高中數(shù)學(xué) 2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 新人教必修3

問題提出1.隨機(jī)抽樣有哪幾種基本的抽樣方法？2.隨機(jī)抽樣是收集數(shù)據(jù)的方法，如何通過樣本數(shù)據(jù)所包含的信息，估計(jì)總體的基本特征，即用樣本估計(jì)總體，是我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.2023/1/171.2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布2023/1/172.頻數(shù)：在總體(或樣本）中，某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)叫做這個(gè)個(gè)體的頻數(shù)。頻率：某個(gè)個(gè)體的頻數(shù)與總體(或樣本）中所含個(gè)體的數(shù)量的比叫做這個(gè)個(gè)體的頻率。性質(zhì)：在總體(或樣本）中，各個(gè)個(gè)體的頻率之和等于1。2023/1/173.【問題】

我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).通過抽樣調(diào)查，獲得100位居民2007年的月均用水量如下表（單位：t）：2023/1/174.3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2通過抽樣我們得到了100戶居民的某年的月平均用水量2023/1/175.為了確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)a，必須先了解全市居民的日常用水量的分布情況。通過抽樣調(diào)查了解居民的用水情況。課本66頁(yè)表2-12023/1/176.思考1：上述100個(gè)數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是什么？由此說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么？思考2：樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值的差稱為極差.如果將上述100個(gè)數(shù)據(jù)按組距為0.5進(jìn)行分組，那么這些數(shù)據(jù)共分為多少組？0.2～4.3（4.3-0.2）÷0.5=8.22023/1/177.思考3：以組距為0.5進(jìn)行分組，上述100個(gè)數(shù)據(jù)共分為9組，各組數(shù)據(jù)的取值范圍可以如何設(shè)定？思考4：如何統(tǒng)計(jì)上述100個(gè)數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)？如何計(jì)算樣本數(shù)據(jù)在各組中的頻率？你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來嗎？[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5].2023/1/178.分組頻數(shù)累計(jì)（劃記）頻數(shù)[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5]合計(jì)頻數(shù)累計(jì)（劃記）正正正正正正正正丅正正正正正正正正丅頻數(shù)48152225146421004.畫頻數(shù)分布表2023/1/179.思考5：上表稱為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表，由此可以推測(cè)該市全體居民月均用水量分布的大致情況，給市政府確定居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)提供參考依據(jù)，這里體現(xiàn)了一種什么統(tǒng)計(jì)思想？

用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.2023/1/1710.思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)上述頻率分布表，你對(duì)制定居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（即a的取值）有何建議？88%的居民月用水量在3t以下，可建議取a=3.思考7：在實(shí)際中，取a=3t一定能保證85%以上的居民用水不超標(biāo)嗎？哪些環(huán)節(jié)可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)論出現(xiàn)偏差？2023/1/1711.所得到的結(jié)論的統(tǒng)計(jì)意義3t這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)一定能保證85%以上的居民用水不超標(biāo)嗎？不一定！原因1、樣本只是總體的代表，并且具有隨機(jī)性，不同的樣本所得到的頻率分布表和直方圖是不同的。原因2、明年的用水情況與今年不可能完全一樣，但應(yīng)該大致一樣。2023/1/1712.所得到的結(jié)論的統(tǒng)計(jì)意義一般的，統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)果，是對(duì)于總體較為合理的估計(jì)或預(yù)測(cè)，但其誤差應(yīng)該控制在合理的范圍之內(nèi)。也正因?yàn)檫@樣，統(tǒng)計(jì)結(jié)果的好壞，往往需要進(jìn)一步的評(píng)價(jià)，或通過理論方法的檢驗(yàn)，或通過實(shí)際應(yīng)用的檢驗(yàn)。2023/1/1713.思考8：對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，其組數(shù)是由哪些因素確定的？

對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.按統(tǒng)計(jì)原理，若樣本的容量為n，分組數(shù)一般在（1+3.3lgn）附近選取.當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組.2023/1/1714.思考9：一般地，列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個(gè)步驟進(jìn)行？第一步，求極差.（極差=樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）第二步，決定組距與組數(shù).（設(shè)k=極差÷組距，若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，否則，組數(shù)=k+1）第三步，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組.第四步，統(tǒng)計(jì)頻數(shù)，計(jì)算頻率，制成表格.

（頻數(shù)=樣本數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的個(gè)數(shù)，頻率=頻數(shù)÷樣本容量）2023/1/1715.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考1：為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況，我們將上述頻率分布表中的有關(guān)信息用下面的圖形表示：2023/1/1716.上圖稱為頻率分布直方圖，其中橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率/組距.頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的寬度和高度在數(shù)量上有何特點(diǎn)？寬度：組距高度：頻率組距月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1717.思考2：頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積表示什么？各小長(zhǎng)方形的面積之和為多少？各小長(zhǎng)方形的面積=頻率各小長(zhǎng)方形的面積之和=1月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1718.思考3：頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，使我們能夠看到頻率分布表中看不太清楚的數(shù)據(jù)模式，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來.你能根據(jù)上述頻率分布直方圖指出居民月均用水量的一些數(shù)據(jù)特點(diǎn)嗎？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1719.（1）居民月均用水量的分布是“山峰”狀的，而且是“單峰”的；（2）大部分居民的月均用水量集中在一個(gè)中間值附近，只有少數(shù)居民的月均用水量很多或很少；（3）居民月均用水量的分布有一定的對(duì)稱性等.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1720.思考5：對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖的外觀形狀與哪些因素有關(guān)？在居民月均用水量樣本中，你能以1為組距畫頻率分布直方圖嗎？與分組數(shù)（或組距）及坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度有關(guān).月均用水量/t頻率組距0.40.30.20.112345O2023/1/1721.

總結(jié)畫頻率分布直方圖的操作步驟1.求極差，即數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差2.決定組距與組數(shù)

組數(shù)=極差/組距3.將數(shù)據(jù)分組,通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間，取左閉右開區(qū)間,

最后一組取閉區(qū)間4.登記頻數(shù),計(jì)算頻率和頻率／組距,列出頻率分布表5.畫出頻率分布直方圖（縱軸表示頻率／組距）2023/1/1722.頻率分布表和頻率分布直方圖在帶給我們?cè)S多新的信息的同時(shí)，也丟失了一些信息，如原始數(shù)據(jù)不能在分布表和直方圖中很好地體現(xiàn)出來。頻率分布直方圖的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？2023/1/1723.全優(yōu)81頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練2023/1/1724.1．為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？全優(yōu)39頁(yè)變式訓(xùn)練2023/1/1725.【解析】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：2023/1/1726.4.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．60解析：∵成績(jī)低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績(jī)低于60分的頻率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人數(shù)是15人，全優(yōu)40頁(yè)基礎(chǔ)夯實(shí)2023/1/1727.6.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示：（1）直方圖中x的值為______；（2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為______．解析：（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．全優(yōu)41頁(yè)能力提升2023/1/1728.6.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示：（1）直方圖中x的值為______；（2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為______．解得x=0.0044．（2）樣本數(shù)據(jù)落在[100，150）內(nèi)的頻率為0.0036×50=0.18，樣本數(shù)據(jù)落在[150，200）內(nèi)的頻率為0.006×50=0.3．樣本數(shù)據(jù)落在[200，250）內(nèi)的頻率為0.0044×50=0.22，故在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為（0.18+0.30+0.22）×100=70．2023/1/1729.8.如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）求：79.5-89.5這一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)、頻率；（2）求：本次競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）。解：（1）頻率為：0.025×10=0.25，頻數(shù)：60×0.25=15；（2）0.015×10+0.03×10+0.025×10+0.005×10=0.75。全優(yōu)41頁(yè)能力提升2023/1/1730.思考1：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各組數(shù)據(jù)的平均值大致是哪些數(shù)？

月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1731.思考2：在頻率分布直方圖中，依次連接各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到一條折線，這條折線稱為頻率分布折線圖.你認(rèn)為頻率分布折線圖能大致反映樣本數(shù)據(jù)的頻率分布嗎？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1732.思考3：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí)（如抽樣調(diào)查全國(guó)城市居民月均用水量），隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增多，組距減少，你能想象出相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)發(fā)生什么變化嗎？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O2023/1/1733.頻率組距產(chǎn)品尺寸（mm）ab

當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近一條光滑曲線——總體密度曲線．區(qū)間在總體內(nèi)取值的概率總體密度曲線總體密度曲線2023/1/1734.

用樣本分布直方圖去估計(jì)相應(yīng)的總體分布時(shí)，一般樣本容量越大，頻率分布直方圖就會(huì)無限接近總體密度曲線，就越精確地反映了總體的分布規(guī)律，即越精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值百分比。

總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,精確地反映了總體的分布規(guī)律。是研究總體分布的工具.總體密度曲線2023/1/1735.思考：對(duì)于一個(gè)總體，如果存在總體密度曲線，這條曲線是否惟一？頻率分布表、頻率分布直方圖和折線圖的主要作用是表示樣本數(shù)據(jù)的分布情況，此外，我們還可以用莖葉圖來表示樣本數(shù)據(jù)的分布情況.由于樣本是隨機(jī)的，不同的樣本得到的不同頻率分布折線圖；即使對(duì)與同一樣本，不同的分組情況得到的也不同頻率分布折線圖。頻率分布折線圖是隨著樣本容量和分組情況變化而變化的。2023/1/1736.某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄為：甲運(yùn)動(dòng)員的得分：135123826381633142839乙運(yùn)動(dòng)員的得分：49241231503144361537253639我們可以畫出莖葉圖，也就是中間的數(shù)表示十位數(shù)，旁邊的數(shù)表示兩個(gè)人得分的個(gè)位數(shù)，就象一棵樹的莖與葉子一樣，能更直觀地看出這兩個(gè)人的得分情況。莖葉圖2023/1/1737.甲乙0123452554161679490846368389

1(1)甲運(yùn)動(dòng)員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39(2)乙運(yùn)動(dòng)員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39莖葉圖

葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)，表示得分的個(gè)位數(shù)。

莖是指中間的一列數(shù)，表示得分的十位數(shù)2023/1/1738.莖葉圖不僅能夠保留原始數(shù)據(jù)，而且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況。從運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的分布來看，乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好；從葉在莖上的分布情況來看，乙運(yùn)動(dòng)員的得分更集中于峰值附近，說明乙運(yùn)動(dòng)員的發(fā)揮更穩(wěn)定。在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好。它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)紀(jì)錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的紀(jì)錄和表示都能帶來方便。但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便。因?yàn)槊恳粋€(gè)數(shù)據(jù)都要在莖葉圖中占據(jù)一個(gè)空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會(huì)很長(zhǎng)。2023/1/1739.畫莖葉圖的步驟：1.將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位