伽利略斜面實驗的分析

伽利略斜面實驗的分析

摘要：對伽利略斜面實驗中的小球進行了較詳細的力學分析，指明了小球的受力、運動狀態(tài)、能量轉化，并澄清了相關的模糊認識；同時提出了相應的教學建議．

關鍵詞：伽利略斜面實驗；力學分析；剛體；靜摩擦；教學建議；質點模型

伽利略斜面實驗是普通物理學中的一個重要理想實驗，由于教材體系、學生知識水平的緣故，均對其進行定性分析，以至于小球的受力、運動狀態(tài)、能量轉化不甚清晰，有必要對其進行定量分析而加以明確，并澄清相關的模糊認識．本文就此做些探討，同時提出相應的教學建議．2伽利略斜面實驗伽利略斜面實驗[1～3，6]如圖1所示，小球沿導軌斜面1，從某高度處靜止開始下滾，經導軌最低處，沿導軌斜面2上滾至略小于原高度處而速度為零

；然后，再下滾、上滾，如此循環(huán)；但每次上滾的高度均略小于下滾時的高度．1引言

對上述伽利略斜面實驗常見的解釋[1～3，6]是：由于小球受到摩擦的緣故；且推理道：若不受摩擦，小球不僅可上滾至相同的高度，而且可沿水平面一直滾動下去．然而，小球究竟受到的是什么摩擦——滑動摩擦、靜摩擦、滾動摩擦，還是籠統(tǒng)指三者？又見到對沿水平面無滑滾動時，小球不受靜摩擦力的定性討論[4]；但沿導軌斜面下滾、上滾時，小球的能量轉化問題一般很少涉及．同時教學實際中，也見到不少教師仍沿用以上籠統(tǒng)解釋．21圖1伽利略斜面實驗3力學分析3.1動力學分析

小球沿斜面1下滾，小球、斜面視作剛體；小球與斜面間的最大靜摩擦因數≥時，小球沿斜面做無滑滾動[6]；此時小球受重力、支持力、靜摩擦力，如圖2所示；建立坐標系o–xyz系，依剛體平面平行運動的動力學方程、無滑滾動方程[5～8]，有（1）

（2）

（3）

（4）

oxy圖2小球沿斜面下滾時受力圖其中為小球半徑，為轉動慣量．由式（1）～（4），得

可見，靜摩擦力的作用：一方面使小球質心的平動減速，另一方面使小球繞其質心軸的轉動加速．

同理，小球沿斜面2無滑上滾，靜摩擦力，坐標系o–xyz系，如圖3所示，則有（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

oxy圖3小球沿斜面上滾時受力圖由式（7）～（9）、（4），得（10）

（11）

易見，靜摩擦力的作用：一方面使小球質心的平動加速，另一方面使小球繞其質心軸的轉動減速．

若斜面2變?yōu)樗矫?，小球做無滑滾動，如圖4所示；那么，此時小球受靜摩擦力否？

為此，只需令式（11）中的，得（12）

（13）

（14）

xyo圖4小球沿水平面滾動時受力圖式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做無滑滾動時，不受靜摩擦力的作用；小球的質心勻速平動（相對水平面——慣性系），小球繞其質心軸勻速轉動；即小球的運動狀態(tài)（平動、轉動狀態(tài)）保持不變．3.2能量分析

若從能量觀（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量轉化．如圖2所示，依剛體平面平行運動的能量方程（平動能量方程、轉動能量方程）、無滑滾動方程[7]，有（15）

（16）

（17）

其中為小球滾下高時質心的位移．由式（15）～（17）、（4），得進而（18）

（19）

（20）

式（19）、（20）表示了小球從靜止開始沿斜面1質心下降高時的平動動能和轉動動能的量值．綜合式（15）、（16）、（19）、（20）可知：重力的作用是使小球質心的平動動能增大；而靜摩擦力的作用一方面使小球質心的平動動能減小，另一面使小球繞其質心軸的轉動動能增加，且減小的量值與增加的量值相等．因此，靜摩擦力不耗損機械能，僅起把平動動能轉化成轉動動能的作用．

同理，對小球沿斜面2上滾，即圖3所示情形．可知：小球沿斜面2可上滾到相同的高度；重力的作用是使小球質心的平動動能減小，靜摩擦力的作用是使小球繞其質心軸的轉動動能轉化成小球質心的平動動能．

對小球沿水平面做無滑滾動，即圖4所示情形．因不受靜摩擦力的作用，故小球的平動動能和轉動動能不再相互轉化，而各自保持不變．4結論

上述分析表明：正因為小球受到靜摩擦力、的作用才使小球沿斜面下滾、上滾；小球只受靜摩擦力作用時，可上滾至相同的高度．因此，籠統(tǒng)解釋——小球不受摩擦時可上滾至相同的高度顯得不妥；籠統(tǒng)解釋僅適用于小球沿水平面滾動的情形．

然而，對上述真實的伽利略斜面實驗，由于小球、斜面和水平面不是理想的剛體，所以小球還受到一定的滾動摩擦力矩的作用，從而使小球不再沿斜面上滾至原來的高度或沿水平面一直滾動下去；同時伴隨著機械能向內能的轉化．5教學建議

一般，滾動摩擦遠小于滑動摩擦；正因為如此，通常用小球來做伽利略斜面實驗；但在一定條件下，小球可以沿導軌斜面做無滑滾動，這又不得不將小球視作剛體；而剛體的平面平行運動的內容在基礎物理教材中又不涉及或普通物理教材中又未及時返回來探討，這大概就是以上籠統(tǒng)解釋的原因．

由上述分析知，只有運用剛體平面平行運動的動力學方程、能量方程才可將伽利略斜面實驗中小球的受力、運動狀態(tài)、能量轉化清晰地明確；這與原本打算用質點模型來說明慣性定律的初衷相背離，使問題復雜化，從而很難獲得清楚的解釋．因此，建議在教學中宜采用質點模型的伽利略斜面實驗；這就要求運用現有的氣墊導軌裝置或較粗糙的小車、斜平面裝置，或有待新開發(fā)、設計的其它實驗裝置．參考文獻：[1]物理（高級中學課本（必修），第一冊，第2版）[M]．北京：人民教育出版社，1995．80～81．[2]物理（全日制普通高級中學教科書（必修），第一冊）[M]．北京：人民教育出版社，2003．45～46．[3]郭奕玲，沈慧君．物理學史[M]．北京：清華大學出版社1993．14～

17，23～25．[4]陶洪．物理實驗論[M]．南寧：廣西教育出版社，1996．49～50．[5]漆安慎，杜嬋英．力學基礎[M]．北京：高等教育出版社，1982．

324～326．[6]趙凱華，羅蔚茵．新概念物理教程·力學（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2004．41～43，181～187．[7]KleppnerD，KolenkowRJ．力學引論[M]．寧遠源，劉愛暉譯．北京：人民教育出版社，1980．314～327．[8]周衍柏．理論力學（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1986．

200～204．AnalyzingGalileo’sexperimentontheinclinedplaneHEShu-ping(CollegeofPhysicsandElectronicsEngineering，NorthwestNormalUniversity，Lanzhou，730070，China)

Abstract：ThespheruleinGalileo’sexperimentontheinclinedplaneisanalyzedmechanicallyinrelativedetail,itsactedforces,stateofmotionandenergytransformationareshowedclearly,andrelevantblurrycognitionsareclarified；asaresultcorrespo