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云南省昆明市茨壩中學2023年高三數(shù)學文上學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知集合,,則(
)A.(-∞,1)
B.[0,1]
C.(0,1]
D.[0,2)參考答案:C集合,,則.故答案為:C.
2.已知向量,,,則“”是“”的(
)A.充要條件
B.充分不必要條件C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A略3.(07年全國卷Ⅰ文)甲、乙、丙3位同學選修課程,從4門課程中,甲選修2門,乙、丙各選修3門,則不同的選修方案共有A.36種
B.48種
C.96種
D.192種參考答案:答案:C解析:甲、乙、丙3位同學選修課程,從4門課程中,甲選修2門,乙、丙各選修3門,則不同的選修方案共有種,選C。4.已知平面α∩β=l,m是α內(nèi)不同于l的直線,那么下列命題中錯誤的是(
)A.若m∥β,則m∥l B.若m∥l,則m∥βC.若m⊥β,則m⊥l D.若m⊥l,則m⊥β參考答案:D【分析】A由線面平行的性質(zhì)定理判斷.B根據(jù)兩個平面相交,一個面中平行于它們交線的直線必平行于另一個平面判斷.C根據(jù)線面垂直的定義判斷.D根據(jù)線面垂直的判定定理判斷.【詳解】A選項是正確命題,由線面平行的性質(zhì)定理知,可以證出線線平行;B選項是正確命題,因為兩個平面相交,一個面中平行于它們交線的直線必平行于另一個平面;C選項是正確命題,因為一個線垂直于一個面,則必垂直于這個面中的直線;D選項是錯誤命題,因為一條直線垂直于一個平面中的一條直線,不能推出它垂直于這個平面;故選:D.【點睛】本題主要考查線線關系和面面關系,還考查了推理論證的能力,屬于中檔題.5.《九章算術》有這樣一個問題:今有女子善織,日增等尺,七日織二十一尺,第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺,問第十日所織尺數(shù)為()A.6 B.9 C.12 D.15參考答案:D【考點】等差數(shù)列的前n項和.【分析】設此數(shù)列為{an},由題意可知為等差數(shù)列,公差為d.利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出結果.【解答】解:設此數(shù)列為{an},由題意可知為等差數(shù)列,公差為d.則S7=21,a2+a5+a8=15,則7a1+d=21,3a1+12d=15,解得a1=﹣3,d=2.∴a10=﹣3+9×2=15.故選:D.6.用數(shù)字組成數(shù)字可以重復的四位數(shù),其中有且只有一個數(shù)字出現(xiàn)兩次的四位數(shù)的個數(shù)為(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:C略7.已知集合M={-1,1},則滿足M∪N={-1,1,2}的集合N的個數(shù)是()A.1
B.2C.3
D.4參考答案:D解析:依題意,得滿足M∪N={-1,1,2}的集合N有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2},共4個.8.(09年聊城一模理)已知在平面直角坐標系中,,動點滿足條件,
則的最大值為(
)A.-1
B.0
C.3
D.4參考答案:答案:D9.若點和點分別為橢圓的中心和右焦點,點為橢圓上的任意一點,則的最小值為(
)A.
B.
C.
D.1參考答案:設點,所以,由此可得,,所以選B.10.設,,給出下列三個結論:①>
;②;③,其中所有的正確結論的序號是
(
).A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
參考答案:【知識點】不等式的性質(zhì)E1D①,,又,,正確;②由指數(shù)函數(shù)性質(zhì),可得,正確;③,而,正確;故選D.【思路點撥】由不等式性質(zhì),結合其他性質(zhì),加以計算可得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項=__________。參考答案:
答案:12.設等差數(shù)列的首項及公差均是正整數(shù),前項和為,且,,,則=
.參考答案:(理)402413.設為定義在上的奇函數(shù),當時,(為常數(shù)),則
參考答案:14.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中,是其前項和,則使取最小值的是
。參考答案:10考點:等差數(shù)列的定義及性質(zhì).15.已知恒成立,則實數(shù)m的最大值為參考答案:【知識點】基本不等式;函數(shù)恒成立問題.E610
解析:要使恒成立即使恒成立∴只要的最小值即可∵,∴當且僅當時,取等號令,則,解得,即所以的最小值為10,所以,故答案為:10【思路點撥】分離出;將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;據(jù);將已知等式利用基本不等式;通過換元解不等式求出xy的最小值,注意驗等號何時取得,求出m的范圍.16.已知向量,,,則實數(shù)的值是
.參考答案:17.已知函數(shù)若關于的方程有三個不同的實根,則實數(shù)的取值范圍是________。參考答案:(-1,0)三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知的實常數(shù),函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,(ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;(ⅱ)證明:.參考答案:(1).當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,由,得.若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞增;若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(2)(ⅰ)由(1)知,當時,單調(diào)遞增,沒有兩個不同的零點.當時,在處取得極小值.由,得.所以的取值范圍為.(ⅱ)由,得,即.所以.令,則.當時,;當時,.所以在遞減,在遞增,所以.要證,只需證.因為在遞增,所以只需證.因為,只需證,即證.令,,則.因為,所以,即在上單調(diào)遞減.所以,即,所以成立.
19.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程;(2)若存在x1,x2(x1≠x2),使得g(x1)﹣g(x2)=λ[f(x2)﹣f(x1)]成立,其中λ為常數(shù),求證:λ>e;(3)若對任意的x∈(0,1],不等式f(x)g(x)≤a(x﹣1)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),計算x=1時y和y′的值,求出切線方程即可;(2)令h(x)=g(x)+λf(x)=lnx+,(x>0),求出函數(shù)的導數(shù),通過討論λ的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證明結論即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為﹣a(x﹣1)≤0在(0,1]恒成立,令F(x)=﹣a(x﹣1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍.【解答】解:(1)y=f(x)g(x)=,y′=,x=1時,y=0,y′=,故切線方程是:y=x﹣;(2)證明:由g(x1)﹣g(x2)=λ[f(x2)﹣f(x1)],得:g(x1)+λf(x1)=g(x2)+λf(x2),令h(x)=g(x)+λf(x)=lnx+,(x>0),h′(x)=,令ω(x)=ex﹣λx,則ω′(x)=ex﹣λ,由x>0,得ex>1,①λ≤1時,ω′(x)>0,ω(x)遞增,故h′(x)>0,h(x)遞增,不成立;②λ>1時,令ω′(x)=0,解得:x=lnλ,故ω(x)在(0,lnλ)遞減,在(lnλ,+∞)遞增,∴ω(x)≥ω(lnλ)=λ﹣λlnλ,令m(λ)=λ﹣λlnλ,(λ>1),則m′(λ)=﹣lnλ<0,故m(λ)遞減,又m(e)=0,若λ≤e,則m(λ)≥0,ω(x)≥0,h(x)遞增,不成立,若λ>e,則m(λ)<0,函數(shù)h(x)有增有減,滿足題意,故λ>e;(3)若對任意的x∈(0,1],不等式f(x)g(x)≤a(x﹣1)恒成立,即﹣a(x﹣1)≤0在(0,1]恒成立,令F(x)=﹣a(x﹣1),x∈(0,1],F(xiàn)(1)=0,F(xiàn)′(x)=﹣a,F(xiàn)′(1)=﹣a,①F′(1)≤0時,a≥,F(xiàn)′(x)≤遞減,而F′(1)=0,故F′(x)≥0,F(xiàn)(x)遞增,F(xiàn)(x)≤F(1)=0,成立,②F′(1)>0時,則必存在x0,使得F′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增,F(xiàn)(x)<F(1)=0不成立,故a≥.20.(本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,求實數(shù)的值;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.參考答案:15(1)
(2)增區(qū)間,;減區(qū)間略21.設表示數(shù)列的前項和.(I)已知是首項為,公差為的等差數(shù)列,推導的計算公式(用含有和的式子表示);(II)已知,,且對所有正整數(shù),都有,判斷是否為等比數(shù)列.參考答案:解:(I)∵,,
∴,
∴;(II)由題意知,當時,,
∵,∴當時,,
∴,∴是首項,公比的等比數(shù)列.略22.設函數(shù)(其中).(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)
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