第講一元微積分應(yīng)用二

會(huì)計(jì)學(xué)1第講一元微積分應(yīng)用二一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第六章一元微積分的應(yīng)用第三節(jié)曲線的凹凸性、函數(shù)圖形的描繪第1頁(yè)/共54頁(yè)我們說一個(gè)函數(shù)單調(diào)增加,你能畫出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的圖形嗎??!..

一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)第2頁(yè)/共54頁(yè)它的圖形的形式不盡相同.一般說來(lái),對(duì)于一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)的圖形都存在一個(gè)需要判別弧段位于相應(yīng)的弦線的“上方”或“下方”的問題.在數(shù)學(xué)分析中將這種問題稱為曲線(函數(shù))的凹凸性問題.第3頁(yè)/共54頁(yè)簡(jiǎn)單地說,在區(qū)間

I

上:曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時(shí),稱之為凸的;曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方時(shí),稱之為凹的.凸凹第4頁(yè)/共54頁(yè)成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凸的;成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凹的.定義第5頁(yè)/共54頁(yè)

凹凸性的一般性定義是……第6頁(yè)/共54頁(yè)凸第7頁(yè)/共54頁(yè)凹第8頁(yè)/共54頁(yè)成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凸的;成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凹的;1.曲線凹凸性的定義及其判別法第9頁(yè)/共54頁(yè)例1分析第10頁(yè)/共54頁(yè)有何體會(huì)？第11頁(yè)/共54頁(yè)能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判別函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的凸凹性呢？第12頁(yè)/共54頁(yè)判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對(duì)進(jìn)行比較.有什么公式能把以上的函數(shù)值與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢?泰勒公式第13頁(yè)/共54頁(yè)第14頁(yè)/共54頁(yè)第15頁(yè)/共54頁(yè)第16頁(yè)/共54頁(yè)以上的討論是對(duì)開區(qū)間進(jìn)行的,但結(jié)論卻出現(xiàn)了閉區(qū)間這正確嗎?結(jié)論是正確的,我們是利用函數(shù)的連續(xù)性將開區(qū)間內(nèi)的結(jié)論延伸到了閉區(qū)間上.以上過程實(shí)際上證明了下面的判別曲線凹凸性的一個(gè)方法.第17頁(yè)/共54頁(yè)定理在運(yùn)用該定理時(shí)要注意：但僅在個(gè)別孤立點(diǎn)處等于零,則定理仍然成立.第18頁(yè)/共54頁(yè)該函數(shù)的圖形請(qǐng)自己繪出.例2解第19頁(yè)/共54頁(yè)例3解第20頁(yè)/共54頁(yè)只是使的孤立點(diǎn),不是曲線凹凸性的分界點(diǎn).例3解第21頁(yè)/共54頁(yè)

比較例3和例4,發(fā)現(xiàn)使得曲線所對(duì)的分界點(diǎn).我們的興趣,因?yàn)樗赡苁乔€凹凸性應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)引起了拐點(diǎn)第22頁(yè)/共54頁(yè)連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點(diǎn),稱為曲線的拐點(diǎn).2.曲線拐點(diǎn)的定義及判別法第23頁(yè)/共54頁(yè)定理(判別拐點(diǎn)的必要條件)證第24頁(yè)/共54頁(yè)稱為曲線的拐點(diǎn)可疑點(diǎn).第25頁(yè)/共54頁(yè)定理(判別拐點(diǎn)的充分條件)根據(jù)拐點(diǎn)的定義立即可證明該定理.第26頁(yè)/共54頁(yè)定理(判別拐點(diǎn)的充分條件)第27頁(yè)/共54頁(yè)證你能由以上的幾個(gè)定理歸納出求曲線拐點(diǎn)的步驟嗎？第28頁(yè)/共54頁(yè)

求拐點(diǎn)一般步驟第29頁(yè)/共54頁(yè)拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解第30頁(yè)/共54頁(yè)第31頁(yè)/共54頁(yè)例5解第32頁(yè)/共54頁(yè)例6解第33頁(yè)/共54頁(yè)例7第34頁(yè)/共54頁(yè)

函數(shù)的凹凸性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫畫圖就能搞清楚.第35頁(yè)/共54頁(yè)

現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形,因?yàn)檫€不知道如何求曲線的漸近線.中學(xué)就會(huì)求了.第36頁(yè)/共54頁(yè)若動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線y=f(x)的某一方向無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P到一直線L的距離趨于零,則稱此直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.

二、曲線的漸近線定義第37頁(yè)/共54頁(yè)曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線第38頁(yè)/共54頁(yè)第39頁(yè)/共54頁(yè)水平漸近線第40頁(yè)/共54頁(yè)這里的極限可以是垂直漸近線第41頁(yè)/共54頁(yè)想想：怎么求a,b?第42頁(yè)/共54頁(yè)這里的極限過程可以是以上的極限實(shí)際是

斜漸近線第43頁(yè)/共54頁(yè)

曲線可以穿過其漸近線.例8解第44頁(yè)/共54頁(yè)例9解第45頁(yè)/共54頁(yè)曲線無(wú)水平漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解第46頁(yè)/共54頁(yè)請(qǐng)同學(xué)課后自己繪出此函數(shù)的圖形.第47頁(yè)/共54頁(yè)所以,該曲線無(wú)水平漸近線和垂直漸近線.例11解第48頁(yè)/共54頁(yè)現(xiàn)在給定一個(gè)函數(shù),我們可以討論它的：定義域、值域、奇偶性、有界性、周期性、連續(xù)性、間斷點(diǎn)、可微性、單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、零點(diǎn)位置.用極限討論函數(shù)的變化趨勢(shì).用泰勒公式將函數(shù)離散化.第49頁(yè)/共54頁(yè)作函數(shù)圖形的一般步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域,觀察奇偶性、周期性.(2)求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù),(3)列表,確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn).(4)