實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上考試試題理含解析

廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上考試試題理含解析廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上考試試題理含解析PAGE26-廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上考試試題理含解析廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上考試試題理（含解析）第Ⅰ卷(共60分)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則(）A。B。C.D.【答案】A【解析】【分析】求函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合的表示，再求出函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示，最后根據(jù)集合交集的定義結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可?！驹斀狻恳?yàn)樗?。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，考查了求函數(shù)的定義域和值域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2。若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由已知等式化簡(jiǎn)變形得出，利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,即可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】根據(jù)已知得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解,解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。3。已知，則A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4。求下列函數(shù)的零點(diǎn),可以采用二分法的是（）A。 B.C。 D.【答案】B【解析】【詳解】不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn)；是單調(diào)函數(shù)，，能用二分法求零點(diǎn);不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn)；不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn).故選:B5.已知角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在終邊上，則（)A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得,代入兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】在終邊上，，,.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差余弦公式求解三角函數(shù)值問題，涉及到任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.6。漢朝時(shí)，張衡得出圓周率的平方除以16等于，如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,俯視圖中的曲線為圓，利用張衡的結(jié)論可得該幾何體的體積為（）A。32 B.40 C。 D.【答案】C【解析】【分析】將三視圖還原，即可求組合體體積【詳解】將三視圖還原成如圖幾何體：半個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，底面半徑為2，高為4，則體積為,利用張衡的結(jié)論可得故選C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,正確還原,熟記圓柱圓錐的體積是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)若雙曲線的離心率是，那么（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合雙曲線的關(guān)系,可以求出之間的關(guān)系，這樣可以求出漸近線方程，通過代入法，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線準(zhǔn)線.，，因此雙曲線的漸近線方程為:,雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立得：，得根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了雙曲線離心率的計(jì)算，考查了雙曲線漸近線方程的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。8。2019年是新中國(guó)成立七十周年，新中國(guó)成立以來，我國(guó)文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013年到2018年六年間我國(guó)公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)(個(gè))與對(duì)應(yīng)年份編號(hào)的散點(diǎn)圖(為便于計(jì)算,將2013年編號(hào)為1，2014年編號(hào)為2，…，2018年編號(hào)為6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量，把年份編號(hào)從1到6作為自變量進(jìn)行回歸分析)，得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論,其中正確的個(gè)數(shù)是(）①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13。743個(gè)③可預(yù)測(cè)2019年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個(gè)A.0 B.1 C.2 D。3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)和確定是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)以及相關(guān)性的強(qiáng)弱；根據(jù)的值判斷平均每年增加量；根據(jù)回歸直線方程預(yù)測(cè)年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù).【詳解】由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故①正確；由回歸方程知②正確;由回歸方程，當(dāng)時(shí)，得估計(jì)值為3191。9≈3192，故③正確.故選D。【點(diǎn)睛】回歸直線方程中的的大小和正負(fù)分別決定了單位增加量以及相關(guān)型的正負(fù);相關(guān)系數(shù)決定了相關(guān)性的強(qiáng)弱，越接近相關(guān)性越強(qiáng).9。給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰邊的顏色相同,則不同的染色方法有（)A。種 B.種 C.種 D。種【答案】C【解析】【分析】通解：利用分類討論思想，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可；優(yōu)解：通過分析可知.每種色至少要染次，至多只能染次，即有一色染次，剩余兩種顏色各染次，這樣利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】通解如圖，染五條邊總體分五步,染每一邊為一步.染邊時(shí)有種染法，染邊時(shí)有種染法。當(dāng)邊與邊同色時(shí)，邊有種染法，則邊有種染法,邊有種染法，此時(shí)染法總數(shù)為(種）。當(dāng)邊與邊不同色時(shí)，邊有種染法，當(dāng)邊與邊同色時(shí),邊有種染法，邊有種染法;當(dāng)邊與邊不同色時(shí)，邊有種染法,邊有種染法,則此時(shí)共有染法（種).由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的染法種數(shù)為優(yōu)解通過分析可知。每種色至少要染次,至多只能染次，即有一色染次，剩余兩種顏色各染次.染五條邊總體分兩步。第一步選一色染次有種染法，第二步另兩色各染次有種染法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，一共有種染法，故選：C10.已知,函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A。 B. C. D。【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ］，其中k∈Z。依題意,則有－π＋2kπ≤＋＜ωx＋2kπ（ω＞0）得4k－≤ω≤2k－，由－≤0且4k－＞0得k＝1,因此ω的取值范圍是，故選D。11。在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A,B滿足，由點(diǎn)集{P|＝λ＋μ,|λ|＋|μ｜≤1,λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】由知：.不妨設(shè)，則：。解得由｜λ|＋｜μ｜≤1得.作出可行域，如圖所示．則所求面積.本題選擇D選項(xiàng).12.設(shè)在上可導(dǎo)的函數(shù)滿足并且在上有實(shí)數(shù)滿足則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)這種形式,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)奇偶性，最后利用的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行求解即可?！驹斀狻吭O(shè),則故在區(qū)間上單調(diào)遞減.，故為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增。故原不等式等價(jià)于，即平方解得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了通過構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式解集問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性的判斷,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上）13.命題“，都有”否定是______.【答案】，有【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題寫出原命題的否定。【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，故原命題的否定是“，有”。【點(diǎn)睛】本小題主要考查寫出全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題。14。設(shè)滿足約束條件：則的取值范圍是________________.【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，平移直線，在所確定的平面區(qū)域內(nèi)，找到當(dāng)該直線在縱軸上的截距最小和最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),求出坐標(biāo)，代入進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式所表示的區(qū)城如圖，由，得平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大為；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線截距最大，此時(shí)最小,由，解得即此時(shí)即的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想。15.已知的三個(gè)內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊依次為a，b,c，外接圓半徑為1，且滿足，則面積的最大值為_________．【答案】【解析】由,利用正弦定理可得：，，∵,，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），∴面積為，則面積的最大值為，故答案為。16.將正三棱錐置于水平反射鏡面上,得一“倒影三棱錐"，如圖。下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有________________。①平面；②若在同一球面上，則也在該球面上；③若該“倒影三棱錐”存在外接球,則；④若則的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)球的幾何特征和性質(zhì)，結(jié)合已知逐一判斷即可。【詳解】由“倒影三棱錐”的幾何特征可知平面正確;當(dāng)在同一球面上時(shí)，若的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn)不在該球面上，錯(cuò)誤；若該“倒影三棱錐"存在外接球，則三棱錐的外接球的半徑與等邊三角形外接圓的半徑相等，設(shè)其為，則,則錯(cuò)誤；由的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為的中心，即的中點(diǎn),④正確。故正確的說法有.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了多面體外接球的問題，考查了空間想象能力.三、解答題；共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一）必考題：共60分，17.已知等差數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列中,，,從數(shù)列中取出第項(xiàng)記為，若是等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】對(duì)賦值為,可得：,,設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由通項(xiàng)公式解方程組可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；分別求得，,可得公比，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得,再利用分組求和方法即可計(jì)算所求和．【詳解】差數(shù)列滿足,可得，,設(shè)等差數(shù)列的公差為d，可得，，解得,，則；由題意可得，，可得數(shù)列的公比為3，,由,可得，的前n項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、分組求和公式的運(yùn)用,考查了賦值法及方程思想，還考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)（1）證明:;（2)若為棱上一點(diǎn)，滿足，求銳二面角的余弦值.【答案】(1）證明見詳解；(2）【解析】【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明；

（2）設(shè)，由，求出,求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:（1)∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

B(1，0，0），P（0，0，2）,C（2，2，0），E(1,1，1),D（0，2,0),

，,

，∴；

（2）∵F棱PC上一點(diǎn),滿足，

∴設(shè)，，

則，

，

∵，，解得，

,

設(shè)平面ABF的法向量,

則,取，得，

平面ABP的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的平面角為,

則，

∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題。19。如圖，已知、，、分別為的外心，重心,。（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2)是否存在過的直線交曲線于，兩點(diǎn)且滿足，若存在求出的方程,若不存在請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）不存在。【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得出點(diǎn)，由可得出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）由題意得出直線的斜率存在，并設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由，可得出代入韋達(dá)定理求出的值，即可得出直線的方程，此時(shí)，直線過點(diǎn)或,從而說明直線不存在?！驹斀狻?1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),由于,則點(diǎn)。由，可得出，化簡(jiǎn)得。因此，軌跡的方程為；（2)當(dāng)與軸重合時(shí)不符合條件.假設(shè)存在直線，設(shè)點(diǎn)、。將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.，,，，得，即,，另一方面,得，解得.則直線過點(diǎn)或，因此，直線不存在?！军c(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,同時(shí)也考查了橢圓中的向量問題,在求解時(shí)可充分利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20。已知函數(shù).（1)若函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍;（2）若對(duì)任意，恒有不等式成立.①求實(shí)數(shù)的值;②證明：。【答案】（1)；(2），②見解析.【解析】【詳解】試題分析:試題解析:（1），則。當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，故不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有唯一解，在遞減,在遞增，此時(shí)，則，注意到，時(shí),；時(shí),.因此.（2)①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，不符合題意;當(dāng)時(shí)，則,也不符合題意.當(dāng)時(shí),由（1）可知，,故只需。令，上式即轉(zhuǎn)化為,設(shè)，則,因此在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，從而，所以.因此，，從而有。故滿足條件的實(shí)數(shù)為。②由①可知，因而只需證明：，恒有。注意到前面已經(jīng)證明：,因此只需證明：。當(dāng)時(shí)，恒有，且等號(hào)不能同時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，設(shè),則，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，且，因而時(shí)恒有；從而時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即.故。點(diǎn)睛：對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以求函數(shù)最值的方法，一般通過變量分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù),利用恒成立；恒成立,即可求出參數(shù)范圍。21.本小題滿分13分）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等,且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立。（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化?（2）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為,其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；(3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望)達(dá)到最小．【答案】（1)不變化；（2）；（3）先派甲，再派乙,最后派丙時(shí)，均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小【解析】【詳解】(1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為．若甲在先，丙次之,乙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為,發(fā)現(xiàn)任務(wù)能完成的概率是一樣。同理可以驗(yàn)證,不論如何改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率不發(fā)生變化。(2）由題意得可能取值為∴,∴其分布列為:

．（3）,∴要使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望）達(dá)到最小,則只能先派甲、乙中的一人。∴若先派甲,再派乙,最后派丙,則;若先派乙，再派甲,最后派丙，則，，∴先派甲，再派乙,最后派丙時(shí)，均值（數(shù)字期望)達(dá)到最?。ǘ?選考題：請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題記分。22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（為參數(shù)）．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，直線的極坐標(biāo)方程為．．（1）試求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(用普通方程表示）（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡為曲線，若