2023年高考數學一輪復習（藝考）第09講 第十章 計數原理概率隨機變量及其分布（基礎拿分卷）（解析版）

文檔來源網絡僅供參考侵權刪除第09講第十章計數原理，概率，隨機變量及其分布（基礎拿分卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2022·浙江·青田縣船寮綜合高級中學高三期中）《西游記》《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》是我國著名的四大古典小說，若從這四本小說中任取2本，則“取到《三國演義》”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】從這四本小說中任取2本，共有種情況，其中取到《三國演義》，再從剩余3本中選擇1本，共有種，故概率為，故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中，的系數為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】的展開式的通項是，（）由題意，，因此，的系數是.故選：B.3．（2022·全國·高一課前預習）已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】C【詳解】因為，事件與對立，所以，又，與互斥，所以.故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習）已知正態(tài)分布的密度函數，，以下關于正態(tài)曲線的說法錯誤的是（

）A．曲線與x軸之間的面積為1B．曲線在處達到峰值C．當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移D．當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”【答案】D【詳解】因正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1，則A正確；因，有，因此，當且僅當時取“=”，即曲線在處達到峰值，B正確；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，C正確；當一定時，曲線的形狀由確定，越小，峰值越高，正態(tài)曲線越“瘦高”，D錯誤.故選：D5．（2022·湖北武漢·高二期末）在一次試驗中，隨機事件A，B滿足，，則（

）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B不一定互斥C．事件A，B一定互相獨立 D．事件A，B一定不互相獨立【答案】B【詳解】設為“拋擲一枚質地均勻的骰子，向上的點數為1,2”，為“拋擲一枚質地均勻的骰子，向上的點數為”，則，，但此時，不互斥，也不獨立，故AC錯誤.若，則，此時，相互獨立，故D錯誤，故選：B.6．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知，設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以由組合數的性質得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選：D.7．（2022·陜西渭南·高一期末）素數分布是數論研究的核心領域之一，含有眾多著名的猜想.19世紀中葉，法國數學家波利尼亞克提出了“廣義孿生素數猜想”：對所有自然數k，存在無窮多個素數對，其中當時，稱（）為“孿生素數”，時，稱（）為“表兄弟素數”.在不超過20的素數中，任選兩個不同的素數p，q（），令事件{（）為孿生素數}，{（）為表兄弟素數}，{}，記事件A、B、C發(fā)生的概率分別為、、，則下列關系式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：不超過20的素數有、、、、、、、，共8個，隨機選取兩個不同的素數、()，有(種)選法，事件發(fā)生的樣本點為、、、共4個，事件發(fā)生的樣本點為、、共3個，事件發(fā)生的樣本點為、、、、、，共6個，∴，，故.故選：C.8．（2022·上海交大附中高二期末）已知甲?乙兩袋中分別裝有編號為的四個球.從甲、乙兩袋中各取出一個球，每個球被取出的可能性相同.事件：從甲袋中取出的球的編號是偶數；事件：從乙袋中取出的球的編號是奇數；事件：取出的兩個球的編號都是偶數或都是奇數.給出下列命題：①事件與事件相互獨立；②事件與事件相互獨立；③事件與事件相互獨立.那么這三個命題中真命題的個數為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【詳解】由題意：，，，因為事件：從甲袋中取出的球的編號是偶數，乙袋中取出的球的編號是奇數，所以，因為事件：甲乙兩袋中取出的球的編號都是奇數，所以，因為事件：甲乙兩袋中取出的球的編號都是偶數，，則，，,所以相互獨立，相互獨立，相互獨立，所以D正確.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二開學考試）已知袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則下列事件的概率不為的是（

）A．顏色相同 B．顏色不全相同 C．顏色全不相同 D．無紅球【答案】ACD【詳解】根據題意，有放回的取3次，共有3×3×3=27種情況，即（黃，黃，黃），（黃，白，黃），（黃，黃，白），（黃，紅，黃），……，由古典概型計算：A選項，顏色相同的情況有3種，故概率為，不為；B選項，顏色不全相同與顏色相同是對立事件，故其概率為；C選項，顏色全不相同，即黃，紅，白各有一次，共有6種情況，故概率為，不為；D選項，無紅球，即三次都是黃或白球，共有8種情況，故其概率為，不為.故選：ACD10．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）某城市的街道如圖，某人要從地前往地，則路程最短的走法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】BC【詳解】從A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，要從7次中選擇3次向下走，剩下的向右走或選擇4次向右走，剩下的向下走，故最短的走法有或種.故選：BC11．（2022·全國·高三專題練習）一盒中有7個乒乓球．其中5個未使用過，2個已使用過，現從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過的球的個數為X，則下列結論正確的是（

）A．X的所有可能取值是 B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為 D．X的數學期望是【答案】AC【詳解】記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5；，，，所以X最有可能的取值是4；.故選：AC12．（2022·山東·鄒城市兗礦第一中學高二階段練習）分別拋擲兩枚質地均勻的骰子（六個面上的點數分別為1，2，3，4，5，6），設事件“第一枚骰子的點數為奇數”，事件“第二枚骰子的點數為偶數”，則（

）A．與互斥 B． C．與相互獨立 D．【答案】BC【詳解】對于選項A：事件與是可能同時發(fā)生的，故與不互斥，選項A不正確；對于選項B：，選項B正確；對于選項C：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨立，故C正確；對于選項D：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項D不正確.故選：BC三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·全國·高二課時練習）“趙爽弦圖”是中國古代數學的文化瑰寶，由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成（如圖所示），簡潔對稱、和諧優(yōu)美.某數學文化研究會以弦圖為藍本設計會徽，其圖案是用紅、黃2種顏色為弦圖的5個區(qū)域著色（至少使用一種顏色），則一共可以繪制備選的會徽圖案數為__________.【答案】12【詳解】根據使用的色彩分類：（1）只用一種顏色，共有種情況；（2）使用兩種顏色，可分2步：選一種顏色涂小正方形，有種選法，由于對稱性，剩下四個直角三角形的涂法有5種情形（四個直角三角形與小正方形不同色，有1種；四個直角三角形有一個與小正方形同色，有1種；四個直角三角形有2個與小正方形同色，有相鄰和相對位置之分，共2種；四個直角三角形有3個與小正方形同色，有1種），所以用兩種顏色共有種情況，所以，一共可以繪制備選的會徽圖案數為12種.故答案為：12．14．（2022·全國·高二課時練習）隨機變量的分布列為為常數，則的值為____________【答案】詳解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；故答案為．15．（2022·全國·高二課時練習）某同學上學路上要經過個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記為遇到紅燈的次數，若，則Y的方差______．【答案】【詳解】解：同學上學路上要經過個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的．記為遇到紅燈的次數，則，，，．故答案為：．16．（2022·全國·高三專題練習）立德中學開展學生數學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值（滿分100分）X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異，決定在分數段內抽取學生，并確定m＝67，且.在某班隨機抽樣得到20名學生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學生分數在分數段內的人數為k，則k等于______；這k名學生的人均分為______.（附：，，）【答案】

10

74分【詳解】有圖像可知，服從正態(tài)分布，其中，，所以隨機變量，，，由，可得.由圖②可知，該班在內抽取了10人；所以，人均分為分.故答案為：10，74分.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·重慶市萬州第二高級中學高二期末）在的展開式中,求：(1)第3項的二項式系數及系數；(2)奇數項的二項式系數和；(3)求系數絕對值最大的項.【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】二項式的通項公式為：.(1)第3項的二項式系數為,第三項的系數為；(2)奇數項的二項式系數和；(3)設系數絕對值最大的項為第（r+1）項,則,又,所以r=2.∴系數絕對值最大的項為．18．（2022·甘肅酒泉·高一期末）“2022年全國城市節(jié)約用水宣傳周”于5月15日至21日舉行，某市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內容豐富的活動，進一步增強全民保護水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識．為了解活動開展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調查住戶的節(jié)約用水情況，隨機抽取了100名業(yè)主進行節(jié)約用水調查評分，將得到的分數分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應抽取多少人？(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中隨機抽取2人作進一步訪談，求這2人都是第3組的概率．【答案】(1)各應抽取1人，2人，3人(2)(1)由表中的數據可知：第1，2，3組的人數比為0.01：0.02：0.03=1：2：3，∴采用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應抽取1人，2人，3人．(2)記抽取的6人來自第1組的1人為a，來自第2組的2人為b，c，來自第3組的3人為d，e，f，則在所抽取的6人中隨機抽取2人的可能結果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15種，其中2人都來自第3組的有de，df，ef共3種，∴這2人都是第3組的概率．19．（2022·山西·晉中新大陸雙語學校高二階段練習）某種產品按照產品質量標準分為一等品、二等品、三等品、四等品四個等級，某采購商從采購的該種產品中隨機抽取100件，根據產品的等級分類得到如下數據：等級一等品二等品三等品四等品數量40301020（1）若將頻率視為概率，從采購的產品中有放回地隨機抽取3件產品，求恰好有1件四等品的概率；（2）根據產品等級，按分層抽樣的方法從這100件產品中抽取10件，再從這10件產品中隨機抽取3件，記這3件產品中一等品的數量為，求的分布列及數學期望；（3）生產商提供該產品的兩種銷售方案供采購商選擇，方案一：產品不分類，售價均為22元/件．方案二：分類賣出，分類后的產品售價如下，等級一等品二等品三等品四等品售價/（元/件）24221816根據樣本估計總體，從采購商的角度考慮，應該選擇哪種銷售方案？請說明理由．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）選擇方案二，理由見解析.【詳解】解：（1）從采購的產品中有放回地隨機抽取3件產品，記抽到四等品的數量為，則，所以．（2）由題可得，抽取的10件產品中，一等品有4件，非一等品有6件，所以的可能取值為0，1，2，3．，，，．則的分布列為0123．（3）由題，方案二的產品的平均售價為（元/件）.因為，所以從采購商的角度考慮，應選擇方案二.20．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）某芯片制造企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產.在試產初期，該款芯片生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.(1)在試產初期，該款芯片的批次生產前三道工序的次品率分別為.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次的芯片智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率；(2)該企業(yè)改進生產工藝后生產了批次的芯片.某手機生產廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機上使用.現對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度進行滿意度調查.據統(tǒng)計，回訪的100名用戶中，安裝批次有40部，其中對開機速度滿意的有30人；安裝批次有60部，其中對開機速度滿意的有58人.依據的獨立性檢驗，能否認為芯片批次與用戶對開機速度滿意度有關?附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)①；②；(2)能認為芯片批次與用戶對開機速度滿意度有關聯(lián)，理由見解析.（1）①批次芯片的次品率為②設批次的芯片智能自功檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由已知得，則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件，.（2）零假設為：芯片批次與用戶對開機速度滿意度無關聯(lián).由數據可建立列聯(lián)表如下：（單位：人）開機速度滿意度芯片批次合計不滿意10212滿意305888合計4060100根據列聯(lián)表得因此，依據的獨立性檢驗，我們推斷此推斷不成立，即能認為芯片批次與用戶對開機速度滿意度有關聯(lián).此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.21．（2022·全國·高三專題練習）核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質，如果有病毒，樣本檢測會呈現陽性，否則為陰性．某檢測點根據統(tǒng)計發(fā)現，該處疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為．現有4例疑似病例，分別對其取樣檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗．混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結果就會呈陽性．若混合樣本呈陽性，則再將該組中每一個備份的樣本逐一進行化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗．現有以下兩種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組，每組兩個樣本混合在一起，再分組化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗次數的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)求4個疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；(2)現將該4例疑似病例樣本進行化驗，請問：方案一、二中哪個較“優(yōu)”？做出判斷并說明理由．【答案】(1)(2)方案二較“優(yōu)”；理由見解析（1）用表示4個疑似病例中化驗呈陽性的人數，則，由題意可知，設4個疑似病例中至少有1例呈