D二重積分的計(jì)算法

會(huì)計(jì)學(xué)1D二重積分的計(jì)算法同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算第1頁/共30頁且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則第2頁/共30頁當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于第3頁/共30頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第4頁/共30頁例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則第5頁/共30頁例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則第6頁/共30頁練習(xí)：計(jì)算其中是由直線所圍成的閉區(qū)域。，及解既是X型的，是Y－型的（計(jì)算比較麻煩）第7頁/共30頁例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第8頁/共30頁例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第9頁/共30頁例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:第10頁/共30頁例6.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,第11頁/共30頁例7.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為第12頁/共30頁對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為第13頁/共30頁即第14頁/共30頁設(shè)則特別,對(duì)第15頁/共30頁若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)第16頁/共30頁例8.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.第17頁/共30頁注:利用例8可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.第18頁/共30頁例9.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知第19頁/共30頁定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,第20頁/共30頁證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則第21頁/共30頁同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為第22頁/共30頁因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),第23頁/共30頁例10.

計(jì)算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則第24頁/共30頁例11.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則第25頁/共30頁例12.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.第26頁/共30頁內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t第27頁/共30頁則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下第28頁/共30頁(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出