D導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則

會(huì)計(jì)學(xué)1D導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（瞬時(shí)速度）設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)注第1頁(yè)/共51頁(yè)2.

切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率第2頁(yè)/共51頁(yè)兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限

.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題注第3頁(yè)/共51頁(yè)二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,且極限為記作:即則稱函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義,若在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).第4頁(yè)/共51頁(yè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率注第5頁(yè)/共51頁(yè)若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).

若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).

的導(dǎo)數(shù)為無窮大.第6頁(yè)/共51頁(yè)例1.

求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:例2.

求函數(shù)解:第7頁(yè)/共51頁(yè)說明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）第8頁(yè)/共51頁(yè)例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得第9頁(yè)/共51頁(yè)例4.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或第10頁(yè)/共51頁(yè)原式是否可按下述方法作:Ex1.

證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,Ex2.

設(shè)存在,求極限解:

原式第11頁(yè)/共51頁(yè)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:第12頁(yè)/共51頁(yè)例5.問曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線第13頁(yè)/共51頁(yè)四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即第14頁(yè)/共51頁(yè)在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)有定義，五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若則稱之為函數(shù)在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2

.

設(shè)存在,第15頁(yè)/共51頁(yè)定理2.

存在在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).且第16頁(yè)/共51頁(yè)內(nèi)容回顧1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;

作業(yè)：P86:6,7，9,13,16,17

第17頁(yè)/共51頁(yè)練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:有什么區(qū)別與聯(lián)系?與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則第18頁(yè)/共51頁(yè)3.

設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).第19頁(yè)/共51頁(yè)第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章

第20頁(yè)/共51頁(yè)思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容第21頁(yè)/共51頁(yè)一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且下面證明（2）、（3）,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.第22頁(yè)/共51頁(yè)(2)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))第23頁(yè)/共51頁(yè)例1.

解:第24頁(yè)/共51頁(yè)(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))第25頁(yè)/共51頁(yè)1.

導(dǎo)數(shù)----增量比值的極限復(fù)習(xí)第一節(jié)與四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

2011.10.25例.

已知?jiǎng)t第26頁(yè)/共51頁(yè)3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:2.切線的斜率;復(fù)習(xí)2011.10.25第27頁(yè)/共51頁(yè)6、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

復(fù)習(xí)2011.10.25第28頁(yè)/共51頁(yè)例2.

求證證:類似可證:注第29頁(yè)/共51頁(yè)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此第30頁(yè)/共51頁(yè)例3.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得第31頁(yè)/共51頁(yè)2)

設(shè)則特別當(dāng)時(shí),第32頁(yè)/共51頁(yè)在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有第33頁(yè)/共51頁(yè)例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.第34頁(yè)/共51頁(yè)例4.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)(3)說明:

類似可得第35頁(yè)/共51頁(yè)例5.

設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí):

設(shè)第36頁(yè)/共51頁(yè)例6.

設(shè)解:記則(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見P96例17.的反函數(shù)第37頁(yè)/共51頁(yè)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P95)第38頁(yè)/共51頁(yè)練習(xí)1.

求解:練習(xí)2.設(shè)解:求第39頁(yè)/共51頁(yè)1.

有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)內(nèi)容小結(jié)第40頁(yè)/共51頁(yè)4.求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見P95)注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).P972.單號(hào)

;6.(9,10);7.(5,8);8.(2,3,6);11.(3，5，8)作業(yè)內(nèi)容小結(jié)第41頁(yè)/共51頁(yè)1.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或第1、2節(jié)課外練習(xí)第42頁(yè)/共51頁(yè)2.

設(shè)求解:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.第43頁(yè)/共51頁(yè)課外練習(xí)

1.

設(shè)解：2.設(shè)解:其中可導(dǎo),求求第44頁(yè)/共51頁(yè)解:

因?yàn)?.

設(shè)存在,且求所以第45頁(yè)/共51頁(yè)在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖冢瑒t有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).4.

設(shè)故第46頁(yè)/共51頁(yè)5.求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第47頁(yè)/共51頁(yè)6.

設(shè)求解:第48頁(yè)/共51頁(yè)牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《