常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用第一節(jié)常微分方程的基本概念與分離變量法

第二節(jié)一階線性微分方程與可降階的高階微分方程

第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程

第1頁(yè)/共52頁(yè)第一節(jié)常微分方程的基本概念與分離變量法

一、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。注：在微分方程中，如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則方程稱為常微分方程，簡(jiǎn)稱微分方程。2.微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.第2頁(yè)/共52頁(yè)一般地，n階微分方程的一般形式為：

3.微分方程的解、通解（1）若某函數(shù)代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解。如y=x2+2是方程（1）的解,

顯然y=x2+C

也是方程（1）的解.

（2）如果微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，這樣的解稱為微分方程的通解.

如y=x2+C

是方程（1）的通解.

4．微分方程的初始條件和特解（1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件；

第3頁(yè)/共52頁(yè)一般地一階微分方程的初始條件為：

二階微分方程的初始條件為：

（2）由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解，稱為微分方程的特解。如y=x2+2是方程（1）的特解.第4頁(yè)/共52頁(yè)中含有一個(gè)任意常數(shù)C，而所給方程又是一階微分方程，

是所給方程的通解.

中含有兩個(gè)任意常數(shù)，而所給方程又是二階的，

第5頁(yè)/共52頁(yè)二、分離變量法

1．定義形如的方程稱為可分離變量的方程.

特點(diǎn)--等式右端可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)只是x

的函數(shù)，另一個(gè)只是y的函數(shù)2．解法設(shè)第6頁(yè)/共52頁(yè)當(dāng)g(y)≠0時(shí)，兩端積分得通解

注(1)當(dāng)g(y)=0時(shí)，設(shè)其根為y=α，則y=α也是原方程的解；

解分離變量，得

ydy=-xdx,

第7頁(yè)/共52頁(yè)

說(shuō)明：在解微分方程時(shí)，如果得到一個(gè)含對(duì)數(shù)的等式，為了利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可將任意常數(shù)寫成klnC的形式，k的值可根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定，如例2中取k=1/2.第8頁(yè)/共52頁(yè)例5設(shè)降落傘從跳傘臺(tái)下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開(kāi)塔頂(t=0)時(shí)的速度為零。求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下落速度為v(t)時(shí)傘所受空氣阻力為-k

（負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反（k為常數(shù)）傘在下降過(guò)程中還受重力P=mg作用，

由牛頓第二定律得

于是所給問(wèn)題歸結(jié)為求解初值問(wèn)題

第9頁(yè)/共52頁(yè)第10頁(yè)/共52頁(yè)

由此可見(jiàn)，隨著t的增大，速度趨于常數(shù)mg/k，但不會(huì)超過(guò)mg/k，這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng).

第11頁(yè)/共52頁(yè)第二節(jié)一階線性微分方程與可降階的高階微分方程

一、一階線性微分方程

1．定義：形如

的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的連續(xù)函數(shù),Q(x)稱為自由項(xiàng)．特點(diǎn)：方程中的未知函數(shù)y及導(dǎo)數(shù)

都是一次的．

2．分類若Q(x)=0,即

稱為一階線性齊次微分方程．若Q(x)≠0,則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程．第12頁(yè)/共52頁(yè)3．一階線性齊次方程的解法

類型：可分離變量的微分方程．其中C為任意常數(shù).

4．一階線性非齊次方程的解法用常數(shù)變易法．

第13頁(yè)/共52頁(yè)

在方程（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變易,假設(shè)方程（1）有如下形式的解：

其中C（x）為待定函數(shù)．

第14頁(yè)/共52頁(yè)于是方程(1)的通解為：（4）式稱為一階線性非齊次方程（1）的通解公式．上述求解方法稱為常數(shù)變易法．

用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為：(1)先求出非齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；(2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)C(x)即可；(3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程，解出C(x)，并寫出非齊次線性方程的通解．

第15頁(yè)/共52頁(yè)①

①式對(duì)應(yīng)的齊次方程為

②

將方程②分離變量得

兩邊積分得即

所以齊次方程②的通解為：

③

將上述通解中的任意常數(shù)C換成待定函數(shù)C(x)，將其待入方程①得

第16頁(yè)/共52頁(yè)將C(x)代入式③得原方程的通解：

第17頁(yè)/共52頁(yè)例3在串聯(lián)電路中，設(shè)有電阻R，電感L和交流電動(dòng)勢(shì)E=E0sinωt，在時(shí)刻t=0時(shí)接通電路，求電流i與時(shí)間t的關(guān)系（E0,ω為常數(shù)）．解設(shè)任一時(shí)刻t的電流為i．我們知道，電流在電阻R上產(chǎn)生一個(gè)電壓降uR=Ri，由回路電壓定律知道，閉合電路中電動(dòng)勢(shì)等于電壓降之和，即在電感L上產(chǎn)生的電壓降是

①第18頁(yè)/共52頁(yè)式①為一階非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中

利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解：

第19頁(yè)/共52頁(yè)二、可降階的高階微分方程

特點(diǎn)：方程y(n)=f(x)的右端僅含有自變量．解法：將兩端分別積分一次，得到一個(gè)n-1階微分方程;再積分一次，得到n-2階微分方程，連續(xù)積分n次，便可得到該方程的通解．

解將所給方程連續(xù)積分三次，得

第20頁(yè)/共52頁(yè)特點(diǎn)：方程右端不含未知函數(shù)y解法：令y’=t，則y″=t’，于是原方程可化為以t為未知函數(shù)的一階微分方程t’=f(x,t)．

第21頁(yè)/共52頁(yè)解令y’=t，則y″=t’，

代入原方程得

分離變量得

兩邊積分得即再積分得第22頁(yè)/共52頁(yè)例6如圖，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于x軸上A(1,0)點(diǎn)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷，魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦．設(shè)敵艦以常速v0沿平行于y

軸的直線行駛，又設(shè)魚雷的速率為2v0，求魚雷的航行曲線方程．

解設(shè)魚雷的航行曲線方程為y=y(x)，在時(shí)刻，魚雷的坐標(biāo)為P(x,y)，敵艦的坐標(biāo)為Q(1,v0t)．因?yàn)轸~雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦，所以

第23頁(yè)/共52頁(yè)令y’=p，方程可化為

這是不顯含y的可降階微分方程,根據(jù)題意，初始條件為

分離變量可解得從上面兩式消去v0t得：

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:

即即第24頁(yè)/共52頁(yè)所以而所以積分得以y(0)=0代入，得

所以魚雷的航行曲線方程為：

特點(diǎn)：方程右端不含變量x

第25頁(yè)/共52頁(yè)從而將原方程化為一階微分方程：

代入原方程得

當(dāng)y≠0，P≠0時(shí)，分離變量得：

兩端積分得：

當(dāng)P＝0時(shí)，則y=C（C為任意常數(shù)），

第26頁(yè)/共52頁(yè)顯然，它已含在解

所以原方程的通解為：

第27頁(yè)/共52頁(yè)

第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程定義形如

的方程，稱為二階常系數(shù)線性微分方程．其中p,q為常數(shù)

.注①當(dāng)f(x)≠0時(shí)，方程(1)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；②當(dāng)f(x)=0時(shí)，即

方程(2)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．

一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)

1．齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)

定義：設(shè)y1=y1(x)與y2=y2(x)是定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)，如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)k1

,k2，使得對(duì)于(a,b)內(nèi)的任一x恒有第28頁(yè)/共52頁(yè)k1y1+k2y2=0成立，則稱y1與y2在(a,b)內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)．由定義知：

y1與y2線性相關(guān)的充分必要條件是不恒為常數(shù)，則y1與y2線性無(wú)關(guān)．

定理1（齊次線性方程解的疊加原理）

第29頁(yè)/共52頁(yè)

若y1與y2是齊次線性方程(2)的兩個(gè)解，則y=C1y1+C2y2也是(2)的解，且當(dāng)與線性無(wú)關(guān)時(shí)，y=C1y1+C2y2就是式(2)的通解．證將y=C1y1+C2y2直接代入方程(2)的左端，得

所以y=C1y1+C2y2是方程(2)的解,又y1與y2線性無(wú)關(guān)，

C1和C2是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),即y=C1y1+C2y2中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程(2)的階數(shù)相同,所以它又是方程(2)的通解.

2．非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理2（非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)）第30頁(yè)/共52頁(yè)

若yp為非齊次線性方程(1)的某個(gè)特解，yc為方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程(2)的通解，則y=yp+yc為非齊次線性方程(1)之通解．證將y=yp+yc代入方程(1)的左端有

所以yp+yc確為方程(1)的解．又yc中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所以y=yp+yc中也含有兩獨(dú)立的任意常數(shù)，故y=yp+yc為方程(1)的通解．第31頁(yè)/共52頁(yè)定理3若y1為方程

y2為方程

則y=y1+y2為方程的解.證：將y=y1+y2代入方程(3)左端得

二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法其中p,q為常數(shù).第32頁(yè)/共52頁(yè)令方程(2)的解為（r為待定常數(shù)）

代入方程(2)得

(4)

由此可見(jiàn)，只要r滿足方程(4)，函數(shù)

就是方程(2)的解．

定義稱方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個(gè)根

r1,r2稱為特征根．

由于特征方程(4)的兩個(gè)根

只能有三種

不同情形，相應(yīng)地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的形式．

①當(dāng)Δ=p2-4q>0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1≠r2．

第33頁(yè)/共52頁(yè)由上面的討論知道

是方程(1)的兩個(gè)解．

又y1與y2線性無(wú)關(guān)，因此方程(2)的通解為

:②當(dāng)Δ=p2-4q=0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)相等實(shí)根r=r1=r2．

我們只能得到方程(1)的一個(gè)解

對(duì)y2求導(dǎo)得

代入方程(2)，得第34頁(yè)/共52頁(yè)又r是特征方程的二重根，

因?yàn)閡(x)不是常數(shù)，不妨取u(x)=x，

這樣得到方程（2）的另一個(gè)解

從而方程（2）的通解為

③如果Δ=p2-4q<0，即特征方程(4)有一對(duì)共軛復(fù)根

第35頁(yè)/共52頁(yè)為了求出方程(2)的兩個(gè)實(shí)數(shù)形式的解，利用歐拉公式

將y1與y2分別改寫為

由定理1知，

仍是方程(2)的解，這時(shí)

不是常數(shù)，

第36頁(yè)/共52頁(yè)即綜上，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的步驟如下：

第一步寫出方程的特征方程第二步求出特征方程的兩個(gè)根r1及r2;第三步根據(jù)特征根的不同情況，寫出微分方程的通解．具體如下：

第37頁(yè)/共52頁(yè)通解形式特征方程的根解特征方程為

特征根

第38頁(yè)/共52頁(yè)因此，方程的通解為

解特征方程為

特征根

因此，方程的通解為

解特征方程為特征根為于是方程的通解為

第39頁(yè)/共52頁(yè)

解特征方程為特征根

因此方程的通解為故所求特解為

三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法

第40頁(yè)/共52頁(yè)

其中p,q為常數(shù)，f(x)≠0它對(duì)應(yīng)的齊次方程為：

其中

λ為常數(shù)，Pm(x)為x的m次多項(xiàng)式，即

設(shè)想方程(5)有形如

其中Q(x)是一個(gè)待定多項(xiàng)式．

第41頁(yè)/共52頁(yè)

代入方程(5)，整理后得到：

(6)

①當(dāng)λ2+pλ+q≠0時(shí)，設(shè)

(7)

其中b0,b1,…,bm

為m+1個(gè)待定系數(shù)

將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得到以b0,b1,…,bm為未知數(shù)的m+1個(gè)線性方程的聯(lián)立方程組，從而求出b0,b1,…,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個(gè)特解為②當(dāng)λ2+pλ+q=0且2λ+p≠0時(shí)，(即λ為特征方程的單根)

第42頁(yè)/共52頁(yè)

那么式(6)成為

由此可見(jiàn)，Q’與Pm(x)同次冪，故應(yīng)設(shè)其中Qm(x)為m次待定多項(xiàng)式．

將Qm(x)代入式(6)確定Qm(x)的m+1個(gè)系數(shù)，從而得到方程(5)的一個(gè)特解：