實驗中學2020屆高三數(shù)學下學期線上考試試題理含解析

廣東省實驗中學2020屆高三數(shù)學下學期線上考試試題理含解析廣東省實驗中學2020屆高三數(shù)學下學期線上考試試題理含解析PAGE26-廣東省實驗中學2020屆高三數(shù)學下學期線上考試試題理含解析廣東省實驗中學2020屆高三數(shù)學下學期線上考試試題理（含解析）第Ⅰ卷(共60分)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合則(）A。B。C.D.【答案】A【解析】【分析】求函數(shù)的值域化簡集合的表示，再求出函數(shù)的定義域化簡集合的表示，最后根據(jù)集合交集的定義結合數(shù)軸進行求解即可?！驹斀狻恳驗樗?。故選：A【點睛】本題考查了集合的交集運算，考查了求函數(shù)的定義域和值域，考查了數(shù)學運算能力.2。若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】由已知等式化簡變形得出，利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)化為一般形式,即可得出復數(shù)的虛部.【詳解】根據(jù)已知得，因此，復數(shù)的虛部為。故選：C?！军c睛】本題考查復數(shù)虛部的求解,解題的關鍵就是利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)化為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題。3。已知，則A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較,滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．4。求下列函數(shù)的零點,可以采用二分法的是（）A。 B.C。 D.【答案】B【解析】【詳解】不是單調函數(shù)，，不能用二分法求零點；是單調函數(shù)，，能用二分法求零點;不是單調函數(shù)，，不能用二分法求零點；不是單調函數(shù)，，不能用二分法求零點.故選:B5.已知角頂點為原點，始邊與軸非負半軸重合，點在終邊上，則（)A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得,代入兩角和差余弦公式可求得結果.【詳解】在終邊上，，,.故選：.【點睛】本題考查利用兩角和差余弦公式求解三角函數(shù)值問題，涉及到任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎題.6。漢朝時，張衡得出圓周率的平方除以16等于，如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,俯視圖中的曲線為圓，利用張衡的結論可得該幾何體的體積為（）A。32 B.40 C。 D.【答案】C【解析】【分析】將三視圖還原，即可求組合體體積【詳解】將三視圖還原成如圖幾何體：半個圓柱和半個圓錐的組合體，底面半徑為2，高為4，則體積為,利用張衡的結論可得故選C【點睛】本題考查三視圖,正確還原,熟記圓柱圓錐的體積是關鍵，是基礎題7.已知拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點若雙曲線的離心率是，那么（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的準線方程，根據(jù)雙曲線離心率公式，結合雙曲線的關系,可以求出之間的關系，這樣可以求出漸近線方程，通過代入法，結合雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】拋物線準線.，，因此雙曲線的漸近線方程為:,雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準線方程聯(lián)立得：，得根據(jù)雙曲線的對稱性可知：故選：A【點睛】本題考查了拋物線的準線方程，考查了雙曲線離心率的計算，考查了雙曲線漸近線方程的應用，考查了數(shù)學運算能力。8。2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業(yè)機構數(shù)(個)與對應年份編號的散點圖(為便于計算,將2013年編號為1，2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業(yè)機構個數(shù)作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進行回歸分析)，得到回歸直線，其相關指數(shù)，給出下列結論,其中正確的個數(shù)是(）①公共圖書館業(yè)機構數(shù)與年份的正相關性較強②公共圖書館業(yè)機構數(shù)平均每年增加13。743個③可預測2019年公共圖書館業(yè)機構數(shù)約為3192個A.0 B.1 C.2 D。3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)和確定是正相關還是負相關以及相關性的強弱；根據(jù)的值判斷平均每年增加量；根據(jù)回歸直線方程預測年公共圖書館業(yè)機構數(shù).【詳解】由圖知點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，所以為正相關，又趨近于1，所以相關性較強，故①正確；由回歸方程知②正確;由回歸方程，當時，得估計值為3191。9≈3192，故③正確.故選D?！军c睛】回歸直線方程中的的大小和正負分別決定了單位增加量以及相關型的正負;相關系數(shù)決定了相關性的強弱，越接近相關性越強.9。給一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種,但是不允許相鄰邊的顏色相同,則不同的染色方法有（)A。種 B.種 C.種 D。種【答案】C【解析】【分析】通解：利用分類討論思想，根據(jù)分類加法計數(shù)原理進行求解即可；優(yōu)解：通過分析可知.每種色至少要染次，至多只能染次，即有一色染次，剩余兩種顏色各染次，這樣利用分步乘法計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】通解如圖，染五條邊總體分五步,染每一邊為一步.染邊時有種染法，染邊時有種染法。當邊與邊同色時，邊有種染法，則邊有種染法,邊有種染法，此時染法總數(shù)為(種）。當邊與邊不同色時，邊有種染法，當邊與邊同色時,邊有種染法，邊有種染法;當邊與邊不同色時，邊有種染法,邊有種染法,則此時共有染法（種).由分類加法計數(shù)原理可得，不同的染法種數(shù)為優(yōu)解通過分析可知。每種色至少要染次,至多只能染次，即有一色染次，剩余兩種顏色各染次.染五條邊總體分兩步。第一步選一色染次有種染法，第二步另兩色各染次有種染法,由分步乘法計數(shù)原理知，一共有種染法，故選：C10.已知,函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是()A。 B. C. D。【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)y＝cosx的單調遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ］，其中k∈Z。依題意,則有－π＋2kπ≤＋＜ωx＋2kπ（ω＞0）得4k－≤ω≤2k－，由－≤0且4k－＞0得k＝1,因此ω的取值范圍是，故選D。11。在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A,B滿足，由點集{P|＝λ＋μ,|λ|＋|μ｜≤1,λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(）A. B。 C. D。【答案】D【解析】由知：.不妨設，則：。解得由｜λ|＋｜μ｜≤1得.作出可行域，如圖所示．則所求面積.本題選擇D選項.12.設在上可導的函數(shù)滿足并且在上有實數(shù)滿足則實數(shù)的取值范圍是（）A。B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)這種形式,構造函數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再判斷函數(shù)奇偶性，最后利用的單調性和奇偶性進行求解即可?！驹斀狻吭O,則故在區(qū)間上單調遞減.，故為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增。故原不等式等價于，即平方解得故選:A【點睛】本題考查了通過構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性和奇偶性求解不等式解集問題，考查了導數(shù)的應用，考查了函數(shù)奇偶性的判斷,考查了數(shù)學運算能力。第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上）13.命題“，都有”否定是______.【答案】，有【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題寫出原命題的否定?！驹斀狻咳Q命題的否定是特稱命題，故原命題的否定是“，有”?！军c睛】本小題主要考查寫出全稱命題的否定,屬于基礎題。14。設滿足約束條件：則的取值范圍是________________.【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系內畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，平移直線，在所確定的平面區(qū)域內，找到當該直線在縱軸上的截距最小和最大時所經過的點,求出坐標，代入進行求解即可.【詳解】不等式所表示的區(qū)城如圖，由，得平移直線由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最小，此時最大為；當直線經過點時，直線截距最大，此時最小,由，解得即此時即的取值范圍是【點睛】本題考查了線性目標函數(shù)的最值問題，考查了數(shù)學運算能力和數(shù)形結合思想。15.已知的三個內角A,B，C的對邊依次為a，b,c，外接圓半徑為1，且滿足，則面積的最大值為_________．【答案】【解析】由,利用正弦定理可得：，，∵,，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴（當且僅當時，取等號），∴面積為，則面積的最大值為，故答案為。16.將正三棱錐置于水平反射鏡面上,得一“倒影三棱錐"，如圖。下列關于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有________________。①平面；②若在同一球面上，則也在該球面上；③若該“倒影三棱錐”存在外接球,則；④若則的中點必為“倒影三棱錐”外接球的球心【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)球的幾何特征和性質，結合已知逐一判斷即可?！驹斀狻坑伞暗褂叭忮F”的幾何特征可知平面正確;當在同一球面上時，若的外接圓不是球的最大圓，則點不在該球面上，錯誤；若該“倒影三棱錐"存在外接球，則三棱錐的外接球的半徑與等邊三角形外接圓的半徑相等，設其為，則,則錯誤；由的推導可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為的中心，即的中點,④正確。故正確的說法有.【點睛】本題考查了數(shù)學閱讀能力，考查了多面體外接球的問題，考查了空間想象能力.三、解答題；共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一）必考題：共60分，17.已知等差數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式;數(shù)列中,，,從數(shù)列中取出第項記為，若是等比數(shù)列，求的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】對賦值為,可得：,,設等差數(shù)列的公差為d，由通項公式解方程組可得首項和公差，即可得到所求通項公式；分別求得，,可得公比，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求得,再利用分組求和方法即可計算所求和．【詳解】差數(shù)列滿足,可得，,設等差數(shù)列的公差為d，可得，，解得,，則；由題意可得，，可得數(shù)列的公比為3，,由,可得，的前n項和．【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式、分組求和公式的運用,考查了賦值法及方程思想，還考查化簡運算能力，屬于中檔題．18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，,點為棱的中點（1）證明:;（2)若為棱上一點，滿足，求銳二面角的余弦值.【答案】(1）證明見詳解；(2）【解析】【分析】（1）以A為原點，AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明；

（2）設，由，求出,求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:（1)∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.

∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

B(1，0，0），P（0，0，2）,C（2，2，0），E(1,1，1),D（0，2,0),

，,

，∴；

（2）∵F棱PC上一點,滿足，

∴設，，

則，

，

∵，，解得，

,

設平面ABF的法向量,

則,取，得，

平面ABP的一個法向量，

設二面角的平面角為,

則，

∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題。19。如圖，已知、，、分別為的外心，重心,。（1）求點的軌跡的方程；（2)是否存在過的直線交曲線于，兩點且滿足，若存在求出的方程,若不存在請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在?！窘馕觥俊痉治觥浚?）設點，利用重心的坐標公式得出點的坐標為，可得出點，由可得出點的軌跡的方程；（2）由題意得出直線的斜率存在，并設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，由，可得出代入韋達定理求出的值，即可得出直線的方程，此時，直線過點或,從而說明直線不存在?！驹斀狻?1）設點，則點,由于,則點。由，可得出，化簡得。因此，軌跡的方程為；（2)當與軸重合時不符合條件.假設存在直線，設點、。將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，.，,，，得，即,，另一方面,得，解得.則直線過點或，因此，直線不存在?！军c睛】本題考查動點的軌跡方程,同時也考查了橢圓中的向量問題,在求解時可充分利用韋達定理設而不求法進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20。已知函數(shù).（1)若函數(shù)恒有兩個零點，求的取值范圍;（2）若對任意，恒有不等式成立.①求實數(shù)的值;②證明：?！敬鸢浮浚?)；(2），②見解析.【解析】【詳解】試題分析:試題解析:（1），則。當時，，故單調遞增，故不可能存在兩個零點，不符合題意；當時，有唯一解，在遞減,在遞增，此時，則，注意到，時,；時,.因此.（2)①當時，單調遞增，的值域為，不符合題意;當時，則,也不符合題意.當時,由（1）可知，,故只需。令，上式即轉化為,設，則,因此在上單調遞增,在上單調遞減，從而，所以.因此，，從而有。故滿足條件的實數(shù)為。②由①可知，因而只需證明：，恒有。注意到前面已經證明：,因此只需證明：。當時，恒有，且等號不能同時成立；當時，設,則，當時，是單調遞增函數(shù)，且，因而時恒有；從而時，單調遞減，從而，即.故。點睛：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以求函數(shù)最值的方法，一般通過變量分離,將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，然后再構造輔助函數(shù),利用恒成立；恒成立,即可求出參數(shù)范圍。21.本小題滿分13分）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等,且假定各人能否完成任務的事件相互獨立。（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化?（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為,其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；(3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望)達到最?。敬鸢浮浚?)不變化；（2）；（3）先派甲，再派乙,最后派丙時，均值（數(shù)字期望）達到最小【解析】【詳解】(1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務能被完成的概率為．若甲在先，丙次之,乙最后的順序派人,任務能被完成的概率為,發(fā)現(xiàn)任務能完成的概率是一樣。同理可以驗證,不論如何改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率不發(fā)生變化。(2）由題意得可能取值為∴,∴其分布列為:

．（3）,∴要使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望）達到最小,則只能先派甲、乙中的一人?！嗳粝扰杉?再派乙,最后派丙,則;若先派乙，再派甲,最后派丙，則，，∴先派甲，再派乙,最后派丙時，均值（數(shù)字期望)達到最?。ǘ?選考題：請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題記分。22.在平面直角坐標系中，點的直角坐標為（為參數(shù)）．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，直線的極坐標方程為．．（1）試求出動點的軌跡方程(用普通方程表示）（2）設點對應的軌跡為曲線，若