等腰三角形復(fù)習(xí)

會(huì)計(jì)學(xué)1等腰三角形復(fù)習(xí)

等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.性質(zhì)

性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

定理：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

2.判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半第1頁/共25頁等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用

（1）計(jì)算角的度數(shù)

利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論計(jì)算角的度數(shù)，是等腰三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。

①已知角的度數(shù)，求其它角的度數(shù)

②已知條件中有較多的等腰三角形（此時(shí)往往設(shè)法用未知數(shù)表示圖中的角，從中得到含這些未知數(shù)的方程或方程組）

（2）證明線段或角相等

第2頁/共25頁以等腰三角形為條件時(shí)的常用輔助線:如圖：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有結(jié)論:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，連結(jié)AD，必有結(jié)論：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有結(jié)論：AD⊥BC，BD=DC作輔助線時(shí)，一定要作滿足其中一個(gè)性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個(gè)性質(zhì)，不能這樣作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.第3頁/共25頁2.若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是45°,則它的頂角為90°()

1.若等腰三角形兩條邊的長分別是5和8,則它的周長為

.21或18總結(jié):在解等腰三角形的題目時(shí),經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類思想討論,以防止掉入數(shù)學(xué)“陷阱”!第4頁/共25頁1、如果等腰三角形的一個(gè)外角為100°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為

。2、如圖，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周長為18，則AC長為

。ABCD課堂檢測第5頁/共25頁ABCED例1：已知，如圖等邊△AEB與等邊△BCD在線段AC的同側(cè)

求證：△ABD≌△EBC第6頁/共25頁ABCDE變式：已知如圖△ABD與△ACE均為等邊三角形，求證：DC=BE想一想：你還能寫出哪些結(jié)論第7頁/共25頁例2.如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD與CE相交于M點(diǎn)。求證：BM=CM。證明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角對(duì)等邊）說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。第8頁/共25頁例3已知：如圖，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.

求證：AC=BD.證明：∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角對(duì)等邊）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BD第9頁/共25頁例4.如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.

求∠A的度數(shù).分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過程清晰明了。解：設(shè)∠A=x，∠EBD=y，∠C=z∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90°∵AD=DE∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB

（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和為180°）∴解得x=45°即：∠A=45°第10頁/共25頁例5.已知：如圖，∠C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn).

求證：△MDE是等腰三角形.分析：要證△MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用△BMD≌△CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)∴CM平分∠BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角對(duì)等邊）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形第11頁/共25頁例6.如圖，在等邊△ABC中，AF=BD=CE，

求證：△DEF也是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BD=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可證EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等邊三角形說明：證明等邊三角形有三種思路：①證明三邊相等 ②證明三角相等 ③證明三角形是有一個(gè)角為60°的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。第12頁/共25頁例7如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于G

求證：DG=EG思路因?yàn)椤鱃DB和△GEC不全等，所以考慮在△GDB內(nèi)作出一個(gè)與△GEC全等的三角形。證明：過D作DH∥AE，交BC于H∴∵AB=AC∴∴∴DB=DH又∵DB=CE∴DH=CE又∵∴∴DG=EG.說明本題易明顯得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EF∥BD，交BC的延長線于F，證明△DBG≌△EFG，同學(xué)們不妨試一試。第13頁/共25頁例8如圖2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.

求證：BP=2PQ思路在Rt△BPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明∠PBQ=30°證明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP

=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ說明本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會(huì)。第14頁/共25頁1.等腰三角形頂角為36°，底角為_________。2.等腰三角形頂角和一個(gè)底角之和為100°，則頂角度數(shù)為_____________。3.等腰三角形兩個(gè)角之比為4:1，則頂角為__________，底角為___________。4.等腰三角形兩邊長為4、6，這個(gè)三角形周長為_____________。5.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分線交AC于E，交AB于D，連結(jié)BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。6.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周長為50，△ABD的周長為40，則AD=____________。7.若等腰三角形頂角為n度，則腰上的高與底邊的夾角為_____________。練習(xí)第15頁/共25頁8.已知兩邊及其一邊上的高，求作三角形。9.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度數(shù)。第16頁/共25頁BCABCAED

在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分線AE,交BC邊于點(diǎn)E.C點(diǎn)在AB邊上的落點(diǎn)為D,連結(jié)DE.

2.若CE=1,則DE=_____.3.你還能找出哪些相等的線段嗎?

4.若AB=6,則△DEB的周長等于多少?1.DE⊥AB嗎?11DB=______.即：CE=DE=DBAD=AC=BC第17頁/共25頁CABOCAEFOB

等腰直角三角形ABC兩底角的平分線AO與BO交于點(diǎn)O,過O點(diǎn)作底邊AB的平行線交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E.則:

3.若AC=10,則△CEF的周長為多少?2.AF、FE、EB三條線段的長度有何關(guān)系？1.圖中有幾個(gè)等腰三角形?AF+EB=FE相等角之間的轉(zhuǎn)化相等線段之間的轉(zhuǎn)化第18頁/共25頁CAEFOB㈠ABCFEO（二）如圖（二）當(dāng)AC=12,BC=8.求△CFE的周長?解:因?yàn)镺A平分∠CAB.

所以∠FAO=∠OAB.

又因?yàn)镋F∥AB.

所以∠FOA=∠OAB.

所以∠FAO=∠FOA

即:AF=OF所以AC=AF+FC=OF+FC.同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.所以△CFE的周長:=OF+FC+OE+EC=AC+BC=12+8=20第19頁/共25頁如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ第20頁/共25頁

請把這個(gè)等腰三角形紙片折成兩個(gè)等腰三角形！36°⌒ABCBC⌒AD36°ABC36°⌒D第21頁/共25頁請把這個(gè)三角形紙片折成兩個(gè)等腰三角形！⌒⌒⌒20°40°120°ABC⌒⌒⌒20°40°120°CABD⌒⌒⌒2