高等數(shù)學(xué) 函數(shù)的連續(xù)性課件

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義第十節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章一、函數(shù)連續(xù)性的定義1.變量的增量設(shè)變量

從它的一個初值變到終值終值與初值的差就叫做變量u的增量記作即注：不表示某個變量與u的乘積，而是一個整體不可分割的記號.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

的某一個鄰域內(nèi)是有定義的

當(dāng)自變量

在這鄰域內(nèi)從變到

時函數(shù)y相應(yīng)地從變到因此函數(shù)y的對應(yīng)增量為其幾何意義如右圖所示：可見,函數(shù)在點(diǎn)定義:在的某一鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;前提條件左連續(xù)與右連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價命題:如果存在且等于即如果存在且等于即左連續(xù):右連續(xù):例1解右連續(xù)但不左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),并且在左端點(diǎn)處右連續(xù),在右端點(diǎn)處左連續(xù),則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).簡單地說，連續(xù)函數(shù)的圖形能一筆畫成。例3.

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).導(dǎo)致函數(shù)圖象斷開的原因？？？２、(1)在x=1處有定義(3)函數(shù)f(x)的極限不存在。12oxy2.5yxo12３、(1)在x=1處有定義；(2)函數(shù)在x=1處的左右極限相等，即函數(shù)在x=1處的極限存在，且等于2，但不等于f(1)導(dǎo)致函數(shù)圖象斷開的原因：1、函數(shù)在處沒有定義2、函數(shù)在時極限不存在函數(shù)值不等3、函數(shù)在處的極限值和oxy1212oxy2.5yxo12為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).因?yàn)?，如果修改定義f(0)=1，在x=0連續(xù).則函數(shù)xyO1內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn):跳躍間斷點(diǎn):左右極限不相等第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn):振蕩間斷點(diǎn):函數(shù)值在的去心鄰域(左右極限至少有一個不存在)在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價形式(左右極限都存在)內(nèi)變動無限多次左右極限相等,但不等于函數(shù)值或無定義思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2.設(shè)時提示:在x=0連續(xù).答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。

解：由函數(shù)的表達(dá)式可知，間斷點(diǎn)只能在無定義處。因?yàn)樗詾殚g斷點(diǎn)。而所以為第二類無窮間斷點(diǎn)。

所以為第一類可去間斷點(diǎn)。思考題間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).1.P49題52.確定函數(shù)分析所給函數(shù)是極限的形式，首先應(yīng)求出不同區(qū)間的極限，給出函數(shù)的分段函數(shù)表達(dá)式，然后再研究間斷點(diǎn)及其類型。求函數(shù)