D第一型面積分

會(huì)計(jì)學(xué)1D第一型面積分定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類(lèi)曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面.第1頁(yè)/共23頁(yè)則對(duì)面積的曲面積分存在.?對(duì)積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面

上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類(lèi)似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第2頁(yè)/共23頁(yè)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

1曲面面積令第3頁(yè)/共23頁(yè)曲面的面積為例：求半徑為a的球面面積.第4頁(yè)/共23頁(yè)若光滑曲面為則若光滑曲面為則若光滑曲面為則第5頁(yè)/共23頁(yè)例：求圓柱面在第一卦限中被平面所截下部分的面積。第6頁(yè)/共23頁(yè)定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有則曲面積分推論:

設(shè)有光滑曲面2第一型曲面積分的計(jì)算第7頁(yè)/共23頁(yè)例:可有類(lèi)似的公式.如果曲面方程為說(shuō)明:第8頁(yè)/共23頁(yè)課本例6.8:第9頁(yè)/共23頁(yè)例1.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:第10頁(yè)/共23頁(yè)思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則第11頁(yè)/共23頁(yè)例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面第12頁(yè)/共23頁(yè)例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xOy面上的投影域?yàn)閯t第13頁(yè)/共23頁(yè)思考:

若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?第14頁(yè)/共23頁(yè)例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:

設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)第15頁(yè)/共23頁(yè)例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則第16頁(yè)/共23頁(yè)例6.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式第17頁(yè)/共23頁(yè)例7.計(jì)算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.第18頁(yè)/共23頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類(lèi)似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.第19頁(yè)/共23頁(yè)備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z=1以上部分的的面密度質(zhì)量M.解:

在xOy

面上的投影為

故第20頁(yè)/共23頁(yè)2.