云南省昆明市鐵路第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

云南省昆明市鐵路第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），可得對于任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥0成立求出a的范圍及a，bc的關(guān)系，求出f（1）及f′（0），作比后放縮去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），即f（x）≥0恒成立，∴，∴c=．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴=1+=1+=1+≥1+=2．當(dāng)且僅當(dāng)4a2=b2時，“=”成立．即的最小值為2故選：C．2.設(shè)a，b是不同的直線，α、β是不同的平面，則下列命題：

①若

②若

③若

④若

其中正確命題的個數(shù)是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：3.在中，，如果不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.經(jīng)過對中學(xué)生記憶能力x和識圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力x46810識圖能力y3568

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，若某中學(xué)牛的記憶能力為14，則該中學(xué)生的識圖能力為（

）A.7 B.9.5 C.11.1 D.12參考答案：C【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)求出樣本中心，代入求出＝﹣0.1，然后令x＝14進(jìn)行求解即可．【詳解】解：x的平均數(shù)，y的平均數(shù)，回歸方程過點(diǎn)，即過（7，5.5）則5.5＝0.8×7+得＝﹣0.1，則＝0.8x﹣0.1，則當(dāng)x＝14時，y＝0.8×14﹣0.1＝11.2﹣0.1＝11.1，即該中學(xué)生的識圖能力為11.1，故選：C．5.若雙曲線虛軸的兩個端點(diǎn)和實(shí)軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成一個邊長為2的正方形的四個頂點(diǎn)，則C的方程為(

)A. B. C. D.參考答案：A6.已知函數(shù)的周期為2,當(dāng)時,,如果，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）

A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：D7.已知，A是曲線與圍成的區(qū)域，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為（

）A.

B. C. D.參考答案：D8.如圖，在矩形內(nèi)：記拋物線與直線圍成的區(qū)域?yàn)椋▓D中陰影部分）．隨機(jī)往矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是A．

B．C．

D．參考答案：B9.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則的值為（

）

（A）

(B)3

（C）0

（D）

參考答案：A略10.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，若該三棱錐的四個頂點(diǎn)均在同一球面上，則該求的體積為（）A． B．4π C．2π D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】作出棱錐直觀圖，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)找出球心位置計(jì)算球的半徑．【解答】解：根據(jù)三視圖作出棱錐D﹣ABC的直觀圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中點(diǎn)E，過E作EH⊥底面ABC，且HE==．連結(jié)AH，則H為三棱錐外接球的球心．AH為外接球的半徑．∵AE==，∴AH==1．∴棱錐外接球的體積V==．故選D．【點(diǎn)評】本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接球的關(guān)系，尋找球心是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和等于參考答案：1830，n+1代n，得，當(dāng)n為奇數(shù)時，，TTa1+a3=a5+a7=…=a57+a59=2TS奇=，由得：，，，…，，以上各式相加，得S偶-S奇=∴S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.12.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，若曲線e在點(diǎn)處的切線斜率為

.參考答案：

13.以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間例如，當(dāng)時，.現(xiàn)有如下命題：

①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“”；

②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；

③若函數(shù)的定義域相同，且，則；

④若函數(shù)有最大值，則.

其中的真命題有

（寫出所有命題的序號）參考答案：14.已知圓的極坐標(biāo)方程為，則該圓的圓心到直線的距離是

.參考答案：略15.數(shù)列的前項(xiàng)和記為，，，則的通項(xiàng)公式為

.參考答案：16.已知函數(shù)在區(qū)間(1,2)上存在最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

．參考答案：(－9,－5)∵，故可將題意等價的轉(zhuǎn)化為，即，解得，故答案為.

17.設(shè)函數(shù)是定義在R上周期為3的奇函數(shù)，且，則

_．參考答案：0因?yàn)槭嵌x在R上周期為3的奇函數(shù)，所以。所以。所以，，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2）（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b1=，4bn=an﹣1an，設(shè){bn}的前n項(xiàng)和Tn．證明：Tn＜1．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知得，從而推導(dǎo)出{}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由bn==，利用錯位相減法能證明Tn＜1．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}滿足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2），∴，…（1分）又a1=1，3a2﹣a1=1，∴，∴=，…（3分）∴{}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，…∴=1+，∴an=．…（7分）（Ⅱ）證明：∵數(shù)列b1=，4bn=an﹣1an，∴bn==，…（9分）∴Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=＜1．故Tn＜1．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于1的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．19.已知函數(shù)，設(shè)在點(diǎn)N*）處的切線在軸上的截距為，數(shù)列滿足：N*）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，僅當(dāng)時，取最小值，求的取值范圍；（3）令函數(shù)，數(shù)列滿足：，N*），求證：對于一切的正整數(shù)，都滿足：．參考答案：解:（1），則，得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，∴，即.（2），∴函數(shù)在點(diǎn)N*）處的切線方程為：，令，得．，僅當(dāng)時取得最小值，只需，解得，故的取值范圍為．Ks5u（3），故，，故，則，即．∴=．

又，故．略20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)為M，點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）3.【分析】（1）直接消去參數(shù)可得C1的普通方程；結(jié)合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐標(biāo)方程；（2）將兩圓的方程作差可得直線AB的方程，寫出AB的參數(shù)方程，與圓C2聯(lián)立，化為關(guān)于t的一元二次方程，由參數(shù)t的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】（1）曲線的普通方程為.由，，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）將兩圓的方程與作差得直線的方程為.點(diǎn)在直線上，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡得，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，著重考查直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，是中檔題．21.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x﹣1|，當(dāng)x∈R時，f（x）+g（x）≥2a2﹣13，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法；函數(shù)恒成立問題．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=3時，不等式即|2x﹣3|+3≤6，可得﹣3≤2x﹣3≤3，由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由題意可得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，利用絕對值三角不等式求得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|的最小值為|1﹣a|+a，可得|1﹣a|+a≥2a2﹣13，分類討論，去掉絕對值，求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，不等式f（x）≤6，即|2x﹣3|+3≤6，故有﹣3≤2x﹣3≤3，求得0≤x≤3，即不等式f（x）≤6的解集為[0，3]．（Ⅱ）f（x）+g（x）≥2a2﹣13，即|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，∵|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥|2x﹣a﹣（2x﹣1）|+a=|1﹣a|+a，∴|1﹣a|+a≥2a2﹣13①．當(dāng)a≤1時，①等價于1﹣a+a≥2a2﹣13，解得﹣≤a≤1；當(dāng)