簡單的三角恒等變換 課件

第六節(jié)簡單的三角恒等變換三年3考高考指數(shù):★★能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換.1．利用公式變換,進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡是高考考查的熱點(diǎn).2.常與實際應(yīng)用問題、函數(shù)等結(jié)合命題.3.高考主要以解答題的形式進(jìn)行考查.1.半角公式【即時應(yīng)用】（1）思考：你能用sinα、cosα表示嗎？提示：(2)判斷下列公式及其變形是否正確.（請在括號中填寫“√”或“×”）①()②()③()【解析】①根據(jù)公式可知根號下分子上應(yīng)該是“+”，故錯;②等號右邊分子上應(yīng)該是“-”，故錯；③等號右邊分子上應(yīng)該是“-”，可以化簡驗證，故錯.答案：①×②×③×（3）填空：①cos215°-sin215°=______.②2sin215°-1=______.【解析】①cos215°-sin215°=cos30°=②2sin215°-1=-cos30°=-答案：①②-2.形如asinx+bcosx的式子的化簡(其中)(1)把下列三角函數(shù)式化成sin(x+φ)的形式.①sinα+cosα=______;②sinα+cosα=______;③5sinα+12cosα=______.(2)計算：=______.【即時應(yīng)用】【解析】(1)①②③(其中).（2）原式答案：（1）

(其中)(2)三角函數(shù)式的求值【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)式求值的類型和思路(1)三角函數(shù)式求值的類型三角函數(shù)式求值分為直接求值和條件求值,①直接求值就是直接根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當(dāng)?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)式的值.②條件求值是要根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行三角恒等變換求得所需要的值，同時注意所給角的范圍.（2）條件求值的一般思路①先化簡所求式子或所給條件;②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手);③將已知條件代入所求式子,化簡求值.【例1】(1)求值：=______.(2)若則tanαtanβ=______.(3)已知則=______.【解題指南】（1）把切函數(shù)換成弦函數(shù)再用公式化簡求值，重在公式的逆用；（2）利用兩角和、差的余弦公式展開求cosαcosβ,sinαsinβ，相除得結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件求出tanα，把所給的三角函數(shù)式變形，代入tanα即可.【規(guī)范解答】（1）原式

(2)由①②解得則(3)由得于是答案：(1)1(2)(3)【互動探究】把本例（2）中的“cos(α+β)=,cos(α-β)=”改為“sin(α+β)=,sin(α-β)=”,如何求？【解析】因為sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=,兩式相加得sinαcosβ=①兩式相減得cosαsinβ=-②=-2.【反思·感悟】三角函數(shù)式求值問題的注意點(diǎn)（1）三角函數(shù)式求值時一定要準(zhǔn)確地應(yīng)用公式和選擇恰當(dāng)?shù)乃悸?，否則會使求值過程繁瑣.（2）條件求值要求準(zhǔn)確利用所給的條件，在此可能涉及到式子的變形和角的變換，同時要注意所給角的范圍.【變式備選】已知求的值.【解析】又故可知從而三角函數(shù)式的化簡【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)式化簡的原則、要求及方法(1)三角函數(shù)式的化簡原則:一是統(tǒng)一角，二是統(tǒng)一函數(shù)名.能求值的求值，必要時切化弦，更易通分、約分.(2)(3)三角函數(shù)式化簡的方法主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角.【提醒】同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式在化簡中經(jīng)常應(yīng)用，特別是“1”的代換經(jīng)常用到.

三角函數(shù)式化簡的要求①能求出值的應(yīng)求出值；②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；③盡量使項數(shù)最少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).【例2】化簡【解題指南】利用三角函數(shù)的倍角公式湊根號下為完全平方式，化無理式為有理式，但要注意α的范圍.【規(guī)范解答】∴原式∵α∈(π,2π),∴∈(),∴cos<0,當(dāng)即時，∴原式當(dāng)即時，∴原式(其中tanφ=2),∴原式=(其中tanφ=2)，【反思·感悟】本題利用了“1”的逆代技巧，即化1為是欲擒故縱原則.一般地有【變式訓(xùn)練】化簡【解析】原式【變式備選】化簡：【解析】方法一:原式方法二：原式三角恒等式的證明【方法點(diǎn)睛】三角恒等式證明的方法及切入點(diǎn)(1)證明恒等式的方法：①從左到右；②從右到左；③從兩邊化到同一式子.原則上是化繁為簡，必要時也可用分析法.(2)三角恒等式證明的切入點(diǎn)：①看角：分析角的差異,消除差異,向結(jié)果中的角轉(zhuǎn)化;②看函數(shù):統(tǒng)一函數(shù),向結(jié)果中的函數(shù)轉(zhuǎn)化.

【例3】證明：（1）(2)【解題指南】（1）從等號的左邊開始證明先變成相同的角，再利用公式推導(dǎo)；（2）從等號的左邊證明，主要是利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，注意“1”的代換.【規(guī)范解答】（1）左邊==右邊，原題得證.（2）左邊

=右邊，原題得證.【互動探究】把本例（2）中等號左邊改為“-tan2α”,右邊不變，試證明.【證明】左邊==右邊.所以原等式成立.【反思·感悟】1.三角函數(shù)式的化簡與證明的類型及思路（1）對三角的和式，基本思路是降冪、消項和逆用公式；（2）對三角的分式，基本思路是分子與分母約分和逆用公式，最終變成整式或數(shù)值；（3）對二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.2.化簡與證明的過程中體現(xiàn)了化歸的思想，是一個“化異為同”的過程，涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”、“單角化復(fù)角”，“復(fù)角化單角”、“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段.【變式備選】若求證：sin2β=2sin2α-1.【證明】由已知得即即即∴sin2β=2sin2α-1，即等式成立.的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)性質(zhì)的討論(1)三角函數(shù)性質(zhì)的討論，可通過變形為

(其中)的形式去討論.這樣的變形，主要是φ角的確定.(2)通過恒等變形，可以將較為復(fù)雜的函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為較為簡潔的函數(shù)形式，有利于更好地討論三角函數(shù)的性質(zhì)，但要注意是恒等變形，因為在某些情形下，變形會導(dǎo)致定義域的變化，從而影響函數(shù)的值域和周期等性質(zhì).【提醒】該公式是逆用兩角和的正弦公式得到的.當(dāng)為特殊角即||的值為1或時要熟練掌握.對是非特殊角時,只要求會求最值即可.【例4】(2012·溫州模擬）已知函數(shù)(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)設(shè)x∈［0,］,f(x)的最小值是-2，最大值是，求實數(shù)a,b的值.【解題指南】(1)先把f(x)化為Asin(ωx+φ)的形式再求遞減區(qū)間.(2)利用條件列出關(guān)于a,b的方程組.【規(guī)范解答】

即為所求.由得【反思·感悟】該類問題的求法一般均需要把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式后,再求周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心等，正確利用恒等變換是解答本類題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在［0,］上的值域.【解析】（1）∴f(x)的最小正周期(2)所以f(x)在［］上的值域為［］.【滿分指導(dǎo)】三角函數(shù)性質(zhì)綜合題的規(guī)范解答【典例】（14分）(2011·四川高考)已知函數(shù)（1）求f(x)的最小正周期和最小值;（2）已知求證：［f(β)］2-2=0.【解題指南】（1）把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式；（2）利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得2cosβcosα=0，結(jié)合可得β=，從而問題得證.【規(guī)范解答】(1)……………4分∴f(x)的最小正周期T=2π，f(x)的最小值為-2.……………………6分（2）由已知得兩式相加得2cosβcosα=0.…………………10分∵0<α<β≤,∴β=,∴［f(β)］2-2=4sin2-2=0.………………14分【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示解答本題時有三點(diǎn)容易失分：（1）第（1）問中三角恒等變換中的誘導(dǎo)公式容易用錯，得不到化簡后的正確結(jié)果.（2）由α,β的和差的余弦值得不到2cosβcosα=0而導(dǎo)致后續(xù)計算無法進(jìn)行.（3）在第（2）問中得到2cosβcosα=0后忽略0<α<β≤得不到β的值，而無法繼續(xù)往下做.備考建議解答此類問題時還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確造成后面求解繁瑣或錯誤.（2）忽略特殊角的值而使問題漏解.另外，如果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，必須先通過恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)討論其圖象和性質(zhì).

1.(2011·大綱版全國卷)已知α∈(,π)，sinα=,則tan2α=______.【解析】由得答案：-2.(2011·重慶高考)已知且α∈(0,),則的值為______.【解析】由題