2022年北京市清華附中高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．123．記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，且對中的任意兩項(xiàng)與（），其和，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）A． B．C． D．4．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．5．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知，則（）A．2 B． C． D．38．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．9．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．10．已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．311．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．201712．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和且，設(shè)，則的值等于_______________.14．能說明“在數(shù)列中，若對于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式）15．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.16．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過作直線與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長方形，長30cm，寬26cm，其內(nèi)部窗芯（不含長方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱．設(shè)菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長度之和為L．（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長度均不小于2cm，每個(gè)菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？18．（12分）已知函數(shù)（，）滿足下列3個(gè)條件中的2個(gè)條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對稱軸；③且在區(qū)間上單調(diào).（Ⅰ）請指出這二個(gè)條件，并求出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，求函數(shù)的值域.19．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．20．（12分）設(shè)函數(shù)，，（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為求a，b的值；證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛￠L比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于容易題.2．A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.3．D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，，，，只有是該數(shù)列中的項(xiàng)，同理可以得到，，，也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有，，或（舍，，根據(jù)，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．4．A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.5．C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設(shè)，，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.7．A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．8．B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，又，所以至少小于7，此時(shí)，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.9．A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.10．C【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，則，由于直線經(jīng)過點(diǎn)，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn)，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.12．C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最大值，即，，，當(dāng)時(shí)，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí)，取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7【解析】

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得，進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計(jì)算可得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，又，解得，當(dāng)時(shí)，由，所以，，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，又，，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14．答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.15．【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.16．【解析】

作出準(zhǔn)線，過作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何知識計(jì)算出直線的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用平面幾何方法求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長，豎直方向每根支條長為，因此所需木料的長度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130cm2，得，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，令，則在上為增函數(shù)，解得L有最小值．試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長為cm，豎直方向每根支條長為cm，菱形的邊長為cm．從而，所需木料的長度之和L=cm．（2）由題意，，即，又由可得．所以．令，其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以可得．則=．因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)L有最小值．答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長的條形木料．考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題18．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計(jì)算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數(shù)值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)性，值域，表達(dá)式，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19．（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當(dāng)時(shí)，以及，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以．所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線為；（2）因?yàn)?，令，得或．列表如下?極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；（3）當(dāng)時(shí)，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20．（1）（2）【解析】分析：(1)先斷定在曲線上，從而需要求，令，求得結(jié)果，注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；(2)先將函數(shù)解析式求出，之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解：（Ⅰ）當(dāng)，.，當(dāng)，，所以切線方程為.（Ⅱ）,,因?yàn)椋?令，，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏显?，在單調(diào)遞增.,,因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的值域?yàn)?點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過程中，需要對公式的正確使用.21．（1）或；（2）或.【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，再解含絕對值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價(jià)于或或，解得：或.故不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋核裕?/p>