信號與系統(tǒng)課件

1引言1。連續(xù)時間信號是連續(xù)時間變量t的函數(shù)

f(t)f(t)

43210t0t時間t——連續(xù)函數(shù)值——連續(xù)

模擬信號

時間t——連續(xù)函數(shù)值——離散

量化信號

2。離散信號是離散時間變量tk的函數(shù)

離散時間信號可由對連續(xù)時間信號進行抽樣得到——均勻抽樣

幅度量化

f(tk)

0t1t3t5tk

t1,…,tk=T,2T,…,kT

●●●●●●●●●●●f(tk)

0t1t3t5tk4321

數(shù)字信號

●●●●●●●●●●●離散信號的特點：

它是一個離散的數(shù)值序列，但序列中的每一數(shù)值仍按一定規(guī)律隨離散變量tk變化。

f(tk)＝f(kT)→f(k)

2例如，設f(k)=akt當k=0、±1、

±2、

---等整數(shù)時，得------、a-2T、a-T、1、aT、a2T、------如a2T即為k=2或t=2T時的函數(shù)值f(2)。3。離散信號的表示形式（1）解析式例f1(k)=2(-1)k(k=0、±1、

±2、

---)f2(k)=k(1/2)k(k=0、1、2、---)（2）序列形式f1(k)={---，2，-2，2，-2，2，-2，---}f2(k)={0，，，，---}121238（3）圖形------01-1-223-2-2-2222kf1(k)f2(k)k0123121238---34。離散信號的基本運算（1）離散信號的和、差、積將兩離散信號序號相同的樣值相加、相減與相乘而構成一個新的離散信號（序列）。例：f1(k)=(-1)k(k=0,±1,±2,------)f2(k)=k–1(k=0,1,2,------)改寫，得f1(k)={---1,-1,1,-1,1,---}f2(k)={-1，0，1，2，3，---}于是有f1(k)+f2(k)={---1，-1，0，-1，2，---}f1(k)-f2(k)={---1，-1，2，-1，0，---}f1(k)f2(k)={-1，0，1，-2，---}常記作f1(k)+f2(k)=(-1)k(k<0)(-1)k+(k-1)(k0)f1(k)-f2(k)=(-1)k(k<0)(-1)k-(k-1)(k0)f1(k)f2(k)=(-1)k(k-1)(k0)

4（2）

離散信號的反褶將f(k)的圖形以縱軸為對稱軸翻轉180o

，得到f(-k)。（3）

移序將在f(k)~k平面內的信號圖形沿k軸向前（左）或向后（右）移動，這時信號各樣值的序號都將增加或減少某個定值。對一般離散信號f(k)：

f(k+1)——f(k)前移（左移）一個序號

——增序

f(k-1)——f(k)后移（右移）一個序號

——減序

對于離散時間信號f(k)=f(kT):

f(k+1)=f(kT+T)——超前時間T

【f(k+1)比f(k)提前T】

f(k-1)=f(kT-T)——延遲時間T【f(k-1)比f(k)延時T】

5例已知x(k)=0.5(k=-1)1.5(k=0)(k=1)-0.5(k=2)0k為其它值求y(k)=x(k)+2x(k)x(k-2)。x(k-2)k---1012340.5-0.511.5x(k-2)=0.5(k=1)1.5(k=2)(k=3)-0.5(k=4)0k為其它值解：

1(k=1)-1.5(k=2)0k為其它值2x(k)x(k-2)=2x(k)x(k-2)k--012341--1.5x(k)k---1012341.510.5-0.5y(k)=0.5(k=-1)1.5(k=0)2(k=1)-2(k=2)0k為其它值y(k)=x(k)+2x(k)x(k-2)k---1012340.51.52-26（5）序列差分序列{f(k)}的一階前向差分(Forwarddifference){Δf(k)}定義為：{Δf(k)}={f(k+1)-f(k)}Δ{f(k)}={f(k)-f(k-1)}一階后向差分(Backwarddifference){f(k)}定義為Δ依此類推，二階前向差分為{Δ[Δf(k)]}={Δ2f(k)}={Δf(k+1)-Δf(k)}={f(k+2)-2f(k+1)+f(k)}二階后向差分為{

2f(k)}={f(k)-f(k-1)}={f(k)-2f(k-1)+f(k-2)}ΔΔΔ（6）f(k)的能量定義為75。常用典型離散時間信號

（1）單位函數(shù)

1●

0k

（2）單位階躍序列

01234k1●●●●

●（3）矩形序列

01234N-1

k1●●●●

●●三者關系：

（4）斜變序列

0123k

1●

2●3●f(k)

（5）單邊指數(shù)序列

a>0,序列值皆為正

f(k)

01234k

1●●●●●

a>1

發(fā)散

a<1

收斂

a<0,序列值在正、負間擺動f(k)

01234k

1●●●●●f(k)

01234k

1●●●●●f(k)

01234k

1●●●●●8

（6）正弦序列

——正弦序列角頻率

周期T=N=10

僅當＝整數(shù)時，正弦序列具有周期

當＝有理數(shù)而非整數(shù)，如（N、M為無公因子的整數(shù)）時，正弦序列仍有周期性，但其周期為；

當為無理數(shù)時，正弦序列不具有周期性，但其樣值的包絡線仍為正弦函數(shù)如包絡線的周期T＝2.5=

012345678910

k

f(k)

●●●●●●●●●●●●●●●●

01234567

k

f(k)

●●●●●●●●96。離散信號的分解

-3-1123456k

f(k)

●●●●●●●●●●7。線性非時(移)變離散時間系統(tǒng)

線性：

若

e1(k)→y1(k),e2(k)→y2(k)

則

c1e1(k)+c2e2(k)→c1y1(k)+c2y2(k)

非移變：

若

e1(k)→y1(k)

則

e1(k-i)→y1(k-i)線性非移變系統(tǒng)：

若

e1(k)→y1(k),e2(k)→y2(k)

則

c1e1(k-i)+c2e2(k-j)→c1y1(k-i)+c2y2(k-j)

（7）復指數(shù)序列

10本章內容：中心問題：已知激勵，求響應抽樣信號與抽樣定理離散時間系統(tǒng)的描述和模擬離散時間系統(tǒng)的時域分析11一、抽樣信號與抽樣定理

信號處理過程：

抽樣D/A量化編碼處理模擬信號抽樣信號數(shù)字信號模擬信號（一）抽樣信號及其頻譜

抽樣：

所謂“抽樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)時間信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。

抽樣信號：

經抽樣得到的信號稱為抽樣信號fs(t)。

f(t)

0

t

12s抽樣器示意

抽樣器即是一開關s(t):

0Ts

t

1τ

0Ts

t

——數(shù)學模型

各抽樣脈沖間隔的時間相同，均為Ts——均勻抽樣

抽樣（取樣）頻率

取樣角頻率

12問題：（1）fs(t)的頻譜函數(shù)如何？與f(t)的頻譜有何關系？（2）在什么條件下，可從fs(t)無失真地恢復f(t)?設

則由頻域卷積定理，得

將s(t)展成付氏級數(shù)：

抽樣信號的頻譜:其形狀決定于，其幅度決定于,且是以為周期重復的周期信號。而只與n有關且取決于s(t)形狀。

131.矩形脈沖抽樣

p(t)

E

τ

0Tst

2.沖激抽樣

-Ts

0Ts

2Tst

即取樣脈沖序列s(t)為周期是Ts的沖激函數(shù)序列

f(t)

0t

fs(t)

-Ts

0Ts

2Tst-ωm0ωmω

F(jω)

-2ωs

-ωs

-ωm0ωm

ωs2ωs

ω

Fs(jω)

14（二）

由抽樣信號重建原信號——抽樣定理

上述頻譜圖中:此時,用一個理想低通濾波器就可以取出原信號的頻譜,從而在濾波器的輸出端得到原信號。

若Fs(jω)

-ωs

-ωm0ωmωs

ω

此時,抽樣信號的頻譜發(fā)生混疊,無法用低通濾波器恢復原信號另外,如果被抽樣信號的頻譜不是限定在有限帶寬內,則抽樣信號的頻譜也會發(fā)生混疊0ω

F(jω)

Fs(jω)0ω15重建原信號的必要條件是：

抽樣信號的頻譜不能混疊。

則必須

(1)有限

——f(t)為有限頻帶信號（限帶信號）；

(2)抽樣頻率

即——奈奎斯特(香農)抽樣頻率——

Nyquist(Shannon)抽樣間隔均勻抽樣定理（香農抽樣定理）：

一個頻譜在區(qū)間（－ωm，ωm）以外為零的頻帶有限信號f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts<1/2fm)上的樣點值f(nTs)確定。當這樣的抽樣信號通過其截止頻率ωc滿足條件ωm<

ωc<ωs－

ωm

的低通濾波器后，可以將原信號完全重建。

0|H(j)|s-sFs(j)解決辦法：（1）提高s。（2）使用高階濾波器。

16二、

離散時間系統(tǒng)的描述和模擬

（一）離散系統(tǒng)的數(shù)學模型——差分方程

連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型——微分方程

微分方程：

一階

差分方程：

一階

——前向形式

——后向形式

問題:怎樣由離散系統(tǒng)得到描述該系統(tǒng)的差分方程？

一質點沿水平方向作直線運動，其在某一秒內所走過的距離等于前一秒所走過距離的2倍，試列出該質點行程的方程式。

例1解：

設k秒末，質點的位移為y(k)

某一秒：

第（k+1）秒→第(k+2)

秒17位移[y(k+2)－y(k+1)]前一秒：

第k秒→第(k+1)

秒位移[y(k+1)－y(k)]依題意：

即

差分方程是處理離散變量的函數(shù)關系的一種數(shù)學工具，但離散變量并不限于時間變量。例2下圖示出電阻梯形網絡，其中每一串臂電阻都為R，每一并臂電阻值都為aR，a為某一正實數(shù)。每個節(jié)點對地的電壓為，。已知兩邊界節(jié)點電壓為，。試寫出求第k個節(jié)點電壓的差分方程式。18

R

R

R

R

R

E

aR

aR

aR

解：為了寫出此系統(tǒng)的差分方程，畫出系統(tǒng)中第k+1個節(jié)點。

R

R

aR

對于任一節(jié)點k+1，運用KCL不難寫出再經整理即得該系統(tǒng)的差分方程

再利用，兩個邊界條件，即可求得。

差分方程與微分方程在形式上相似！19比較與可看出，若y(k)與y(t)相當，則y(k+1)與y’(t)相當。在一定條件下可相互轉化。一階微分方程

考慮離散值（T足夠小）:

令t=0,T,2T,…,kT

t→kT：

e(t)→e(kT)=e(k),

y(t)→y(kT)=y(k),

y(t+T)→y[(k+1)T]=y(k+1)

20代入（1）式得：

二階:n階：

差分方程的階數(shù)：差分方程中未知函數(shù)中變量的最高和最低序號的差數(shù)。

21n階微分方程：

T足夠小時可近似為差分方程：

(二)差分方程的算子形式

連續(xù)系統(tǒng)的微分算子：

定義：

n階微分方程的算子形式：

22離散系統(tǒng)移序算子：S

定義：

n階差分方程的算子形式：

——離散時間系統(tǒng)的轉移算子

（三）離散時間系統(tǒng)的模擬

離散時間系統(tǒng)基本運算單元：

延時器、標量乘法器、加法器

23延時器：

Dx(k)

y(k)

D

y(0)

x(k)y(k)

初始狀態(tài)為零

初始狀態(tài)不為零

1．一階差分方程的模擬

前向：

框圖：

D

y(k+1)y(k)

e(k)

-a與連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬框圖非常相似（延時器代替積分器?。?/p>

后向：

D

y(k)y(k-1)

e(k)

-a

y(k)

242.n階差分方程的模擬

引進輔助函數(shù)q(k)：

即25框圖(m=n)：

DDDb0-an-1-a1-a0b1bn-1bn

e(k)q(k+n)q(k+n-1)q(k+1)q(k)y(k)

注意:

在連續(xù)時間系統(tǒng)中,可能m>n;但在離散時間系統(tǒng)中,m≤n

如y(k)=e(k+1)+e(k)

(n=0,m=1)意味著k時刻的響應依賴于(k+1)時刻的激勵

26三、離散時間系統(tǒng)的時域分析

離散時間系統(tǒng)的分析方法:

1)迭代法:

以初始值為起點y(-1)=0→y(0)→y(1)→y(2)→…2)時域經典法:y(k)=yh(k)+yp(k)3)分別求零輸入響應和零狀態(tài)響應(時域卷積和):全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應4)變換域解法:

Z變換27(一)迭代法例

y(k)–ay(k-1)=x(k),y(-1)=0，

x(k)=δ(k),求

y(k)

解:

y(k)=ay(k-1)+δ(k)

k=0:

y(0)=ay(0-1)+δ(0)=1

k=1:

y(1)=ay(1-1)+δ(1)=ay(0)=a

k=2:

y(2)=ay(1)+δ(2)=ay(1)=a2

y(k)=ak,k≥0

(公比為a的等比序列)(二)零輸入響應yZi(k)

1。零輸入響應的求取

一階:

y(k+1)+ay(k)=e(k),

已知

yZi(0),求yZi(k)

28yZi(k+1)+ayZi(k)=0

(S+a)yZi(k)=0

yZi(k+1)=-ayZi(k)

(S-)yZi(k)=0

此式表明:yZi(k)是一個公比為(=-a)

的等比序列

求c:

yZi(0)=c(-a)0=c

n階:yZi(k+n)+an-1yZi(k+n-1)+…+a0yZi(k)=0

(Sn+an-1Sn-1+…+a1S+a0)yZi(k)=0

單根:

(S-1)(S-2)…(S-n)yZi(k)=0

29(S-i)yZi(k)=0m

階重根的情況:

(S-1)m(S-m+1)…(S-n)yZi(k)=0

yZi(k)=(c1+c2k+…+cmkm-1)1k+cm+1

m+1k+…+cnnk

c1,c2

,…cn

由初始條件yZi(0),yZi(1),…yZi(n-1)

確定

例1已知

y(k+2)–5y(k+1)+6y(k)=e(k+2)，yZi(0)=1,yZi(1)=4,求yZi(k)解:(1)求特征根,寫出yZi(k)

的表達式S2-5S+6=(S–2)(S–3)=0

30

1=2,2=3

yZi(k)=c12k+c23k

(2)求

c1

,c2

：

yZi(0)=c1+c2=1

yZi(1)=c12+c23=4

c1=-1,c2=2

yZi(k)=(-1)(2)k+2(3)k

=2(3)k–(2)k,k≥0

=[2(3)k–(2)k]ε(k)

例2已知

yZi(k+2)+4yZi(k+1)+4yZi(k)=0，yZi(0)=yZi(1)=2,求yZi(k)解:

S2+4S+4=0

→

1=2=-2

yZi(k)=(c1+c2k)(-2)k

yZi(0)=c1=2

yZi(1)=(c1+c2)(-2)

=2

c1=2,c2=-3

yZi(k)=[(2-3

k)(-2)k]ε(k)

312。系統(tǒng)的自然響應和穩(wěn)定

系統(tǒng)的零輸入響應是系統(tǒng)無外激勵時的自然響應:

yZi(k)=ck

系統(tǒng)的穩(wěn)定性由特征根

確定

(1)=實數(shù)

時,yZi(k)

收斂(響應隨k增大而減小)――穩(wěn)定時,yZi(k)

發(fā)散(響應幅度隨k增大而增大)――不穩(wěn)定

時,yZi(k)有界

=1

時,yZi(k)=c

=-1時,yZi(k)=-c,c,-c,c,…

――臨界穩(wěn)定

(2)=復數(shù)

設

其中，32當

為一對共軛復根時

組成變幅正弦序列（）角頻率

當

時,

自然響應為減幅振蕩,系統(tǒng)穩(wěn)定

當

時,

自然響應為增幅振蕩,系統(tǒng)不穩(wěn)定

當

時,

自然響應為等幅振蕩,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

如把特征根畫入一個復數(shù)平面內(Z平面),則系統(tǒng)是否穩(wěn)定決定于確定的Z平面中的點是否在該平面的單位圓之內

時,特征根位于單位圓內,系統(tǒng)穩(wěn)定

時,特征根位于單位圓外,系統(tǒng)不穩(wěn)定

時,特征根位于單位圓上,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定33(三)單位函數(shù)響應h(k)e(k)=δ(k)

時的零狀態(tài)響應

1.迭代法

一階:

即

即

同樣可得:

342.看作特定條件下的零輸入響應(k>0

時)求解

例

已知

,求h(k)

解:(1)寫出它的表達式：

δ(k+2)

只在k+2=0

即k=-2

時取值為1,其它k值時,其值均為0

當k>0時,此系統(tǒng)相當于一個具有某種初始條件的零輸入系統(tǒng)

(2)求初始條件:用迭代法(3)求c1,c2

和h(k)

353.通過H(S)求h(k)

n階:

D(S)y(k)=N(S)e(k)

m<n

且單根:

m=n:

例1已知,求h(k)

解:

36例2已知

求h(k)解:m=n

[方法一]用基本形式(Ⅰ)求

[方法二]

k=0

時,h(k)=h(0)=7

k=0

時,h(k)=h(0)=7

012345k

1●●●●●●0123456k

●●●●●●37(四)零狀態(tài)響應

連續(xù)系統(tǒng):激勵

離散系統(tǒng):

e(k)有始信號

分解

線性非移變:

因果系統(tǒng)(k<0時h(k)=0)

-----卷積和,離散卷積

卷積和求取方法:

查表

,表7-1

②

用定義求

③

用表格求

④

圖解法

⑤

多項式乘法

38例1

已知●●●

012k

f(k)

●●●●

0123k

h(k)

求兩序列卷積和

解:

[方法一]用定義式求

k=0:

k=1:

k=2:

k=3:y(4)=5y(5)=3

y(6)=0…39[方法二]用”序列陣表格”求

h(0)h(k)f(0)f(1)f(2)f(3)…

f(k)h(1)h(2)

h(3)：

f(0)h(0)f(1)h(0)f(2)h(0)f(3)h(0)

0

f(0)h(1)f(1)h(1)f(2)h(1)f(3)h(1)

0

f(0)h(2)f(1)h(2)f(2)h(2)f(3)h(2)

0

f(0)h(3)f(1)h(3)f(2)h(3)f(3)h(3)0

0000

0y(0)

y(1)

y(2)

y(3)

y(4)

y(5)

y(6)

[方法三]多項式乘法

f

(k)={1,1,1}h(k)={0,1,2,,3}f(k)*h(k)={0,1,3,6,5,3}01365301231110123123123++0040[方法四]圖解法

褶迭→

平移→

相乘→

取和●●●

012j

f(j)

●●●●

0123jh(j)

●●●●-3-2-10jh(-j)

●●●●-3-2-10jh(1-j)

●●●●-3-2-1012jh(2-j)

●●●●-3-2-10123jh(3-j)

……h(huán)(3)h(3)h(3)h(3)k=0k=1k=2k=341例2已知

●●●●●GN(k)

012N-1k

●●●●●●

012k

h(k)

求零狀態(tài)響應yZ