高數(shù)第十一章例題與答案

復(fù)習(xí)五無窮級數(shù)1?理解級數(shù)的部分和及收斂性的概念，掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、P-級數(shù)的斂散性，會利用收斂級數(shù)的性質(zhì)判斷級數(shù)的斂散性.8 1且limun=0，貝lj且limun=0，貝lj/?->xn=l ?oo級數(shù)的斂散性為 （收斂，發(fā)散）?71=1解：因?yàn)閘imu“=0,故limS“=s.因此發(fā)散.n=l00例2.若級數(shù)力知收斂，則下列級數(shù)中（ ）收斂.n=l00(A)》(冷+0.001);n=l00(A)》(冷+0.001);n=l解：選擇B.級數(shù)￡血+1000X 00(B)》％iooo； _n=l n=l；(C)XaK；(D)Z1000是去掉前1000項(xiàng)后所得，與為知斂散性相同，故收斂.??=1 n=l/|=1會利用比較判別法和值判別法判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，會利用萊布尼茨定理判別交錯級數(shù)的斂散性，會判別一般項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂性.例1.判別級數(shù)f空単的斂散性.n=i2解：因?yàn)?+（-叫4二12〃+i —2〃+i 2"一1?而級數(shù)￡點(diǎn)收斂，由比較審斂法，所給級數(shù)收斂.“=12例2.判別級數(shù)^2"sin的斂散性.TOC\o"1-5"\h\z"=i 3"OOQ而級數(shù)￡（彳）“是收斂的,

n=lOOQ而級數(shù)￡（彳）“是收斂的,

n=l$解：因?yàn)閘im— =兀，（了）0O所以由比較審斂法，級數(shù)sin也收斂.n=l 3"

2n+1sin二 召cU on+l q/?+1 7另解：因?yàn)閘im-=lim =2lim—=彳<1,宀如宀2〃sin蘭"蘭33刃 3舁所以由比值審斂法，級數(shù)^2nsin收斂.n=l 3"例3.設(shè)0<an = 則下列級數(shù)中肯定收斂的是（ ）?X 00 00 00（A）》/（B）》（—1）S；（C）》芯；（D）Y（—I）%：.n=l n=l n=l n=L解：因?yàn)镮（一1）"尤1=anVn00[ 00而級數(shù)■是收斂的，所以Y（—i）"尤絕對收斂.n=l“ /?=1例4.級數(shù)f（_l）"（l_cos纟）（常數(shù)cr>0）（ ）.仁 na1ot2z、

cos—?卞(ms)?a1ot2z、

cos—?卞(ms)?門2n2解：|（-l）n（l-cos^）|=1-n因?yàn)閕（-ir（i-cos^）limi（-ir（i-cos^）lim JHTOC 1n200[ 00_r2n2_a2

—lim—-—--y"TOO1 Zn2而￡A是收斂的，所以￡（-iy（i-cos旳是絕對收斂的?=in “=i n例5.下列級數(shù)中絕對收斂的是（ ）.4-00/ 1X/I-1 4-X1 +0C（A）》牛；n=iy/n解：因?yàn)镮已二trX+00Z1\?7-l4-X1 +0Cf +00?_1\（b￡；（C）弟;（D）ZM

/?=! ?i=lZ n=l18[（ 11=4,而￡丄是收斂的，所以絕對收斂.n n=ln n=l例6?判別級數(shù)若（_1）曲右sin治是否收斂，是絕對收斂還是條件收斂n=l-f-x//=i "解：因?yàn)镽1而級數(shù)乞丄F收斂，所以原級數(shù)絕對收斂./?=!2例7.判別級數(shù)f早二是否收斂，是絕對收斂還是條件收斂.K=1a/2/7—1解：這里知=1解：這里知=1因?yàn)?n+l<Mn(n=l,2,…),并且lim冷=0,MT0C00(-1V1-1由萊布尼茲定理，知級數(shù)》羅=收斂.n=iy2n—1又因?yàn)榧墧?shù)￡i_y=i=￡「丄是發(fā)散的，所以原級數(shù)是條件收斂的.?z=lV2h-1n=i —l會求幕級數(shù)的收斂半徑、收斂域、和函數(shù)，會利用幕級數(shù)的性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分公式)求某些簡單幕級數(shù)的和函數(shù)及將簡單函數(shù)展開成幕級數(shù),會求簡單數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.例1.設(shè)幕級數(shù)⑷>0)在4-3處條件收斂，則幕級數(shù)的收斂域?yàn)閚=Q()?(4)(—3,3);&)[-3,3);(C)(-3,3];(￡>)[-3,3].解：選B.例2.幕級數(shù)f(一1)：十的和函數(shù)S⑴為( )./1=1"(A)siiu-;(B0;(C)-^—;(D)hi(1+x).JL"iA解：S(x)-5(0)=￡5f(x)dx=￡'(-1)"-1x"-1dx=[丄dx=ln(l+x),o o/z=i o+x而S(0)=0,所以S(x)=ln(l+x).例3.求幕級數(shù)￡巴—(x+1)”的收斂域./?=1H?4"

oo解：也晌亠=lim竺乜H=4.…一 …旳.4“oo當(dāng)x+l=4時，幕級數(shù)成為工甲，是收斂的；川=1 "81當(dāng)x+i=_4時，幕級數(shù)成為斗是發(fā)散的./?=1"所以收斂區(qū)間為:4<x+l<4即-5<v<3.例4.求幕級數(shù)￡(-1嚴(yán)g廣的收斂域./?=1=lim斗，所以幕級數(shù)的收斂半徑解：這里Oil.因?yàn)閘im|=lim斗，所以幕級數(shù)的收斂半徑n tooan為/?=1,即當(dāng)|x-l|<l,即0心<2時，幕級數(shù)收斂；當(dāng)I兀-1|>1,時幕級數(shù)發(fā)散.x_1因?yàn)楫?dāng)x=0時，幕級數(shù)成為V—,是發(fā)散的；當(dāng)42時，幕級數(shù)成為TOC\o"1-5"\h\z工 1yc-ir1-,是收斂的，所以幕級數(shù)的收斂域?yàn)?0,2).紅 n例5.求幕級數(shù)^2n+lx2?的收斂域及和函數(shù)蚣).n=0n?解：因?yàn)閤2"=0,M2/?+3刀】+2/2戸+12nIi?2nx2"=0,“TH(az+1)1 /?! ；f->x2n+1n+1所以幕級數(shù)的收斂半徑為R+,收斂域?yàn)?-叫+8).在收斂域內(nèi)，有S⑴=[[心)d%]'=[￡+己打n=0 ?°°1-=[xY—(x2)"]'=[xex']f=eA_+2x2ex_.OOn=0°QCnx?T=1n=0°QCnx?T=1解：設(shè)心) (-l<x<l)?則原問題轉(zhuǎn)化為求和函數(shù)在2寸處的值.00n=l n=L5（x）=n=l n=Ln=lh1-^ (1-x)25故所求值為乞計(jì)"加總?n=oa°（Q-1）例7.亠展開成兀的幕級數(shù)為 .1+X2[ [ co 00解:17音冃百小百心2"32.—x—x例8.函數(shù)f(x)=— 展開成x的幕級數(shù)，并指出收斂域.2.—x—x2-x-FTOC\o"1-5"\h\z他門、 3 1 1 1 1 1八'2-x-x2 1-x 2+x1-x 2l+x/200 1 00 X [=+5》(-1)"(訝=力[1+(-1)"存“，k=0 Zn=0 Z n=0 2由-1<Y<1及—1V今<1收斂域?yàn)?-1,1).例9.函數(shù)Ax>arctanx展開成x的幕級數(shù)，并指出收斂域.1 00解：/W=/W-/(0)=￡廣⑴d2匸——7d2匸Y(一疋)"dX1+兀 /?=0=匸￡（j）X" 斗心+1（-1<X<1）,n=0 n=02/?+l顯然當(dāng)兀=-1和*1時，幕級數(shù)都收斂，幕級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1,1],加暫器嚴(yán)（—）?下列正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散的是001 下列正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散的是001 00/72(A)乞齊j； (B)工〒/?=13十/ 21Z下列級數(shù)條件收斂的是008(A)X(-1)，，+1—；(B)工(-1)(C)￡^^；(D)工(―1)"=1)?(D)立sin(D)立sin召??=1z(C)Zry—-；“=1yin+1)?n-1_L;TOC\o"1-5"\h\z“=1 X+1'— 嚴(yán)12” 7'「住'「丿，則其收斂半徑/?=將f(x)=-L-展成兀的幕級數(shù)為 ，則其收斂半徑/?=1+2x級數(shù)￡(-1)“處"的收斂域是( ).;j=1(A)[-l,1)； (B)(-l,1]; (C)(-l,1); (D)[-l,1].判別級數(shù)的斂散性：co oo9n_1 oc /~ oo(1)若3憐尹；⑵若麗;；⑶若占；⑷Jan站判別級數(shù)是否收斂，是絕對收斂還是條件收斂：^sin^￡(_])“+】廣(3)￡(-1嚴(yán)幺2"小丿紆丿川^111(/7+1)求幕級數(shù)的半徑和收斂域：(1)￡〃(2)￡(-1)心電粽4(〃+1丁鋁