ch02第二章導(dǎo)數(shù)與微分-01第一節(jié)概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分部分稱為積分學(xué).微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué).（820-189曾“在一理論成未必再有么像17世紀(jì)下葉微培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論和對(duì)人們進(jìn)行文化熏陶的極好素材（本部分內(nèi)容詳見(jiàn)光盤(pán)）.第一節(jié)數(shù)概15世紀(jì)初文藝復(fù)興時(shí)期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代.而十六世紀(jì)的歐洲，正處在萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展對(duì)自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展在各類學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)種種要求中，下列三類問(wèn)題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：程度，即所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題牛頓從第一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，萊布尼茨從第二個(gè)問(wèn)題出發(fā)，分分布圖

★引 ★引例 ★引例 ★引例★導(dǎo)數(shù)的定 ★關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)（12）★例 ★例 ★例 ★例★★★★★★★★★★★★★例 ★例★2-內(nèi)容要點(diǎn)一、引例：引例1 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度；引例2平面曲線的切線引例3 二、導(dǎo)數(shù)的定義f

)limy

f(x0x)f(x0 x0

:yyx

x為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)y

x

yf(xx)f

y

f(xx)f(x)

y

y三、

x01yf(xx0yf(xx0處的左、右導(dǎo)五、六、定理 如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在x0處連續(xù)分條件.2還知道，若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo).認(rèn)識(shí)大相徑庭，從而了數(shù)學(xué)界和思想界.這就促使人們?cè)谖⒎e分研究中從依賴于直觀轉(zhuǎn)例題選講1E01)yx3x1f(1解x1變到1xy(1x)3133 f(1)limylim(33x(x)2)x0

2E02)試按導(dǎo)數(shù)定義求下列各極限(假設(shè)各極限均存在

x

f(2x)f(2a)x

f(x)

f(0

解

f(2x)f(2a)x

2

f(2x)f(2a)21(2x2

2

f(2x)f(2a)2f(2a);2x2a(2)f(0)0于是

f(x)

f(x)f(0)

f

x3E04)f(xC(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù) f(x)limf(xh)f(x)limCC0,即(C) 4E05)f(xsin

求(sinx)及(sinx)|x4解(sinx)limsin(xhsin

limcos(xh)

sin2

cosx即(sinx)cos(sin

2 cos 22

2 5E06)yxn(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù)解

n)

(xh)nh

n1

n(n

h

]

即(xn)nxn1.更一般地(x)x1(例如,

x)

11x

1.1

x1(1)x1112 x 26E07)f(xax(a0a1的導(dǎo)數(shù)x anh

ah

x

x 解

)

a

alna即

)

lna,

)e7ylogax(a0a1的導(dǎo)數(shù)h

(xh)log

loga(1)

h ylim alim x

)h

即(log

x)1

e.(lnx)1x

x

x 8E03)f(xsin

xx

x0處的導(dǎo)數(shù)解當(dāng)x0時(shí)yf(0xf(0)sinx0sin

y

sinxx0 當(dāng)x0時(shí)yf(0xf(0x0

limylimxx0 x0f(0f(01f(0)limyx09f(xf(0存在.f(0證因f(x)為偶函數(shù) 故有f(x)ff(0)

f(0h)fh

f(h)fh

f(h)f

f(h)ff(0)f(0f(0f(0)f(0f(0)f(0例 求等邊雙曲線y1在點(diǎn)1,2處的切線的斜率,并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方和法線方程

2 2解k

1

1

11xx xx x1xy24x1

即4xy4y21x1

2即2x8y15 4 2x例11(E08)求曲線y 在點(diǎn)(4,2)處的切線方程x12解12y

x)

yx4

11212y21(x4

即x4y412E09)f(x)|x|x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解如圖，易證函數(shù)f(xxx0處是連續(xù)的.下面主要來(lái)討論f(x)x在點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性f(0hf(0)

hh

f(0h)f

h h0

f(0h)f(0)

h1f(0f(0f(xx0點(diǎn)不可導(dǎo) 證畢

h0注：yf(xx0處出現(xiàn)尖點(diǎn)，則它在該點(diǎn)不可導(dǎo).因此，如 13E10)f(xxsinx

xx0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性x sin1是有界函數(shù),limxsin1 f(0)

f(x0,f(xx0處的連續(xù) (0x)sin x0

y 0

1,當(dāng)x0時(shí)

y在1和1 不存在f(xx0處不可導(dǎo)14f(x

x

問(wèn)af(x為可導(dǎo)函數(shù)x2

0x解x0f(x為可導(dǎo)時(shí)a的取值情況.x0

y

f(0x)f

(x)21

x0

y

f(0x)f(0)

a1x0

x0x

a10ax0f(x為可導(dǎo)函數(shù)2ex x15f(xx2bxf(xx0處連續(xù)

xab為何值f(xx0處可導(dǎo)

ab為何值解

f(xx0

f(x)

f(x)f(01即2a于是a1,b為任何實(shí)數(shù),f(xx0連續(xù)

f(xx0f(0x)f

2exaf(0)

f(0)

f(0x)f

x2bx1

lim(xb)f(0f(0)于是b2,a1f(xx0可導(dǎo)分條件.2還知道，若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo).得多數(shù)學(xué)家特拉構(gòu)造出一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子(如第七章第一節(jié)的Koch界這就促使人們?cè)谖⒎e分研究中從依賴于直觀轉(zhuǎn)向理性思維，大大促進(jìn)了微積分邏輯基礎(chǔ)課堂練f(xx0f(x0f(x有什么區(qū)別與聯(lián)系設(shè)(xxa處連續(xù)

f(x)x2a2)(x),f(ay2xx3x軸平行的切線方程（Friedrich 31歲，那時(shí)他在巴黎，（無(wú)窮小的“0）的字頭S拉長(zhǎng)。他的這個(gè)符號(hào)，以及微積分的要領(lǐng)和法則一直保留到的中。萊布a/ba:b上牛頓先于萊布尼茲10年，而在的時(shí)間上，萊布尼茲卻早于牛頓三年。強(qiáng)的英國(guó)民族抱住牛頓的概念和記號(hào)不放使用更為合理的萊布尼茲的微積分符號(hào)和技唱贊歌，沉醉于研究和公爵。萊布尼茲生命中的最后7年，是在別人帶給他和牛頓關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論中度過(guò)的。他和牛頓一樣，都在終生未娶。1761年11月14牛頓（NewtonNewtan,幾乎總是建立在作出一點(diǎn)一點(diǎn)滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之牛頓(164-172),,母親改嫁后,是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學(xué).他從小在低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育,除對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)有外,是個(gè)沒(méi)有什么特殊的青年人,1661年他進(jìn)入大學(xué)的三一學(xué)院學(xué)習(xí),大學(xué)期間除了巴羅(arow)外,他從他的老師那里只得到了很少的一點(diǎn)鼓舞,他自己做實(shí)驗(yàn)并且研究當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家的著作,如ecresaeo,Keper等的作。大學(xué)課和剛結(jié)束，學(xué)校為倫敦地區(qū)流行而關(guān)閉。他回到家665年和1666他了引的平方反定律（曾已有人提，這是打開(kāi)那所不包的學(xué)科學(xué)的象光樣的白光際上是紫到紅各種顏混合而成的“有這些頓后來(lái)說(shuō)：“是在1665和1666兩個(gè)年中做的因?yàn)樵谌兆永镂姨幵诎l(fā)力最旺的時(shí)期（自然）有，667年他到獲得，被為三一學(xué)的研究。1669他的老（Luas