精品解析：廣東省江門市2022屆高三下學(xué)期3月高考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

江門市2022年高考模擬考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，測試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.做選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.5.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用補(bǔ)集、并集的定義計(jì)算作答.【詳解】解不等式得：，即，解不等式得：，則，，所以故選：C2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，利用給定等式建立方程，解方程求出復(fù)數(shù)z即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，則，因，即，即，則，解得，因此，，所以.故選：B3.已知a，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由重要不等式得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，故充分性成立，當(dāng)時(shí)，比如，滿足，但，故必要性不成立.故選：A4.第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.此屆冬奧會(huì)的項(xiàng)目中有兩大項(xiàng)是滑雪和滑冰，其中滑雪有6個(gè)分項(xiàng)，分別是高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺(tái)滑雪、越野滑雪和北歐兩項(xiàng)，滑冰有3個(gè)分項(xiàng)，分別是短道速滑、速度滑冰和花樣滑冰.甲和乙相約去觀看比賽，他們約定每人觀看兩個(gè)分項(xiàng)，而且這兩個(gè)分項(xiàng)要屬于不同大項(xiàng).若要求他們觀看的分項(xiàng)最多只有一個(gè)相同，則不同的方案種數(shù)是（）A.324 B.306 C.243 D.162【答案】B【解析】【分析】先求得總的觀看方案，再減去兩個(gè)分項(xiàng)都相同的觀看分案求解.【詳解】由題意得：總的觀看方案為，兩個(gè)分項(xiàng)都相同的觀看分案為，所以觀看的分項(xiàng)最多只有一個(gè)相同，則不同的方案種數(shù)是，故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用向量模的意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算作答.【詳解】因，，，則，所以.故選：C6.設(shè)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使的x取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可作出圖像，便可求得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)又為偶函數(shù)故可以作出的圖像如圖所示：或根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可知的取值范圍為：或故選：C7.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：任意一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當(dāng)好的成績.若將22拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉法求出所有拆解情況，利用古典概型求概率公式求得答案.【詳解】22可拆成1+21，2+20，3+19，4+18，5+17，6+16，7+15，8+14，9+13，10+12，11+11共有11種情況，其中3+19，5+17，11+11三種情況，故拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為故選：C8.已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列函數(shù)中，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期以及單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】A，，，由，得，函數(shù)，顯然在區(qū)間上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；B，，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增，故B正確；C，，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增，故C正確；D，，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD10.如圖，三棱錐中，，，，則下列說法正確的是()A.B.平面平面C.三棱錐的體積為D.以為直徑的球被平面所截得的圓在內(nèi)的弧的長度為【答案】AC【解析】【分析】A：設(shè)O為BC中點(diǎn)，連接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，證明平面即可；B：證明DO與AO不垂直即可；C：；D：求出球心到平面ACD的距離，求出球被平面ACD截得圓的半徑即可根據(jù)弧長公式求弧長.【詳解】設(shè)O為BC中點(diǎn)，連接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，可知DC＝DB，AC＝AB，則DO⊥BC，AO⊥BC，∴平面，∴，∴A正確.∵平面，∴∠AOD為二面角A－BC－D的平面角.計(jì)算可得，，，，故∠AOD≠90°，故錯(cuò)誤.，∴，∴C正確；，設(shè)B到平面ACD的距離為，則以AB為直徑的球的球心到平面ACD的距離d＝，即，∴由得.如圖所示，設(shè)AD交球與F，AC交球于E，平面ACD截得球的圓為圓，設(shè)圓半徑為r，則＝，，則，∴，∴D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)，或17時(shí)，取得最大值 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，求得通項(xiàng)公式后，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以兩式相減得，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，由，解得，且所以當(dāng)或17時(shí)，取得最大值，所以，，.故選：BC12.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)任意角，設(shè)的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離是r.我們規(guī)定：比值、、分別叫做角的正割、余割、余切，分別記作、、，把、、分別叫做正割函數(shù)、余割函數(shù)、余切函數(shù)，則下列敘述正確的是()A. B.的定義域?yàn)镃. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，將正割函數(shù)、余割函數(shù)、余切函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)研究即可.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；，故其定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，∵cosα≠0，sinα≠0，∴，，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切的差角公式求出tanα，在將要求式子分子分母同時(shí)除以cosα，將弦化為切即可求解.【詳解】,

.故答案：.14.在正方體中，直線與平面所成的角是________．【答案】30°（或）【解析】【分析】作出圖形，由圖可知，即直線與平面所成的角，結(jié)合幾何運(yùn)算求出對(duì)應(yīng)邊長，即可求解【詳解】連接，交于點(diǎn)O，再連接，因?yàn)槭窃谡襟w中，所以平面，所以是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長為1，所以在中，，，所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°．故答案為：30°（或）．【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求解，屬于基礎(chǔ)題15.若函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_______.【答案】##{x|x＜0}【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷其單調(diào)性，幾何g(x)是奇函數(shù)即可求解.【詳解】∵g(x)是R上奇函數(shù)，∴g(0)＝0，令，則，時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴x＜0時(shí)，(0)＝g(0)＝0，即時(shí)，，當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴h(－x)＞h(0)，即g(－x)－，∵g(x)是奇函數(shù)，∴，即x＞0時(shí)，g(x)＜－＜0，綜上，x＜0時(shí)，g(x)＞＞0，x＞0時(shí)，g(x)＜－＜0﹒∴g(x)＞的解集是.故答案為：.16.已知橢圓長軸的長為4，N為橢圓上一點(diǎn)，滿足，，則橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，根據(jù)，N為橢圓上一點(diǎn)，且，，得到，代入橢圓方程求解.【詳解】解：不妨設(shè)，因?yàn)闄E圓長軸的長為4，所以，又因?yàn)镹為橢圓上一點(diǎn)，且，，所以，所以，解得，則，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中，滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件推出，說明數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列．然后求解通項(xiàng)公式．（2）利用分組求和法求和；【詳解】解：（1）證明：于是因?yàn)?，即?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．因?yàn)椋裕?）由（1）知，所以【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.（1）求角B的大?。唬?）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子統(tǒng)一成邊的關(guān)系，再利用余弦定理可求出角B的大小，（2）由（1）可得，由正弦定理可得，然后由為銳角三角形求出角的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，化簡得，所以由余弦定理得，因?yàn)椋浴拘?詳解】因?yàn)?，所?由正弦定理得，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為19.如圖，在正四棱錐中，，，P在側(cè)棱上，平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）側(cè)棱上存在一點(diǎn)E，使得平面，且.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)兩平面法向量夾角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)使得平面，然后根據(jù)題意求得平面的法向量，由可求解.【小問1詳解】如圖，由題意知平面，，故兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，不妨設(shè)，則，∴.由題意得，，，，.∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取，∵平面，∴平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，所以【小問2詳解】假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)使得平面．在上取點(diǎn)，連接，由（1）設(shè)，且，即，可得，即，所以，由平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得.故.所以側(cè)棱上存在一點(diǎn)E，使得平面，且.20.浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對(duì)開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.（1）用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對(duì)值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請(qǐng)問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時(shí)跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時(shí)，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價(jià)80元，客戶在收到貨時(shí)如果有壞果，每一個(gè)壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，（為常數(shù)），請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.【答案】（1）0.38（2）當(dāng)時(shí)，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時(shí)，采用B款包裝盒，當(dāng)時(shí)，采用A款包裝盒.【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)分布求出相應(yīng)概率；（2）分別求出采用A，B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，通過比較大小，得到相應(yīng)結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”為事件A，則【小問2詳解】由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時(shí)，采用B款包裝盒，當(dāng)時(shí)，采用A款包裝盒.21.已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.（1）求拋物線的方程；（2）過軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，點(diǎn)H，K分別為，的中點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件求出，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義列式計(jì)算作答.（2）設(shè)出直線AB、CD的方程，求出點(diǎn)H坐標(biāo)，進(jìn)而求出，由面積建立函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式求解作答.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，為等邊三角形，則有，而為在動(dòng)直線上的投影，則，由，解得，設(shè)，則點(diǎn)，于是由得：，解得，所以拋物線的方程為：.【小問2詳解】顯然直線AB，CD都不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)直線AB方程為：，則直線CD方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得弦AB中點(diǎn)，，同理得，因此，直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”