高等數(shù)學(xué) 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性課件

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四、反函數(shù)的連續(xù)性五、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性六.初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式1、連續(xù)性概念的增量形式在某過(guò)程中,變量u的終值u2與它的初值u1的差u2u1,稱(chēng)為變量u在u1處的增量,記為u=u2－u1.定義u是一個(gè)整體記號(hào),它可以取正值、負(fù)值或零.有時(shí)我們也稱(chēng)u為變量u在u1處的差分.連續(xù)性概念的增量形式則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).設(shè)f

(x)在U(x0)內(nèi)有定義.若定義自變量的增量趨于零時(shí),函數(shù)的增量也趨于零.設(shè)f

(x)在U(x0)內(nèi)有定義,若則稱(chēng)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的.2、函數(shù)連續(xù)性的定義(極限形式)函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)局部性的概念,是逐點(diǎn)定義的.定義是整個(gè)鄰域函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),應(yīng)該滿(mǎn)足以下三點(diǎn)：(1)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義；(包括在點(diǎn)x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值)3.函數(shù)的左、右連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在[x0,x0+)內(nèi)有定義.若則稱(chēng)f

(x)在x0點(diǎn)處右連續(xù).設(shè)函數(shù)f(x)在(x0–,x0]內(nèi)有定義.若則稱(chēng)f

(x)在x0點(diǎn)處左連續(xù).其中,為任意常數(shù).定義函數(shù)在點(diǎn)x0

連續(xù),等價(jià)于它在點(diǎn)x0

既左連續(xù)又右連續(xù).定理討論y=|x|,x()在點(diǎn)x=0處

y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù).xyy=|x|O的連續(xù)性.例2解4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在開(kāi)區(qū)間(a,

b)內(nèi)有定義.若x0(a,

b),f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則稱(chēng)f

(x)在開(kāi)區(qū)間(a,

b)內(nèi)連續(xù),記為f(x)C((a,b)).定義若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a處右連續(xù),在端點(diǎn)x=b處左連續(xù),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),記為f(x)C([a,b]).對(duì)半開(kāi)閉區(qū)間和無(wú)窮區(qū)間可類(lèi)似定義連續(xù)性定義一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則記為f(x)C(I).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

通常將函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做函數(shù)的間斷點(diǎn).函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),應(yīng)該滿(mǎn)足以下三點(diǎn)：(1)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義；(包括在點(diǎn)x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值)(1)f

(x)在x0處無(wú)定義.若函數(shù)在點(diǎn)滿(mǎn)足下述三個(gè)條件中的任何一個(gè),則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處間斷,點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)f

(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)：定義2.函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi)函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍可去無(wú)窮振蕩其它(1)第一類(lèi)間斷點(diǎn)若x0為函數(shù)f

(x)的一個(gè)間斷點(diǎn),且f

(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).則稱(chēng)x0為函數(shù)定義討論函數(shù)f

(x)=x+1 x

>0sinx

x

<0在x=0處的連續(xù)性.yxO1y=sinxy＝x+1由圖可知,函數(shù)在點(diǎn)x0處間斷.例4討論函數(shù)在x=1無(wú)定義,故x=1為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).x=1為函數(shù)的間斷點(diǎn).yxO11P(1,2)y＝x+1進(jìn)一步分析該間斷點(diǎn)的特點(diǎn).例5解補(bǔ)充定義則函數(shù)f*(x)

在x=1連續(xù).f*

(x)

=2x=1即定義分析這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為可去間斷點(diǎn).處函數(shù)值后,可得到一個(gè)新的連續(xù)函數(shù),故將在且相等,即極限存在,經(jīng)過(guò)補(bǔ)充定義間斷點(diǎn)這個(gè)間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是該處的左、右極限存補(bǔ)充定義f*

(x)

=,x=x0(2)第二類(lèi)間斷點(diǎn)凡不屬于第一類(lèi)的間斷點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).這算定義嗎？定義即左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).討論函數(shù)xyO在x

=0無(wú)定義,x

=0為函數(shù)的間斷點(diǎn),故

x

=0為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).所以稱(chēng)它為無(wú)窮間斷點(diǎn).由于例6解在x

=0處無(wú)定義,又不存在,故x=0為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).看看該函數(shù)的圖形.例7解O11xy無(wú)窮型間斷點(diǎn)其它間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在左右極限至少有一個(gè)為無(wú)窮振蕩型間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)振蕩回憶函數(shù)極限的四則運(yùn)算則三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),fi(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則即

有限個(gè)在點(diǎn)x0

處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)的函數(shù).即(2)有限個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處的連續(xù)函數(shù).即(3)兩個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)的商,當(dāng)分母不為零時(shí),仍是一個(gè)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù).即2、反函數(shù)的連續(xù)性

y

=f

－1(x)的圖形只是y=f

(x)的圖形繞直線y=x

翻轉(zhuǎn)180o而成,故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x=f

－1(y)與y=f

(x)的圖形相同,連續(xù)性保持.從而,單調(diào)性、設(shè)函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)且連續(xù),則其反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間I*={y|y=f(x),xI}上嚴(yán)格單調(diào)增加

(減少)且連續(xù).定理3(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy11Oxy11O例8設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),且u0

=

(x0),函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù).若復(fù)合函數(shù)y=f((x))在U(x0)內(nèi)則y=f((x))在x0點(diǎn)處連續(xù).有定義,這個(gè)條件有必要嗎？定理(復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理)3、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果

y=f(u)在u0處連續(xù),則

,當(dāng)|uu0|<時(shí),有|f(u)

f

(u0)|<再假設(shè)u=(x),且在x0處連續(xù),即亦即證明:|u

u0|=|(x)

(x0)|<

故對(duì)上面的,,當(dāng)|x

x0|<時(shí),有則

,當(dāng)|x

x0|<

時(shí),|u

u0|=|(x)

(x0)|<

且有（假設(shè)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)）|f(u)

f(u0)|＝|f((x))f((x0))|<u=cosx1是在定義域內(nèi)的定義域是一個(gè)孤立點(diǎn)集D={x|x=2k,kZ}從而,函數(shù)在其定義域內(nèi)的但由它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)連續(xù)的函數(shù),每一點(diǎn)均不連續(xù).例9在上述定理的條件下,在上述定理的條件下,極限符號(hào)可與連續(xù)函數(shù)符號(hào)交換順序.推論1設(shè)函數(shù)u=(x)的極限存在：函數(shù)y=f

(u)在點(diǎn)u=a處連續(xù).復(fù)合函數(shù)f

((x))當(dāng)xx0

時(shí)的極限存在,且若復(fù)合函數(shù)f

((x))在內(nèi)有定義,則推論2求例10解利用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性推論求極限求y

=lnu

在其定義域內(nèi)連續(xù),故（y

=lnu

在u=1處連續(xù)）例11解4.初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù).注意兩者的區(qū)別！利用初等函數(shù)和反函數(shù)連續(xù)性求極限求連續(xù)性給極限運(yùn)算帶來(lái)很大方便.例12解例14例13故