空間幾何體的表面積與體積檢測題

空間幾何體的表面積與體積檢測題(試卷滿分100分，考試時間60分鐘)、選擇題(每小題5分，共40分).已知圓錐的高為3,底面半徑長為4.若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則該TOC\o"1-5"\h\z球的半徑長為( )A.5 B.平C.9 D.3解析：選B二?圓錐的底面半徑R=4,高h(yuǎn)=3,???圓錐的母線1=5,.??圓錐的側(cè)面積S=#1=20兀設(shè)球的半徑為r,則442=20兀，「?r=45.故選B.2.已知一個三棱錐的所有棱長都為爽，四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則此球的表面積為( )A.3兀 B.4兀C.3、/3兀 D.6兀解析：選A構(gòu)造棱長為1的正方體，如圖，則Ci-AiBD是各棱長為也的三棱錐，正方體的外接球也為三棱錐Ci-AiBD的外接球，此時球的直徑為正方體的體對角線長串,因此球的表面積為4%乎2=3兀則此幾何體的表面積為( )3.某幾何體三視圖如圖所示,則此幾何體的表面積為( )A.4兀+16 B.2(V2+2)計16C.4兀+8 D.2(V2+2)計8解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個棱長為 2的正方體和一個底面半徑為 加、高為1的圓柱的組合體，其表面積S表=5*22+2兀><V2X1+2ttX(42)2—22=2(J2+2)計16.故選B.4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA/底面ABC,ABXBC,AA1

=AC=2,直線AiC與側(cè)面AAiBiB所成的角為30°,則該三棱柱的側(cè)面積為（ ）A.4+4^2 B.4+4>/3C.12 D.8+4/2解析：選A連接AiB.因為AA」底面ABC,則AAiXBC,又ABXBC,AAiAAB=A,所以BCL平面AAiBiB,所以直線AiC與側(cè)面AAiBiB所成的角為/CAiB=30;又AAi=AC=2,所以AiC=2^/2,BC=42.又AB^BC,則AB=<2,則該三棱柱的側(cè)面積為2y2x2+2X2=4+4^,故選A.5.祖附I是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家，他提出的"哥勢既同，則積不容異“稱為祖附I原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式 V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示 （單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm3）是（ ）A.i58A.i58C.i82 D.324解析：選BC.i82 D.324解析：選B如圖，該柱體是一個五棱柱，棱柱的高為 6,底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為 4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下底為6,高為3.2+6 4+6則底面面積S=-2^X3+—2^X3=27,因此，該柱體的體積V=27X6=i62.6.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，△ABC是邊長為2的正三角形,若三棱錐S-ABC的體積的最大值為平,則球O的體積為（ ）A.45兀B.64兀9A.45兀B.64兀9C.256兀

8iD.32兀3解析：選C因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以Saabc=V3,因為三棱錐S-ABC的體積的最大值為羋，所以點(diǎn)S到平面ABC的最大距離為2,設(shè)4ABC的外接圓的半徑為3r,由正弦定理得2r=-2■京43±解得r=233.設(shè)球。的半徑為R,則R2=(2—R)2+3，解sino3得R=所以球O的體積為47TR3=256」故選c.3 3 817.已知表面積為12兀的圓柱的上下底面的中心分別為 Oi,O2.若過直線O1O27.已知表面積為圓柱所得的截面是正方形，則。1。2=( )B.2,；2D.：2B.2,；2D.：2；3解析：選B因為圓柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為 r,則母線長為2r,所以圓柱B.的表面積為2武2+2d2r=12兀，解得r=W，所以。1。2=2r=2\反，故選B.8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為36兀側(cè)視圖正視圖11237136兀側(cè)視圖正視圖112371C.32兀C.32兀解析：選B根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是個邊長為4的正方形，高是243.將該四棱錐補(bǔ)形成一個三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長為4的正三角形，高是4,該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球.二?三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，「?底面三角形的中心到該三角形三個頂點(diǎn)的距離為 2*243=半，???外接球的半徑R=3 3,外接球的表面積 S=4kR2=4tiX28=112-故選B.3 3二、填空題(每小題5分，共20分).已知一個高為1的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為 2的等邊三角形，則三棱

錐的表面積為,若三棱錐內(nèi)有一個體積為V的球，則V的最大值為.解析：該三棱錐側(cè)面的斜高為 3^13x^/32+12=233,則S側(cè)=3X；X2X233=2/3,1S底=2XJ3x2=y3,所以二棱錐的表面積 S表=243+<3=3J3.由題意知，當(dāng)球與二棱錐1的四個面都相切時，其體積最大.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為 r,則三棱錐的體積V錐=本3表r=1S底1,所以343r=。3,所以r=1,所以三棱錐內(nèi)的球的體積最大為 Vmax=443=鬻.TOC\o"1-5"\h\z3 ' ' 3 3 81答案：33黑.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為 40cm,母線長最短50cm,最長80cm,則斜截圓柱的側(cè)面面積S=cm2.解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱， 則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形. 由題意得所求側(cè)面展開圖的面積 S=_ _ .?2><（50+80）X（啟40）=2600兀（cm）.答案：2600兀.已知圓錐SO,過SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO,圓柱的下底面落在圓錐的底面上 （如圖），則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為.解析：設(shè)圓錐SO的底面半徑為r,高為h,則圓柱PO的底面半徑是r一4h 12 r2h力布 V圓柱po32,同為2，-v圓錐SO=371rh,v圓柱葭=兀22=-8一，.V7='8..母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于8f，則該圓錐的底面圓的半徑為,體積為.解析：設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為 r,高為h,?母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于黑.?.側(cè)面展開圖的弧長為5X18兀又弧長=底面周長，即8%=2兀r,，r=4,??.圓錐的高h(yuǎn)=^/52-42=3,.??圓錐的體積V=；XttX42X3=16%.3答案：416兀、綜合題（3個小題，共40分）

（12分）已知底面半徑為V3cm,母線長為V6cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn)，下底面為底面的圓錐后，求所得幾何體的表面積及體積.解：如圖所示，所得幾何體的表面積S=S底+S柱側(cè)+S錐側(cè)=（3+6W+3（12分）已知底面半徑為V3cm,母線長為V6cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn)，下底面為底面的圓錐后，求所得幾何體的表面積及體積.解：如圖所示，所得幾何體的表面積S=S底+S柱側(cè)+S錐側(cè)=（3+6W+3?。┴＃╟m）.所得幾何體的體積V=V柱一V錐=S底46—3S底擊=1s底乖=2乖兀（cm）.3（14分）如圖所示，用一個平行于圓錐 SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、卜底面的面積之比為1：16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺O'。的母線長.解：設(shè)圓臺O'O的母線長為1,由截得圓臺上、下底面的面積之比為 1：16,可設(shè)截得圓臺的上、下底面的半徑分別為 r,4r.過軸SO作截面，如圖所示..SA'O'A'則ASO'A's^SOA,SA'=3cm.故SAjOOA,則工=匚3+14r.解得1=9,故圓臺O'。的母線長為9cm.（14分）如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a,連接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D,得到一個三棱錐.求：（1）三棱錐A'-BC'D的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐A'-BC'D的體積.解：（1）;ABCD-A'B'C'D'是正方體，:'AB=A'C'=A'D=BC'=BD=C'D=72a,???三棱錐A'-BC'