實驗中學2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理含解析

黑龍江省實驗中學2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理含解析黑龍江省實驗中學2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理含解析PAGE28-黑龍江省實驗中學2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理含解析黑龍江省實驗中學2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理(含解析）考試時間：120分鐘總分:150分一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分）1。已知集合，,則（)A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)補集和交集的定義運算即可．【詳解】解:故選【點睛】本題考查集合的交補混合運算，屬于基礎題．2。下列敘述正確的是（）A。命題“p且q”為真，則恰有一個為真命題B。命題“已知,則“"是“”的充分不必要條件"C.命題都有，則，使得D.如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可判斷正誤；由充分必要條件的定義和特值法，可判斷正誤；由全稱命題的否定為特稱命題，可判斷正誤;由函數(shù)零點存在定理可判斷正誤?！驹斀狻拷猓簩τ贏，命題“P且q為真，則P,q均為真命題”，故錯誤；對于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1,b＝﹣1;反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b"是“a2＞b2”的不充分不必要條件,故錯誤;對于C,命題都有,則，使得，故正確；對于D，如果函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b)＜0，由零點存在定理可得函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間(a，b）內(nèi)有零點，故錯誤．其中真命題的個數(shù)為1,故選C．【點睛】本題考查命題的真假判斷，考查命題的否定和充分必要條件的判斷,以及函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查判斷能力和運算能力,屬于中檔題．3。在復平面內(nèi)與復數(shù)所對應的點關于實軸對稱的點為，則對應的復數(shù)為（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則,化簡復數(shù)得到復數(shù)的共軛復數(shù),從而得到復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點的坐標，得到選項．【詳解】復數(shù),復數(shù)的共軛復數(shù)是,就是復數(shù)所對應的點關于實軸對稱的點為A對應的復數(shù)；故選B．【點睛】本題考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法,兩個復數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，考查復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關系，是一個基礎題．4.如圖,是水平放置的的直觀圖,則的面積是（）A.6 B. C. D。12【答案】D【解析】由直觀圖畫法規(guī)則,可得是一個直角三角形,直角邊，，故選D。5.已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若,，且,則③若,，且，則④若,，且，則其中正確的命題是（)A。②③ B。①③ C.①④ D.③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理進行判斷；②可由面面平行的條件進行判斷;③可由面面垂直的條件進行判斷；④可由面面垂直的判定定理進行判斷。解析：①若，，且，則,正確.，且，可得出或，又，故可得到.②若,，且，則，不正確.兩個面平行與同一條線平行,兩平面有可能相交。③若，，且，則，不正確.且，可得出，又，故不能得出。④若，，且，則，正確.且,可得出，又，故得出。故選：C.點睛：解決空間位置關系問題的方法(1）解決空間中點、線、面位置關系的問題，首先要明確空間位置關系的定義,然后通過轉(zhuǎn)化的方法，把空間中位置關系的問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．(2）解決位置關系問題時，要注意幾何模型的選取，如利用正（長)方體模型來解決問題．6。已知直線過點，且在縱坐標軸上的截距為橫坐標軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A。 B。C?；?D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分直線是否經(jīng)過原點2種情況討論，分別求出直線方程,即可得答案．【詳解】根據(jù)題意,直線分2種情況討論:①當直線過原點時，又由直線經(jīng)過點,所求直線方程為，整理為,②當直線不過原點時,設直線的方程為，代入點的坐標得，解得，此時直線的方程為,整理為．故直線的方程為或。故選D．【點睛】本題考查直線的截距式方程，注意分析直線的截距是否為0，屬于基礎題．7.已知函數(shù)f(x）＝ex＋x，g（x)＝lnx＋x，h(x）＝lnx－1的零點依次為a，b，c，則()A.a<b〈c B.c〈b〈aC。c〈a<b D.b〈a<c【答案】A【解析】【分析】由，,分別為f（x）＝ex＋x，g(x）＝lnx＋x，h（x）＝lnx－1的零點,所以依次代入得,，,得，，的關系式,判斷取值范圍，比較大小【詳解】∵ea＝－a，∴a〈0，∵lnb＝－b，且b〉0，∴0〈b<1，∵lnc＝1，∴c＝e〉1，故選A?！军c睛】根據(jù)題設條件，構(gòu)建關于參數(shù)的關系式，確定參數(shù)的取值范圍8.由直線上一點P向圓C：引切線，則切線長的最小值為（）A。 B. C. D.1【答案】D【解析】分析】由切線性質(zhì),切線長等于，因此只要最小即可，此最小值即為到直線的距離．【詳解】點P為直線上到圓心C距離最小的點時，切線長最小，故有．切線長最小值為：．故選D．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式．屬于基礎題．9.已知直線：與拋物線相交于、兩點，且滿足，則的值是（）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，過分別作準線的垂線，由，得到點為的中點、連接，進而可知，由此求得點的橫坐標，則點的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率．【詳解】解：拋物線的準線,直線：恒過定點，

如圖過分別作準線的垂線,垂足分別為；

由，則，所以點為的中點、連接，

則，

∴在中,,為等腰三角形，點的橫坐標為，

故點的坐標為，

又,

所以,

故選C．【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查拋物線的定義,考查直線斜率的計算，屬于中檔題．10。過雙曲線的右支上一點,分別向圓和圓作切線，切點分別為,則的最小值為(）A.10 B.13 C。16 D。19【答案】B【解析】試題分析：由題可知,，因此，故選B．考點：圓錐曲線綜合題．11.設橢圓C:(a＞b＞0)的右焦點為F，橢圓C上的兩點A，B關于原點對稱，且滿足，|FB｜≤｜FA|≤2｜FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是（)A。 B。C。 D.【答案】A【解析】【分析】設橢圓左焦點為，由橢圓的對稱性可知且，可得四邊形AFBF′為矩形,設｜AF′|＝n,|AF|＝m，根據(jù)橢圓的定義以及題意可知mn＝2b2，從而可求得的范圍,進而可求得離心率.【詳解】設橢圓左焦點為，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即FA⊥FB，故平行四邊形AFBF′為矩形，所以｜AB|＝|FF′|＝2c.設｜AF′｜＝n，｜AF｜＝m，則在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①,m2＋n2＝4c2②，聯(lián)立①②得mn＝2b2③.②÷③得，令＝t，得t＋.又由｜FB｜≤｜FA|≤2｜FB｜得＝t∈[1，2］，所以t＋∈。故橢圓C的離心率的取值范圍是。故選:A【點睛】本題考查了橢圓的離心率的取值范圍的求法,考查了橢圓焦點三角形問題，需掌握橢圓的定義，屬于中檔題。12.設函數(shù)在上存在導函數(shù),，有，在上有，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，進而研究其單調(diào)性和奇偶性，將變形為，再利用的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令,，有，．所以為R上的偶函數(shù)，又在上有，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。又，所以，即,，解之得，。故選B.【點睛】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性和奇偶性、利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，體現(xiàn)數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),屬難題。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13。已知點是內(nèi)部一點,并且滿足，的面積為，的面積為，則______.【答案】【解析】【分析】將化為，再構(gòu)造向量和,得出比例關系，最后求解【詳解】因為，所以，分別取,的中點，，則,.所以，即,，三點共線且.如圖所示，則，由于為中點,所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查向量的線性運算，但是在三角形中考查，又和三角形面積綜合在一起，屬于中檔題。14。已知雙曲線與橢圓有相同的焦點,且雙曲線的漸進線方程為，則此雙曲線方程為_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸進線方程為，設雙曲線，計算橢圓焦點為,根據(jù)雙曲線焦點公式得到答案.【詳解】的焦點為:雙曲線的漸進線方程為，則設雙曲線方程為：，焦點為故，雙曲線方程為故答案為【點睛】本題考查了求雙曲線方程，根據(jù)漸近線設雙曲線為是解題的關鍵.15.在中，角的對邊分別，滿足，則的面積為_____．【答案】【解析】【分析】由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求B，進而可求a，然后結(jié)合余弦定理可求c，代入S△ABCacsinB，計算可得所求．【詳解】把a2﹣2a(sinBcosB）+4＝0看成關于a的二次方程，則△≥0，即8（sinBcosB）2﹣16≥0，即為8（sin（B））2﹣16≥0,化為sin2(B)≥1，而sin2（B）≤1，則sin2（B）＝1，由于0＜B＜π，可得B，可得B，即B,代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos,解可得,c＝2∴S△ABCacsinB2×2．故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．16。如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點，點P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥拷⒖臻g直角坐標系，由，求得，得到,進而求得三角形的面積的最小值，得到答案。【詳解】以D點為空間直角坐標系的原點，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以為z軸,建立空間直角坐標系.則點，所以。因為，所以,因為，所以,所以，因為B（2,2,0）,所以,所以因為，所以當時，.因為BC⊥BP，所以。故答案為：?！军c睛】本題主要考查了空間向量的應用，其中解答建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的坐標表示，以及向量的數(shù)量積的運算，求得的最小值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題。三、解答題（本大題共6小題，第17題10分,其余小題每題12分，共70分）17.已知函數(shù)，且的解集為。(1）求的值；（2）若正實數(shù)，滿足。求的最小值。【答案】(1）（2）9【解析】試題分析：（1）由得,解得其解集為，即可得到實數(shù)的值；（2）由（1)知，又是正實數(shù)，利用柯西不等式，即可求解其最小值。試題解析：（1）因為所以由得由有解，得，且其解集為又不等式解集為，故（2）由（1)知，又是正實數(shù),由柯西不等式得當且僅當時取等號故的最小值為918.設數(shù)列的前項和為，且。（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2)若,令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1）利用，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由此求得其通項公式。（2）先求得的表達式，利用裂項求和法求的前項和.試題解析:（1）當時，，所以，當時，,，兩式相減得，所以。因此是首項為，公比為的等比數(shù)列。于是.（2）由,所以，.19。已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；（2）當時，方程有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1）對稱中心為(,1），(k∈Z）．單調(diào)遞增區(qū)間為［kπ，kπ］,（k∈Z）．（2）［，］.【解析】【分析】（1）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得該函數(shù)的對稱中心;利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)ysin（2x）在上的最值即得的取值范圍．【詳解】(1)∵函數(shù)f（x）sin（2x)+1,∴令2xkπ，解得x，∴對稱中心為（，1），(k∈Z）．由ysin（2x）的減區(qū)間滿足：2kπ2x2kπ，（k∈Z）,解得kπx≤kπ，∴函數(shù)f（x）sin（2x）+1的單調(diào)遞增區(qū)間為［kπ,kπ]，（k∈Z）．（2）方程有解，即為sin（2x)=m有解，令ysin（2x）則當時，2x∈[，]，∴當2x,即x時，函數(shù)ysin（2x）取得最大值1，當2x，即x時，函數(shù)f（x）取得最小值．∴y∈［，],即m∈[，]?！军c睛】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域以及它的圖象的對稱性，考查了方程有解的問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．20.如圖，直三棱柱中，,,分別為、中點。（1)證明：平面;（2）已知與平面所成的角為,求二面角的余弦值.【答案】(1)見證明(2）【解析】【分析】解法1：（1)建立空間直角坐標系,利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直；(2）設，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值。解法2：（1）取中點,連接、，易證平面，再證明,可得平面（2)設，利用與平面所成的角為得到的值,再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1)同解法2（2）設,利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化,得到到面的距離,利用與平面所成的角為得到與的關系，解出，在兩個平面分別找出垂直于交線，得到二面角，求出其余弦值.【詳解】解法1：（1）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系．設，，則,，,，，，，,．因為，，所以，,面,面，于是平面．（2)設平面的法向量，則，,又，，故,取,得．因為與平面所成的角為,，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值為．解法2:（1）取中點，連接、,，平面，平面,而平面，平面，平面．為中點，,，，，四邊形為平行四邊形，．平面．（2）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系．設,,，則，,．設平面的法向量，則，,又，,故,取,得．因為與平面所成的角為,,所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值為．解法3：（1）同解法2．（2）設，，則，,，,，到平面距離，設到面距離為，由得,即．因為與平面所成的角為，所以,而在直角三角形中，所以，解得．因為平面，平面,所以，平面，平面所以,所以平面，平面,平面所以為二面角的平面角，而，可得四邊形正方形,所以,所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查線面垂直的證明，利用幾何關系構(gòu)造方程求出邊的大小，利用空間向量證明線面垂直，求二面角的大小，屬于中檔題。21.橢圓的離心率是，過點P(0，1)做斜率為k的直線l，橢圓E與直線l交于A，B兩點,當直線l垂直于y軸時．(1)求橢圓E的方程；（2）當k變化時，在x軸上是否存在點M(m，0）,使得△AMB是以AB為底的等腰三角形,若存在求出m的取值范圍,若不存在說明理由．【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為．有根據(jù)題意得到橢圓過點，將坐標代入方程后求得,進而可得橢圓的方程．（Ⅱ）假設存在點,使得是以為底的等腰三角形,則點為線段AB的垂直平分線與x軸的交點．由題意得設出直線的方程，借助二次方程的知識求得線段的中點的坐標，進而得到線段的垂直平分線的方程,在求出點的坐標后根據(jù)基本不等式可求出的取值范圍．【詳解】（