高中數(shù)學(xué) 2.4.3《二次函數(shù)的最值問題》 北師大必修1

二次函數(shù)的最值2023/1/17.二次函數(shù)的最值問題重點掌握閉區(qū)間上的二函數(shù)的最值問題難點了解并會處理含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題核心區(qū)間與對稱軸的相對位置思想

數(shù)形結(jié)合分類討論

2023/1/17.復(fù)習(xí)引入

頂點式:y=a(x-m)２+n(a0)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)一般式:y=ax2+bx+c(a0)=a(x+)2+a>0時開口向上

x=-ymin=a<0時開口向下x=-ymax=

這些你都記得嗎?2023/1/17.

新課一、閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值對于任意的二次函數(shù)如f(x)=a(x-m)2+n(a>0)時在區(qū)間[h,k]上的最值問題則有：1、若m∈[h,k]則ymin=n;ymax=max｛f(h),f(k)｝如下圖：mhknhkm2023/1/17.2、若m[h,k]則ymin=minf(h),f(k);ymax=maxf(h),f(k)如下圖：

思考題:二次函數(shù)如f(x)=a(x-m)2+n(a<0)時在區(qū)間[h,k]上的最值又如何呢?hkmhkm2023/1/17.1.若m∈[h,k]則ymax=n;ymin=min｛f(h),f(k)｝如下圖：mhkhkmnhkmhkm2、若m[h,k]則ymax=max｛f(h),f(k)｝;ymin=max｛f(h),f(k)｝如下圖：2023/1/17.即當(dāng)x=-1時ymin=-4;當(dāng)x=2時ymax=f(2)=5練習(xí)1求函數(shù)y=x2-2x-3且x[0,3]的最值？例題1已知函數(shù)y=x2+2x-3且x[-2，2],求函數(shù)的最值？解析：函數(shù)配方有y=(x+1)2-4如右圖2023/1/17.例題2已知函數(shù)y=-x2-2x+3且x[0，2],求函數(shù)的最值？

解析：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4因為x[0，2]如右圖則ymax=f(0)=0+0+3=3ymin=f(2)=-4-4+3=-5練習(xí)2求函數(shù)y=-x2+2x+3且x[0,2]的最值？2023/1/17.二、含參變量的二次函數(shù)最值問題

解析：因為函數(shù)y=x2+2ax+3=（x+a)2+3-a2的對稱軸為x=-a。要求最值則要看x=-a是否在區(qū)間[-2，2]之內(nèi)，則從以下幾個方面解決如圖：1、軸動區(qū)間靜2、軸靜區(qū)間動例3：求函數(shù)y=x2+2ax+3在x[-2,2]時的最值？2023/1/17.ⅠⅡⅢⅣ-a2023/1/17.Ⅱ當(dāng)-2＜-a≤0時f(x)max=f(2)=7+4a(0≤a＜2)f(x)min=f(-a)=3-a2

Ⅰ當(dāng)-a≤-2時f(x)max=f(2)=7+4a(a≥2)時f(x)min=f(-2)=7-4aⅢ當(dāng)0＜-a≤2時f(x)max=f(-2)=7-4a(-2≤a＜0)f(x)min=f(-a)=3-a2

Ⅳ當(dāng)-a＞2時f(x)max=f(-2)=7-4a(a≤-2)f(x)min=f(2)=7+4a則由上圖知解為:2023/1/17.

例4求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]的函數(shù)的最值?解析:

因為函數(shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要看區(qū)間[k,k+2]與對稱軸x=1的位置,則從以下幾個方面解決如圖:2023/1/17.X=1kK+22023/1/17.則由上圖知解為:當(dāng)k+2≤1(k≤-1)時f(x)max=f(k)=k2-2k-3f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3當(dāng)k＜1＜k+2時f(x)max=max｛f(k),f(k+2)｝(-1＜k＜1)f(x)min=f(1)=-4當(dāng)k≥1時f(x)max=f(k+2)=k2+2k+3f(x)min=f(k)=k2-2k-3

2023/1/17.例5求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[-3,m]函數(shù)的最值?解析:因為函數(shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要根據(jù)具體的區(qū)間[-3,m]與對稱軸x=1的位置,則從以下兩個方面解決如圖:2023/1/17.m2023/1/17.則由上圖知解為:Ⅰ當(dāng)-3＜m≤1時f(x)max=f(-3)=12f(x)min=f(m)=m2+2m+3

Ⅱ當(dāng)1＜m時f(x)max=max｛f(-3),f(m)｝f(x)min=f(1)=-4練習(xí)3求函數(shù)y=x2-2ax-3在x∈[0,3]的最值？

練習(xí)4求