2023年天津高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學(xué)第一卷一．選擇題:在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.本大題共8小題,每題5分，共40分.1．，，那么()A.B.C.D.【測(cè)量目標(biāo)】集合的根本運(yùn)算.【考查方式】考查了集合的表示法〔描述法〕、集合的交集運(yùn)算.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】先化簡(jiǎn)集合，再利用數(shù)軸進(jìn)行集合的交集運(yùn)算.由得,于是2．設(shè)變量x,y滿足約束條件那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為() A. B.C.1 D.2【測(cè)量目標(biāo)】二元線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值.【考查方式】給出約束條件，作出可行域，通過平移目標(biāo)函數(shù)，求可行域的最值.【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】作出可行域，平移直線，當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，有最小值,.第2題圖jxq563．閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,假設(shè)輸入x的值為1,那么輸出S的值為〔〕第3題圖jxq57A.64 B.73 C.512 D.585【測(cè)量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖.【考查方式】直接執(zhí)行程序框圖中的語句求值.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】，跳出循環(huán)，輸出.4．以下三個(gè)命題:①假設(shè)一個(gè)球的半徑縮小到原來的,那么其體積縮小到原來的;②假設(shè)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,那么它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等;③直線x+y+1=0與圓相切.其中真命題的序號(hào)是:〔〕A.①②③B.①②C.①③D.②③【測(cè)量目標(biāo)】球的體積，標(biāo)準(zhǔn)差，直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】給出三個(gè)命題運(yùn)用各個(gè)命題相關(guān)的知識(shí)判斷真假.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】命題①，設(shè)球的半徑為R，那么故體積縮小到原來的，命題正確；(步驟1)對(duì)于命題②，假設(shè)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，那么它們的標(biāo)準(zhǔn)差不一定相同，例如數(shù)據(jù)：1,3,5和3,3,3的平均數(shù)相同，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，命題不正確；〔步驟2〕對(duì)于命題③，圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以直線與圓相切，命題正確.(步驟3)5．雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).假設(shè)雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,那么p=〔〕A.1 B.C.2 D.3【測(cè)量目標(biāo)】三角形面積，雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考查方式】給出離心率及三角形面積，利用三角形面積公式，雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求值.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】由得，所以，解得，即漸近線方程為.〔步驟1〕而拋物線的方程為，于是，從而的面積為，可得.〔步驟2〕6．在ABC中,那么=〔〕A.B.C.D.【測(cè)量目標(biāo)】正弦定理，余弦定理.【考查方式】給出三角形中的的局部條件，利用正、余弦定理求正弦值.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】由余弦定理可得〔步驟1〕于是由正弦定理可得，于是.〔步驟2〕7．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔〕A.1 B.2 C.3 D.4【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)的判斷.【考查方式】給出函數(shù)解析式，結(jié)合圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】令，可得.設(shè)，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).第7題圖jxq588．函數(shù).設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A,假設(shè),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【測(cè)量目標(biāo)】解含參的一元二次不等式.【考查方式】利用絕對(duì)值不等式解含參的一元二次不等式.【難易程度】較難【參考答案】A【試題解析】，解得，可排除C，〔步驟1〕又，，.〔步驟2〕，.排除B,D.應(yīng)選A.〔步驟3〕第二卷二．填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分.9．a(chǎn),b,i是虛數(shù)單位.假設(shè)(a+i)(1+i)=bi,那么a+bi=.【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算.【考查方式】給出含復(fù)數(shù)的等式求值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】由(a+i)(1+i)=bi可得，因此，解得故10．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【測(cè)量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】給出二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng).【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】的展開通項(xiàng)為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.11．圓的極坐標(biāo)方程為,圓心為C,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,那么.【測(cè)量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程，兩點(diǎn)間的距離公式.【考查方式】給出極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P的極坐標(biāo)，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化及兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】由可得，即，因此圓心的直角坐標(biāo)為，又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，因此.12．在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點(diǎn).假設(shè),那么AB的長(zhǎng)為.【測(cè)量目標(biāo)】向量的線性運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.【考查方式】平行四邊形及局部條件，用向量表示，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算求值.【難易程度】簡(jiǎn)單【參考答案】【試題解析】用表示與，然后進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算.由得=，，=，〔步驟1〕∴.〔步驟2〕第12題圖jxq5913．如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD//AC.過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.假設(shè)AB=AC,AE=6,BD=5,那么線段CF的長(zhǎng)為.第13題圖jxq60【測(cè)量目標(biāo)】圓的切割線定理，三角形相似.【考查方式】直接利用圓的切割線定理及三角形相似求值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)锳E與圓相切，所以，所以，所以.〔步驟1〕又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，由切割線定理可得，于是，所以〔負(fù)值舍去〕，因此，〔步驟2〕又因?yàn)椋?，解?〔步驟3〕14．設(shè)a+b=2,,那么當(dāng)a=時(shí),取得最小值.【測(cè)量目標(biāo)】根本不等式求最值.【考查方式】去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用均值不等式求最值進(jìn)而求a的值.【難易程度】較難【參考答案】【試題解析】由于a+b=2，所以，〔步驟1〕由于，所以，因此當(dāng)時(shí)，的最小值是；〔步驟2〕當(dāng)時(shí)的最小值是，故的最小值為，此時(shí)，即.〔步驟3〕三．解答題:本大題共6小題,共80分.解容許寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15．(本小題總分值13分)函數(shù).(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性和最值.【考查方式】給出三角函數(shù)，利用其周期性和最值求值.【難易程度】容易【試題解析】(I)，故的最小正周期；〔步驟1〕(II)因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且，，，故在上的最大值為，最小值為.〔步驟2〕16．(本小題總分值13分)一個(gè)盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號(hào)分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4張卡片中,含有編號(hào)為3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【測(cè)量目標(biāo)】古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型的概率公式結(jié)合計(jì)數(shù)原理求概率，進(jìn)而求分布列及期望.【難易程度】中等【試題解析】(I)記“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片〞為事件，那么，故所求概率為；〔步驟1〕(II)的所有可能取值為.，，，.故的分布列如下表是：1234〔步驟2〕其期望.〔步驟3〕17．(本小題總分值13分)如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).第17題圖jxq61【測(cè)量目標(biāo)】?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，二面角，線面角，空間向量的應(yīng)用.【考查方式】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明及求值.【難易程度】中等【試題解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，.(I)易得，，故，因此；〔步驟1〕(II)，設(shè)是平面的法向量，那么，得，取可得平面的一個(gè)法向量.〔步驟2〕由(I)，又，故平面，知為平面的一個(gè)法向量.〔步驟3〕故，知，所以所求二面角的正弦值為；〔步驟4〕(III)，，設(shè)，那么.〔步驟5〕取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為與平面所成的角，那么.于是，解得〔負(fù)值舍去〕，〔步驟6〕所以.〔步驟7〕第17題圖1jxq6218．(本小題總分值13分)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).假設(shè)＋＋,求的值.【測(cè)量目標(biāo)】橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.【考查方式】利用直線的定義和直線的位置關(guān)系求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線的方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，運(yùn)用方程求直線的斜率.【難易程度】中等【試題解析】(I)設(shè)，用，知.〔步驟1〕過點(diǎn)且與軸垂直的直線為，代入橢圓的方程有，解得，于是，解得.〔步驟2〕又，從而，所以橢圓的方程為.〔步驟3〕(II)設(shè)點(diǎn)，，由得直線的方程為，由方程組消去，整理得求解可得，〔步驟4〕因?yàn)?，所以?〔步驟5〕由得，解得.〔步驟6〕19．(本小題總分值14分)首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.【測(cè)量目標(biāo)】等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，前項(xiàng)和.【考查方式】利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求通項(xiàng)及前項(xiàng)和，分類討論并利用單調(diào)性判斷最值.【難易程度】中等【試題解析】設(shè)的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列.所以，即，故.〔步驟1〕又不是遞減數(shù)列，且，故，故等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為〔步驟2〕(II)由(I)得，〔步驟3〕當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，故，故.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而增大，故，故.綜上，的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.〔步驟4〕20．(本小題總分值14分)函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:對(duì)任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為,證明:當(dāng)時(shí),有.【測(cè)量目標(biāo)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，直接證明.【考查方式】給出函數(shù)方程，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)證明等式，