0＜x＜1，則f(x)＝x(4－3x)取得最大值時，x的值為 若實數(shù) 滿足x2y23，則xy的最大值 3(1)已知logalogb1，則3a9b的最小值 已知x,yR，且滿足xy1，則xy的最大值 1已知0b1

的最大值 yloga(x31(a0，且a1AA在直線mxny10mn012 532,(x0y0xy 若ab＞1P

lgalgb,Q1(lgalgb),Rlgab，則 解析幾直線方一、知識要1LX,.90k=tan2p(x,y),p(x,y)(x≠x:k=tan

y2

x2 1x＝xp 1AB,CkABx①過點P(a,b)垂直于x軸的直線方程 ;過P(a,b)垂直于y軸的直線方程 ②已知直線的縱截距為b,可設(shè)其方程 axmyaxx1

2yy 二、基本訓(xùn)若直線過點(12(42

3),則此直線的傾斜角 若三點A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共線，則a的值等 已知直線l的傾斜角為，且cos3，則直線l的斜率 5

3xy10的傾斜角 過點(4,04

的直線方程 直線過點(4,0

10

D.-三．典型例1ABCA(4,0B(3,1),C(3,4(1)BC所在直線的方程；(2)BCAD(3)BCDE直線過點(4,0，傾斜角為，且2sincos5cos3sin 直線過點(3,4)2.P(3，2)，yx2(3）x、yA、B△AOBO2已知點P（1，－1），直線l的方程 x－2y+1=0.求經(jīng)過點P，且傾斜角為直線l的傾斜角23.A(2,3B(4,1P(2,1的直線lAB有公共點，求直線l的斜率k及傾斜角的取值范圍.區(qū)別（2）在觀察動直線在運動過程中,要特別注意傾斜角是否含有900(,k1[k2,),若不含有,則斜率的范圍是[k1,k2]（k1k2分別為線段端點與直線所過定點連線的變式訓(xùn)練：直線lM(0,2N(3,3m212m11求直線l的傾斜角ktan（1）達(dá)標(biāo)練習(xí)3，2，

2A．y2C．y2

3(x3(x

B．y2D．y2

3(x33(x3

1在y軸上的截距是 b

b

設(shè)直線axbyc0的傾斜角為,若sincos0,則a,b滿足 過點P(2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程 已知點A(1,2),B(3,1)，則線段AB的垂直平分線方程是 4x2yC．x2y

4x2yD．x2yO（0，0，A(1,3),y13(x B.y13(xC.y33(x D.y33(x 點若三點A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線，則11的值等 已知直線l6

3，求直線l已知直線lkxy12k0(k（2）若直線lxAyBAOBSS的最小值并求此時直線l的方程.一 知識要

兩條直線的位置關(guān)0,則這兩條直線垂直.若l1,與l2相交, ;若l1l2,則 ;若l1//l2, ;若l1與l2重合, ②設(shè)點A(x0,y0)，直線l:AxByC0,點A到直線l的距離為d ③設(shè)兩平行直線l1AxByC0l2AxByC0(C則l1與l2間的距離d 二、基本訓(xùn)已知過點A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值 過點（－1，3）且垂直于直線x－2y+3=0的直線方程 若三條直線2x3y80,xy10xkyk10k22 222

（C）2

（D）2若兩平行線3x4y60與6x8yk0之間的距離為2，則k 2已知直線l過點A1,2，且原點到直線l的距離等22

，求直線l的方三．典型例11.已知兩條直線l1

l2:(m-2)x+3my+2m=0，當(dāng)m為何值時

l1與（2）（3）變式訓(xùn)練：已知兩直線l1:mx8yn0和l2:2xmy10mn(1)l1與l2P(m,1；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1y軸上的截距為1.2.已知直線lP（3，1，且被兩平行直線l1：x+y+1=0l2：x+y+6=05。求直線l的方程。P(3,0作直線l，使它被相交直線2xy20xy30P點平分，求直線l的方程3.（1）A（2，2）關(guān)于直線l2x4y90求直線l2x4y90A（2，2）求直線l2x4y90x3y10變式訓(xùn)練：等腰三角形一腰所在的直線l1x2y20，底邊上的高所在的直線l2xy10l34.已知三條直線3xy20,2xy30mxy0m變式訓(xùn)練：已知三條直線3x2y6m

2x3m2y180和2mx3y120達(dá)標(biāo)練習(xí)x1mym20mx2y80平行，則實數(shù)m

1或

1或 3直線3

2xy3x

3y222

A(4,sinB(5,cosxyc0平行,則|AB|2 2

D．2光線沿直線y＝2x＋1射到直線y＝x上，被y＝x反射后的光線所在的直線方程為 21

B．y＝ y＝

已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是 或 C．3或 若直線l與直線y＝1，x＝7交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜1 )A.

3 B.點A(1,1)到直線xcosθ＋ysinθ－2＝0的距離的最大值是( B.C. 已知點A(0,2)B(2,0)若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為 已知l經(jīng)過3x＋4y－2＝0與直線2x＋y＋2＝0的交點P，且垂直于直線求直線l的方程求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積圓的方一、知識要①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2M(xyx2y2DxEyF0 M在圓內(nèi) M在圓上 M在圓外 二、基本訓(xùn)x2y24x6y1102A.2,2

B.2,3；

C.2,3

D.2,32以兩點A31B5,5為直徑端點的圓的方程2(x1)2(y2)2 B.(x1)2(y2)2C.(x1)2(y2)2 D.(x1)2(y2)2圓(x2)2y25關(guān)于原點00x22y2 B.x2y22C.(x2)2(y2)2 D.x2(y2)2直線y＝x－1上的點到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距離為 A．2 B.C．2 已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值是 222在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積 22222

三．典型例1（1）A(5,2),B(3,2),2x-y-3=01x,y軸均相切且過點(1,8的圓(2)y2xy1x切于點（2，-1）達(dá)標(biāo)練習(xí)△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則該三角形外接圓方程是( B．(x－2)2＋(y－2)2＝10D．(x－2)2＋(y－2)2＝5若圓x2y22x4y0的圓心到直線xya0的距離

,則a（2 B．1或

0D．-2 已知點M是直線3x＋4y－2＝0上的動點，點N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動點，則|MN|的最小 95 5 55直線x－2y－2k＝0與2x－3y－k＝0的交點在圓x2＋y2＝9的外部，則k的范圍 3，兩個坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程 在圓x2＋y2＝9上，到直線3x＋4y＋24＝0的距離最小點的坐標(biāo) 已知圓C的方程為x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋2m－5＝0，根據(jù)下列條件確定實數(shù)m的取值，并寫出4.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)一、知識要(一)．直線與圓的位置直線與圓相交直線與圓 個公共點直線與圓相切直線與圓只 直線與圓相離直線與 公共點(二)．直線與圓的位置關(guān)系的判斷l(xiāng)：Ax+By+C=0(A,B0)與圓(xa)2yb)2r2（r>0） 注：①d為圓心（a,b）到直線l的距離AxByC②由xa2yb2r(三)．圓與圓的位置關(guān)

消元，得到的一元二次方程的判別式為O1O2RrRrd⊙O1與⊙O2相離圓心距d Rr⊙O1與⊙O2沒有公共⊙O1與⊙O2外切圓心距d Rr⊙O1與⊙O2只 個公共⊙O1與⊙O2相交圓心距Rr d Rr⊙O1與⊙O2 ⊙O1與⊙O2內(nèi)切圓心距d Rr⊙O1與⊙O2只 個公共⊙O1與⊙O2內(nèi)含圓心距d Rr⊙O1與⊙O2沒有公共(四)．設(shè)兩圓Cx2y2DxEyF0Cx2y2DxEy

0 則兩圓的公共弦所在的直線方程是(D1D2)xE1E2yF1F2)②利用圓心、切點連線的斜率與切線的斜率的乘積為-③利用直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解只有一個，即0x y22 1x y22 1kaBx2,

AB

r2dABr2d二、基本訓(xùn)

（其中rd直線到圓心的距離圓心為1,2且與直線5x12y70相切的圓的方程

x2y210(x1)2y3)220相交于A，B兩點，則直線AB的方程 若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點，則k的取值范圍 圓O：x2+y2-2x=0和圓O：x2+y2-4y=0的位置關(guān)系 直線x＋3y－2＝0被圓(x－1)2＋y2＝1截得的線段的長為 23 233設(shè)直線l過點(2,0)，且與圓x2y21相切，則l的斜率是 3（A）三．典型例

（B）2

（C） 3

（D）1．已知

x2y24

3C：x2+y2+2x-4y+3=0.Cxy2．直線lP（5，5，且與圓cx2y225相交，截得的弦長為

5，求直線l變式訓(xùn)練：1C(xa)2y2)24(a0l:x-y+3=0.lC23時，則a 2A222

B2 22過點P1,3引圓x2y24x4y100的弦 則所作的弦中最短的弦長為 2A. B.22C. 2已知直線l2mxy8m30和圓Cx2y26x12y2001mR時，證明l與C總相交；2ml被C3.已知圓⊙Cx2y22x2y80與⊙Cx2y22x10y240AB 1求公共弦AB所在的直線方程及AB2yxAB3求經(jīng)過A,B兩點且面積最小的圓的方程變式訓(xùn)練：1.若圓x2y24與圓x2y22ay60a0的公共弦的長為23，則a 2.C：x2＋y2－2x＋4y－4＝01mmCAB，且以ABm的方程；若不存在，說明理由．4.已知圓Cx3)2y5)2r2和直線l4x3y20若圓C4l1，求半徑r若圓C3l1，求半徑r若圓C2l1，求半徑r【解題思路】從劣弧的點到直線l的最大距離作為觀察點入變式訓(xùn)練：1.圓x2y24x4y100上的點到直線xy140的最大距離與最小距離的差是 22C. D.22已知圓(x3)2y5)236A(2,2)B(1,2,若點C在圓上且ABC52條件的點C四．達(dá)標(biāo)練

1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程是 A.xy3 B.2xy3C.xy1 D.2xy512兩個圓Cx2y22x2y20與Cx2y24x2y10121 B.2C.3 D.4過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為 3363 632已知圓C1：x2y26x70與圓C:x2y26y270相交于A，B兩點，則線段AB的 2過點(,2)的直線l被圓022

，則直線l的斜率 直線lx2y22x4ya0(a3A，B，AB（0，1，則直線l的方程為4若曲線y (2x2)與直線yk(x2)4有兩4則實數(shù)k的取值范圍 。5．橢一、知識要(一)．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性F1、F2|F1F2|)M注Mx,y為橢圓上的MF1

2a（a為常數(shù)）

2c（c為常數(shù)a2②令b ，則有a2b2a2（a0b0c0abc均為常數(shù)x2y2 1 a y2x2 1 a 0 性質(zhì)|x|≤a|y|≤aeca（）(二)．定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方mx2ny21m0n0且mn二、基本訓(xùn)x

y

1的焦距 ，離心率 （2）橢圓6x2y26的焦點坐標(biāo) ，長軸端點坐標(biāo) y2已知F1F2是橢圓25

1的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則ABF2的周長6A、 6C、 已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于 33 33 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 22

y1的離心率e ,則m的值 y 3 3且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 xy xy橢

1的焦點為F1F2，點P在橢圓上若|PF1|4，則|PF2

1具有相同的離心率且過點（2，-3）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 三．典型例1（1）

3,)，且與橢圓2

24

4532已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1（6，1）、 3222222過橢圓C:xy1(ab0)的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點 ) 21

333 （1）F1F2Ea2

1(ab0Px

2F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為 (A)2

(B)3

(C)

(D) 左焦點，線段AB過橢圓的右焦點F且垂直于長軸，則該橢圓的離心率 例3.已知點P是橢

1（ab0）F1F2P使F1PF2601求橢圓離心率e的取值范圍 2若a=5,b=3求△PF1F2的面變式訓(xùn)練：(1).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABCA(40)C(40)B在橢圓x2y2

1上，則sinAsinC sin點Py2x2=1，F(xiàn)和F∠FPF=30°,求△FPF F1、F2是橢圓Ca2

1(ab0p為橢圓CPF1PF2若PF1F2的面積為9，則b 例4.設(shè)橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為求C的方程；(2)求過點

CAB的中點坐標(biāo)及且斜率為52變式訓(xùn)練:（1）直線l過點M1,1，與橢圓2

y2y1ABABM 求直線lx y（2）F1F2分別是橢圓Ca2+b2

ab0）A是橢圓CBAF2與橢圓CF1AF23求橢圓C的離心率 （Ⅱ）已知△AF1B的面積為3

，求a,b的值四．達(dá)標(biāo)練 y2.已知F1F2是橢圓25

1F1ABABF2（6A、 D、6

y1(ab0x2y20y圓的離心率為 2A．

B．

C．

D．在△ABCA90tanB3A，B4焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e

x10

yk

1y2222x22

1上的點到直線x2y 的最大距離 已知長方形ABCD，AB4，BC3，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的離心率為 橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)A(a,0)，B(0，b)F，△FABB三角形，則橢圓的離心率e為 21＋

22 → 333C.

2333 1的兩個焦點,P為橢圓上一點,求|PF1||PF2|的最大 xy xy點A、B分別是橢

1長軸的左、右端點，點FPxPAPFPMAB上的一點，MAP的距離等于|MB|M的距離6雙曲一、知識要(一)．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何MoF1、F2小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙FMoMx,y為雙曲線上的動點

2a（a為常數(shù)）

2c（c為常數(shù)②令b2c2a2（其中b0，則有c2a2b（a0b0c0abc均為常數(shù)x2y2 1 a y2x2 1 a 圖形范圍x≥a對稱軸：坐標(biāo)軸;對稱中心：原對稱軸：坐標(biāo)軸;對稱中心：原eca（）線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝ 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長 a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的離心率e(二)．定義法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的mx2ny21mn0ya二、基本訓(xùn)

x的雙曲線方程可設(shè)為2a2

yb2

1的焦點坐標(biāo)為

70)0)

7)，(0，7

(0)

(05)x4

y9

1的漸近線方程是 y32x

y23y

y94

y494

1的焦點到漸近線的距離為 3（A）3

（B）2

3已知雙曲線9y2m2x21(m0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為1，則m（35 mx2y212

x2k

yk

1表示雙曲線，則kyy1x2設(shè)△ABC是等腰三角形，ABC120，則以A，B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為 11 1 23C． D．123三．典型例1（1）

y 1共焦點且過點(32,2y yPP坐標(biāo)分別為(34295(4)求與雙(4)求與雙曲 1共漸近線且過A33

x2y2

1x2y21有共同的漸近線，且過點323 2與雙曲

1有公共焦點，且過點322 3x2y21P423 4經(jīng)過點15,3，且一條漸近線方程為4x3y0 25雙曲線中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率2

，且過點4,

10x2.（1）a

y

1(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A.( B.

M:

1的左頂點A作斜1的直線l,若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 5 55 5 已知雙曲線a2－2=1(a>2)的兩條漸近線的夾角為3,則雙曲線的離心率為 2C.

B.B.2D.中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率 設(shè)△ABCABC120A，B為焦點且過點C3.C(2,0)，右頂點為(3,02若直線lykx2

ABOAOB2（其中O為原點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(4，－10)．M(3，m)在雙曲線上．12 (3)求△FMF面12四．達(dá)標(biāo)練2設(shè)mF0,52

x9

1的一個焦點，則m x4

的距離 x y 3

1的一條漸近線的傾斜角為120，則m（ m33B.333 D.353 53若雙曲線5m＝1的漸近線方程為

x，則雙曲線焦點F到漸近線的距離為 已知雙曲線a2－b2＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為 A．(1， B．(1，C．( D．[5設(shè)橢圓C1的離心率 ，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A.2－ B.2－

C.2－ D.

x y

雙曲 4(,C.(12,

1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是 k(3,D.(60,設(shè)雙曲

1(0ab的半焦距為c，直線l過(a,0、(0b兩點，且原點到直線l

3c47拋物一、知識要（一．拋物線的定lNMKF平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離 焦點，直lNMKFMxy為拋物線上的動點MF（dM到準(zhǔn)線l的距離（二．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性標(biāo)方pFl圖頂對稱xy焦離心準(zhǔn)方范開方焦半p2p2p2p2注：方法①圖形特征：拋物線懷抱著焦點，準(zhǔn)線在拋物線的另一標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項xy)拋物線的對稱軸為xy標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項系數(shù)為正（或負(fù)）拋物線的開口朝（或“負(fù)）二、基本訓(xùn)焦點在直線x－2y－4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

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