D凹凸性與曲率

會(huì)計(jì)學(xué)1D凹凸性與曲率定理.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢第1頁/共24頁例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),第2頁/共24頁例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸第3頁/共24頁對(duì)應(yīng)例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上是凹的,是凸的,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第4頁/共24頁三、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn)M

開始取弧段,其長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)切線定義弧段上的平均曲率點(diǎn)

M

處的曲率注意:

直線上任意點(diǎn)處的曲率為0!轉(zhuǎn)角為第5頁/共24頁例4.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第6頁/共24頁有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率K的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由第7頁/共24頁說明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則第8頁/共24頁例5.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.第9頁/共24頁例5.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)解:顯然第10頁/共24頁例6.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小求駐點(diǎn):第11頁/共24頁設(shè)從而

K

取最大值.這說明橢圓在點(diǎn)處曲率計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.K

最大最小第12頁/共24頁四、曲率圓與曲率半徑設(shè)M

為曲線C

上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點(diǎn)M

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D

使第13頁/共24頁設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式.第14頁/共24頁滿足方程組由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào))當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿曲線移動(dòng)時(shí),的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停第15頁/共24頁例7.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過才不會(huì)產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.例3第16頁/共24頁內(nèi)容小結(jié)1.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)曲線在I

上是凹的曲線在I

上是凸的第17頁/共24頁2.弧長(zhǎng)微分或3.曲率公式4.曲率圓曲率半徑曲率中心第18頁/共24頁

.1.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;

;第五節(jié)思考與練習(xí)第19頁/共24頁2.曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答:

有公切線;凹向一致;曲率相同.3.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則利用第20頁/共24頁有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求