垂直于弦的直徑 市一等獎

24.1圓的有關性質第二十四章圓24.1.2垂直于弦的直徑問題:你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形.任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．講授新課垂徑定理及其推論一問題1

剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？問題2

如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.歸納總結推導格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？1、如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結論中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD當堂檢測：C典例精析例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂徑定理及其推論的計算二∴cm.例2

如圖，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，2、如圖，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm,

OE=6cm,則⊙O的半徑是

cm。·OABE10當堂檢測：3、如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，⊙O的半徑為5cm，則圓心O到AB的距離是

cm?！ABE3當堂檢測：4、如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為13cm,OE=5cm,則AB=

cm?！ABE24當堂檢測：ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∵∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.

你能利用垂徑定理解決求趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?垂徑定理的實際應用三練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm

在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.方法歸納涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：弓形中重要數(shù)量關系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=___.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

____

.14cm或2cm當堂練習

4.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●

OCDEF┗設這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.拓展提升：如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個動點，那么OP長的取值范圍

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構造Rt△利