伽利略斜面實(shí)驗(yàn)的分析

伽利略斜面實(shí)驗(yàn)的分析

摘要：對伽利略斜面實(shí)驗(yàn)中的小球進(jìn)行了較詳細(xì)的力學(xué)分析，指明了小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化，并澄清了相關(guān)的模糊認(rèn)識；同時(shí)提出了相應(yīng)的教學(xué)建議．

關(guān)鍵詞：伽利略斜面實(shí)驗(yàn)；力學(xué)分析；剛體；靜摩擦；教學(xué)建議；質(zhì)點(diǎn)模型

伽利略斜面實(shí)驗(yàn)是普通物理學(xué)中的一個(gè)重要理想實(shí)驗(yàn)，由于教材體系、學(xué)生知識水平的緣故，均對其進(jìn)行定性分析，以至于小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化不甚清晰，有必要對其進(jìn)行定量分析而加以明確，并澄清相關(guān)的模糊認(rèn)識．本文就此做些探討，同時(shí)提出相應(yīng)的教學(xué)建議．2伽利略斜面實(shí)驗(yàn)伽利略斜面實(shí)驗(yàn)[1～3，6]如圖1所示，小球沿導(dǎo)軌斜面1，從某高度處靜止開始下滾，經(jīng)導(dǎo)軌最低處，沿導(dǎo)軌斜面2上滾至略小于原高度處而速度為零

；然后，再下滾、上滾，如此循環(huán)；但每次上滾的高度均略小于下滾時(shí)的高度．1引言

對上述伽利略斜面實(shí)驗(yàn)常見的解釋[1～3，6]是：由于小球受到摩擦的緣故；且推理道：若不受摩擦，小球不僅可上滾至相同的高度，而且可沿水平面一直滾動(dòng)下去．然而，小球究竟受到的是什么摩擦——滑動(dòng)摩擦、靜摩擦、滾動(dòng)摩擦，還是籠統(tǒng)指三者？又見到對沿水平面無滑滾動(dòng)時(shí)，小球不受靜摩擦力的定性討論[4]；但沿導(dǎo)軌斜面下滾、上滾時(shí)，小球的能量轉(zhuǎn)化問題一般很少涉及．同時(shí)教學(xué)實(shí)際中，也見到不少教師仍沿用以上籠統(tǒng)解釋．21圖1伽利略斜面實(shí)驗(yàn)3力學(xué)分析3.1動(dòng)力學(xué)分析

小球沿斜面1下滾，小球、斜面視作剛體；小球與斜面間的最大靜摩擦因數(shù)≥時(shí)，小球沿斜面做無滑滾動(dòng)[6]；此時(shí)小球受重力、支持力、靜摩擦力，如圖2所示；建立坐標(biāo)系o–xyz系，依剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、無滑滾動(dòng)方程[5～8]，有（1）

（2）

（3）

（4）

oxy圖2小球沿斜面下滾時(shí)受力圖其中為小球半徑，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．由式（1）～（4），得

可見，靜摩擦力的作用：一方面使小球質(zhì)心的平動(dòng)減速，另一方面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)加速．

同理，小球沿斜面2無滑上滾，靜摩擦力，坐標(biāo)系o–xyz系，如圖3所示，則有（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

oxy圖3小球沿斜面上滾時(shí)受力圖由式（7）～（9）、（4），得（10）

（11）

易見，靜摩擦力的作用：一方面使小球質(zhì)心的平動(dòng)加速，另一方面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)減速．

若斜面2變?yōu)樗矫?，小球做無滑滾動(dòng)，如圖4所示；那么，此時(shí)小球受靜摩擦力否？

為此，只需令式（11）中的，得（12）

（13）

（14）

xyo圖4小球沿水平面滾動(dòng)時(shí)受力圖式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做無滑滾動(dòng)時(shí)，不受靜摩擦力的作用；小球的質(zhì)心勻速平動(dòng)（相對水平面——慣性系），小球繞其質(zhì)心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；即小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)）保持不變．3.2能量分析

若從能量觀（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量轉(zhuǎn)化．如圖2所示，依剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的能量方程（平動(dòng)能量方程、轉(zhuǎn)動(dòng)能量方程）、無滑滾動(dòng)方程[7]，有（15）

（16）

（17）

其中為小球滾下高時(shí)質(zhì)心的位移．由式（15）～（17）、（4），得進(jìn)而（18）

（19）

（20）

式（19）、（20）表示了小球從靜止開始沿斜面1質(zhì)心下降高時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的量值．綜合式（15）、（16）、（19）、（20）可知：重力的作用是使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能增大；而靜摩擦力的作用一方面使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能減小，另一面使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加，且減小的量值與增加的量值相等．因此，靜摩擦力不耗損機(jī)械能，僅起把平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的作用．

同理，對小球沿斜面2上滾，即圖3所示情形．可知：小球沿斜面2可上滾到相同的高度；重力的作用是使小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能減小，靜摩擦力的作用是使小球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成小球質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能．

對小球沿水平面做無滑滾動(dòng)，即圖4所示情形．因不受靜摩擦力的作用，故小球的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不再相互轉(zhuǎn)化，而各自保持不變．4結(jié)論

上述分析表明：正因?yàn)樾∏蚴艿届o摩擦力、的作用才使小球沿斜面下滾、上滾；小球只受靜摩擦力作用時(shí)，可上滾至相同的高度．因此，籠統(tǒng)解釋——小球不受摩擦?xí)r可上滾至相同的高度顯得不妥；籠統(tǒng)解釋僅適用于小球沿水平面滾動(dòng)的情形．

然而，對上述真實(shí)的伽利略斜面實(shí)驗(yàn)，由于小球、斜面和水平面不是理想的剛體，所以小球還受到一定的滾動(dòng)摩擦力矩的作用，從而使小球不再沿斜面上滾至原來的高度或沿水平面一直滾動(dòng)下去；同時(shí)伴隨著機(jī)械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化．5教學(xué)建議

一般，滾動(dòng)摩擦遠(yuǎn)小于滑動(dòng)摩擦；正因?yàn)槿绱?，通常用小球來做伽利略斜面?shí)驗(yàn)；但在一定條件下，小球可以沿導(dǎo)軌斜面做無滑滾動(dòng)，這又不得不將小球視作剛體；而剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容在基礎(chǔ)物理教材中又不涉及或普通物理教材中又未及時(shí)返回來探討，這大概就是以上籠統(tǒng)解釋的原因．

由上述分析知，只有運(yùn)用剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、能量方程才可將伽利略斜面實(shí)驗(yàn)中小球的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、能量轉(zhuǎn)化清晰地明確；這與原本打算用質(zhì)點(diǎn)模型來說明慣性定律的初衷相背離，使問題復(fù)雜化，從而很難獲得清楚的解釋．因此，建議在教學(xué)中宜采用質(zhì)點(diǎn)模型的伽利略斜面實(shí)驗(yàn)；這就要求運(yùn)用現(xiàn)有的氣墊導(dǎo)軌裝置或較粗糙的小車、斜平面裝置，或有待新開發(fā)、設(shè)計(jì)的其它實(shí)驗(yàn)裝置．參考文獻(xiàn)：[1]物理（高級中學(xué)課本（必修），第一冊，第2版）[M]．北京：人民教育出版社，1995．80～81．[2]物理（全日制普通高級中學(xué)教科書（必修），第一冊）[M]．北京：人民教育出版社，2003．45～46．[3]郭奕玲，沈慧君．物理學(xué)史[M]．北京：清華大學(xué)出版社1993．14～

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200～204．AnalyzingGalileo’sexperimentontheinclinedplaneHEShu-ping(CollegeofPhysicsandElectronicsEngineering，NorthwestNormalUniversity，Lanzhou，730070，China)

Abstract：ThespheruleinGalileo’sexperimentontheinclinedplaneisanalyzedmechanicallyinrelativedetail,itsactedforces,stateofmotionandenergytransformationareshowedclearly,andrelevantblurrycognitionsareclarified；asaresultcorrespo