第十三章應(yīng)力狀態(tài)分析上下

第十三章應(yīng)力狀態(tài)分析

Analysisofstress §1Introduction引言

§2Planestressanalysis平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析

§3Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力與主應(yīng)力

§4Maximumstressesinthree-dimensionalstressstate三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力

§5Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

§6Stress-strainrelationshipofcompositematerials復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§1Introduction引言Stateofstressesandstrains

應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)PlaneStateofstresses

平面應(yīng)力狀態(tài)微體abcd微體AFPlaSxzy4321MzFQyT14FPl/2l/2S平面54321S平面27外因：應(yīng)力，不同方位應(yīng)力不同（本章研究）

內(nèi)因：材料本身的強度（下一章研究）結(jié)構(gòu)與構(gòu)件失效原因探討低碳鋼圓軸扭轉(zhuǎn)：鑄鐵材料圓軸扭轉(zhuǎn)：Stateofstressesandstrains應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)過一點不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài)StateoftheStressesofaGivenPoint一點的應(yīng)力狀態(tài)Stateofstrains應(yīng)變狀態(tài)構(gòu)件內(nèi)一點在各個不同方位的應(yīng)變狀況，稱為該點處的應(yīng)變狀態(tài)Analyticalmethod研究方法環(huán)繞研究點切取微體，因微體邊長趨于零，微體趨于所研究的點，故通常通過微體，研究一點處的應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)Purpose研究目的研究一點處的應(yīng)力、應(yīng)變及其關(guān)系，目的是為構(gòu)件的應(yīng)力、變形與強度分析，提供更廣泛的理論基礎(chǔ)yxzThree-DimensionalStateofStresses三向（空間）應(yīng)力狀態(tài):微體各側(cè)面均作用有應(yīng)力空間應(yīng)力狀態(tài)一般形式Generalstateofstress:consistsofsixcomponents(threenormalandthreeshear)

Plane

StateofStresses平面應(yīng)力狀態(tài)PlaneStateofStresses平面應(yīng)力狀態(tài)－僅在微體四側(cè)面作用應(yīng)力，且應(yīng)力作用線均平行于微體的不受力表面Generalstateofplanestress平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式垂直于x軸的截面稱為x面，其上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別記為x

和x

，y面上的應(yīng)力記為y和

y§2Planestressanalysis

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析

Stressesonaninclinedplane

斜截面應(yīng)力Example例題Stressesonaninclinedplane斜截面應(yīng)力DerivationofStressTransformationEquations：建立sa,

ta

與sx,

tx,sy,

ty

間的關(guān)系ProblemSignconvention符號規(guī)定：Orientation方位a

－以x軸為始邊、者為正Normalstress正應(yīng)力—拉伸為正；

Shearstress切應(yīng)力t－以企圖使微體沿旋轉(zhuǎn)者為正方位用a

表示；應(yīng)力為

sa,

taInclinedplane斜截面：//zaxis；Stressesonaninclinedplane斜截面應(yīng)力由于tx

與

ty數(shù)值相等,并利用三角函數(shù)的變換關(guān)系,得

上述關(guān)系式是建立在靜力學(xué)基礎(chǔ)上，故所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題一點的應(yīng)力狀態(tài)，在不同的坐標(biāo)系中有不同的表現(xiàn)形式，但它們之間是可以轉(zhuǎn)換的。這種轉(zhuǎn)換稱之為“應(yīng)力的坐標(biāo)變換”，簡稱為“應(yīng)力變換”（TransformationofStresses）。應(yīng)力變換的實質(zhì)——同一點的應(yīng)力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式例題例2-1計算截面

m-m

上的應(yīng)力解：思考：(x,y,y)給定時，在－平面上，(，

)的軌跡什么形狀？Mohr’scircleofstress應(yīng)力圓應(yīng)力圓圓心：半徑：結(jié)論：平面應(yīng)力狀態(tài)下，過一點的各方位截面在該點的應(yīng)力（，

）在—坐標(biāo)系下構(gòu)成一個圓——應(yīng)力圓ConstructionandapplicationofMohr'sCircle應(yīng)力圓的繪制與應(yīng)用ConstructingMohr'sCircle繪制應(yīng)力圓－圓心橫坐標(biāo)圖解法求斜截面應(yīng)力同理可證：應(yīng)力圓——思維分析的工具，而不是計算工具。應(yīng)力圓上一點坐標(biāo)對應(yīng)微體一個截面應(yīng)力值應(yīng)力圓半徑所夾角度是微體截面方位角兩倍，且轉(zhuǎn)向相同.Anangleaonanelementisrepresentedby2aonthecircle,withsamedirectionApointonMohr’scirclerepresentsthestressconditiononthecorrespondingplaneofelement互垂截面，對應(yīng)同一直徑兩端TheplanesperpendiculartooneanotherarerepresentedbydiametricallyoppositepointsonMohr'scircle.微體平行對邊,對應(yīng)應(yīng)力圓同一點22C量得C點的應(yīng)力為:單位：MPa例：圖示微體，已知=210°，求斜截面應(yīng)力，。解：x=80MPa，y=-30MPa，x=-60MPa，2=420°=360°+60°60°Example例題例利用應(yīng)力圓求截面

m-m

上的應(yīng)力（前例題的圖解法）解：o(0,)(0,)2(-)已知σA，τA

，σB，τB，如何作應(yīng)力圓。聯(lián)AB，并作其中垂線，交軸σ于C，C為圓心AABB已知τ，α，如何作應(yīng)力圓。o(A,A)(B,B)o(A,A)(B,B)2(-)幾種特殊受力狀態(tài)的應(yīng)力圓單向受力狀態(tài)純剪切受力狀態(tài)o雙向等拉oo

/2

/2§3

Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力與主應(yīng)力

MaximumStressesinplanestress

平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力

PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面與主應(yīng)力

ShearingStateofStresses

純剪應(yīng)力狀態(tài)

Examples例題MaximumStressesinplanestress

平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力MaximumShearingStressinPlane

（面內(nèi)最大切應(yīng)力）28思考：對于平面應(yīng)力狀態(tài)：是否一定存在正應(yīng)力為零的面？正應(yīng)力最大與最小的面在幾何上有何特征？是否一定存在切應(yīng)力為零的面？正應(yīng)力最大與最小的面上，切應(yīng)力有什么性質(zhì)？PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面與主應(yīng)力Principalplanes主平面－

theplanesonwhichthemaximumandminimumvaluesofσoccur(noshearstressesinexistence)

切應(yīng)力為零的截面PrincipalStresses主應(yīng)力－

thenormalstressesactingonprincipalplanes主平面上的正應(yīng)力主應(yīng)力符號與規(guī)定－主平面微體－相鄰主平面相互垂直，構(gòu)成一正六面形微體（按代數(shù)值排列）s1s2s3si

=?不論一點處的應(yīng)力狀態(tài)如何復(fù)雜，都存在一個主平面微體，即任何一點都有三個主平面和主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)分類OneDimensionalStateofStresses單向應(yīng)力狀態(tài)：僅一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)TwoDimensionalStateofStresses二向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)ThreeDimensionalStateofStresses三向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)二向與三向應(yīng)力狀態(tài)，統(tǒng)稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)2-Dand3-Dstateofstresses:complexstateofstressesShearingStateofStresses純剪應(yīng)力狀態(tài)MaximumStresses最大應(yīng)力32低碳鋼圓軸扭轉(zhuǎn)：鑄鐵材料圓軸扭轉(zhuǎn)：例：純剪應(yīng)力狀態(tài)下不同的斷裂機理：如果兩端再加上一些拉力，則斷裂面的角度大于還是小于45°思考：滑移與剪斷發(fā)生在tmax的作用面斷裂發(fā)生在smax

的作用面解：1.解析法例用解析法與圖解法，確定主應(yīng)力的大小與方位2.圖解法35作業(yè)：13－2(c),13－4(c)，13-7(b)

36按比例尺畫出應(yīng)力圓圖解法：最大正應(yīng)力點在D點，進(jìn)行測量；最大切應(yīng)力點在E點，進(jìn)行測量；對A、B兩截面的夾角進(jìn)行測量2aB(40,20)A(15,15)CDE例：平面應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)一點O在A、B兩截面上的應(yīng)力如圖所示，求該點的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力及A,B兩截面的夾角。

O37解析法：構(gòu)造如圖所示微體兩個未知數(shù)，兩個方程，求解得：故：1.應(yīng)力圓上一點坐標(biāo)對應(yīng)微體一個截面應(yīng)力值2.圓上兩點所夾圓心角對應(yīng)截面法線夾角的兩倍,對應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同主平面－切應(yīng)力為零的截面主應(yīng)力極值應(yīng)力與主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析上節(jié)課主要內(nèi)容：§4

Maximumstressesinthree-dimensionalstateofstress三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力

Mohr'scircleinthreedimensions

三向應(yīng)力圓

Maximumstresses最大應(yīng)力Examples例題Mohr'scircleinthreedimensions三向應(yīng)力圓與任一截面相對應(yīng)的點，或位于應(yīng)力圓上，或位于由應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)Maximumstresses最大應(yīng)力最大切應(yīng)力位于與s1及s3均成45的截面平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力例題例5-1已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=-40MPa，求主應(yīng)力、最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力解：畫三向應(yīng)力圓44例：圖示單元體最大切應(yīng)力作用面是圖______單位：MPa答：B45例：試作圖示平面應(yīng)力狀態(tài)微體的三向應(yīng)力圓單位：MPa46練習(xí)：畫三向應(yīng)力圓60MPaz分析：（1）z面是主平面，應(yīng)力為40MPa（2）另外兩個主平面與z面平行，由x面和y面應(yīng)力確定Plane

strainanalysis

平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析

Strainsatarbitrarydirection任意方位的應(yīng)變

Mohr'scircleforplanestrain

應(yīng)變圓

Maximum&principalstrain

最大應(yīng)變與主應(yīng)變

Examples

例題Strainsatarbitrarydirection任意方位的應(yīng)變Forastateofplanestrain(平面應(yīng)變狀態(tài)),weassume微體內(nèi)各點的位移均平行于某一平面Forastateofplanestress,weassume:平面應(yīng)變狀態(tài)任意方位應(yīng)變問題：已知應(yīng)變ex,ey與gxy，求a方位的應(yīng)變ea

與ga

使左下直角增大之

g為正規(guī)定：

方位角

a

以x軸為始邊，為正分析方法要點：疊加法，切線代圓弧分析綜合

上述分析建立在幾何關(guān)系基礎(chǔ)上，所得結(jié)論適用于任何小變形問題，而與材料的力學(xué)特性無關(guān)結(jié)論任一方位應(yīng)變：垂直方位切應(yīng)變：互垂方位的切應(yīng)變數(shù)值相等，符號相反Mohr'scircleforplanestrain應(yīng)變圓Maximum&principalstrain最大應(yīng)變與主應(yīng)變切應(yīng)變?yōu)榱惴轿坏恼龖?yīng)變－主應(yīng)變主應(yīng)變位于互垂方位主應(yīng)變表示：e1e2e3例題例6-1圖示應(yīng)變花，由實驗測得0o,45o與90o方位的應(yīng)變分別為e0,e45與e90，求ex,ey與gxy解：§5

Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

GeneralizedHooke’slaw

廣義胡克定律

Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主應(yīng)力與主應(yīng)變的關(guān)系

Examples例題60xxxyyy純剪應(yīng)力狀態(tài)的胡克定理：單向應(yīng)力狀態(tài)的胡克定理：如何確定復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系？X研究方法：利用疊加原理，由單向受力和純剪狀態(tài)的胡克定理推導(dǎo)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定理。GeneralizedHooke’slaw廣義胡克定律廣義胡克定律（平面應(yīng)力狀態(tài)）適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內(nèi)廣義胡克定律（三向應(yīng)力狀態(tài)）適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內(nèi)Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主應(yīng)力與主應(yīng)變的關(guān)系

主應(yīng)變與主應(yīng)力的方位重合

最大、最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大、最小主應(yīng)力方位最大拉應(yīng)變發(fā)生在最大拉應(yīng)力方位如果s10，且因m<1/2，則例題例7-1

對于各向同性材料，試證明：證：根據(jù)幾何關(guān)系求e45。根據(jù)廣義胡克定律求

e45。比較例7-2邊長為a

=10

mm的正方形鋼塊，放置在槽形剛體內(nèi)，F(xiàn)

=

8

kN，m

=

0.3，求鋼塊的主應(yīng)力