高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精講課前準(zhǔn)備+課堂活動(dòng)小結(jié)+課后

學(xué)案18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 g±a,兀為的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin2x+cos2x=1,sn±=tanx.cosx課前準(zhǔn)備區(qū)巴扣教材夯實(shí)基砒課前準(zhǔn)備區(qū)巴扣教材夯實(shí)基砒【自主梳理：.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【自主梳理：.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系： (2)商數(shù)關(guān)系： .誘導(dǎo)公式(1)sin(訃2knt戶Z.,cos(a+2knt并,tan(a+2knt并kC(2)sin(+兀a(2)sin(+兀a)=(3)sin(—0=(4)sin(—兀a)=兀(5)sin2—"=(6)sin2+"=,cos(#o)=,cos(—o)=,cos(付o)=兀,cos2■一a=一匕,cos2十a(chǎn)=tan(卡o)=tan(—o)=,tan(關(guān)力=3.誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為:3.誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為:上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法.【自我檢測：(2010?全)cos300°,3A.-2C1C.2(2009陜西)若3sin(2010?全)cos300°,3A.-2C1C.2(2009陜西)若3sin“+cosa=0B.—D顯2110A-32C.3cos2a+sin2a5B.3D.—2的值為(2010福建龍巖一中高三第三次月考)a是第一■象限角，tana=3,則sin”等于(B.3B.3D--5A454C--517 174.cos(——^)-sin(--nt的值是A..2

C.0兀2 . 2兀5.(2011清遠(yuǎn)月考)已知COS1一°)=3，則sin("一-3)=謖堂活動(dòng)區(qū)突破考點(diǎn)蝌析熱點(diǎn)謖堂活動(dòng)區(qū)突破考點(diǎn)蝌析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡、求值陟M】已知一?x<0,sinx+cosx=2 5⑴求sin+sin2a+cos3*25+a-sin+sin2a+cos3*25+a-sin2尹a探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用(2)求?！竌nX的值.2sinx+cosx變式遷移1已知sin(3#a)=2sin3^a,求下列各式的值.⑴Sinl4co⑴求sinAcosA;(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；⑴求sinAcosA;(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；⑶求tanA的值.5Sina+2cosa探究點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡、求值陟^2](2011合肥卞II擬)已知sin升2=—普，衣(0,nt)sina-2-cos3^+a⑴求 2 2——的值；sin兀一a+cos3兀+a(2)求cos2a-芋的值.變式遷移2設(shè)f(a)=(1+2sin并0),則f_23it2sin兀+acos?！猘—cos(1+2sin并0),則f_23it滲透數(shù)學(xué)忠烈轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用【例】(12分)已知“是三角形的內(nèi)角，且sina+cosa=工5(1)求tana的值；1(2)把cos2———2T用tan"表不出來'并求其值.1【多角度審題】由sina+cosa=5應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2a+cos2a=1,要求tana,應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出

【答題模板】sina,cosa切化弦，所以只要求出

【答題模板】sina,cosa即可.解(1)解(1)聯(lián)立方程sin2a+cos2a=1, ②由①得cosa=7—sin5a,由①得cosa=7—sin5a,將其代入②，整理得25sin2a—5sina-12=0.［2分］I一…一 4 3.「a「角形的內(nèi)角，，sin片5cosl飛, 4rc八、"tana=一a.［6分］3sin2a+cos2aI2asin2a+cos2aI2asin2a+cos2acos2a tan2a+1―2 2-=—2 2-= 2-，［8分］cos2a—sin2acos2a—sin2a1—tan2a4tana=一23cos2atan2a+1cos2a—sin2a1—tan2-［10分］a32+132+11--3225八y.［12分］【突破思維障礙】由sina+cosa=及【突破思維障礙】由sina+cosa=及sin2a+cos2a=15cosoc(1)問切化弦即可求.(2)問應(yīng)弦化切，【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在求解sina,cosa的過程中，若消去聯(lián)立方程組，利用角 a的范圍，應(yīng)先求sina再求這時(shí)應(yīng)注意1”的活用.cosa得到關(guān)于sina的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)a角的范圍舍去一個(gè)解，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解.?課堂小結(jié).由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍..注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運(yùn)算，慎重確定符號(hào).注意 1”的靈活代換..應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷.逐后統(tǒng)司區(qū)、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2011荊州模擬)已知△ABC中,12A石C.513(滿分：75分)0=一絲則sinA55B.1312D--13cosA等于)1A.5C.213已知tana512a為第D.限角，則sin3.(2011許昌月考)已知f(a)=sin兀一acos2兀一cos一兀一atan1A.21B--3C.13aa1一2- 31f(—31nt的值為4.設(shè)f(x)=asin(研o)+bcos(x+亂其中a、b、f(2O'1

D.33都是非零實(shí)數(shù)，若f(2002)=—003))A.-15.(2010全國IA^2kkB.0)記cos(—80)=k,C.1那么tan100等于D.26.B--kk7.一， …，一 1(2010全國n)已知a是第二象限的角，tana=—2,則cosa=sin210+sin220+sin23°+…+sin289°= .8.(2010東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試 )若tana=2,sina+cosa9貝U +cosa=sina—cosa三、解答題(共38分)sin兀-acos2?！猘tan——兀9.(12分)已知f(a)= rZ-' ' '， —tan-a—兀sin一兀一a(1)化簡f(a)；(2)若a是第三象限角，且cos(a—37)=1,求f(a)的值.2 5t,一sink兀-acos[k-1兀-，10.(12分)化間：sin[k+1兀+a]coskTt+a(kCZ).11.(14分)(2011秦皇島模擬)已知sin0,cos。是關(guān)于x的方程x2—ax+a=0(aCR)的兩個(gè)根.(1)求cos3(L0)+sin3(2一@的值；1j(2)求tan(無?—由飛的值?答案自主梳理1.(1)sin2a+cos2a=1 (2)sin0c=tana2.(1)sinacosatana(2)—sina—cosatana(3)—sinqcos5—tan5(4)sin5—cosq—tana(5)cosasina(6)cosa—sina自我檢測C[cos300=cos(360-60)=cos60=].]A[.3sina+cosa=0,sin2a+cos2a=1,.sin2a=110, 1 cos2a+sin2acos2a+2sina,一3sina=^=W]—7sin2a 3B17 、 .， 17 、 ，,兀 兀 兀 兀 兀A[cos(——n兀Asin(——兀$cos(—4兀一[)—sin(—4兀一[)=cos(—4)—sin(—4)=coq+sin4=亞]2-3解析sin(a-舄=-si”,—3兀=-兀=-cos(6一課堂活動(dòng)區(qū)陟1口解題導(dǎo)引學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa課堂活動(dòng)區(qū)陟1口解題導(dǎo)引學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，就可以求出其余二式的值,的判斷.但要注意對(duì)符號(hào)… ,. 1『解由sinx+cosx=一得,51+1+2sinxcosx=25,皿 242sinxcosx=—25.—2<x<0,..sinx<0,cosx>0,即sinx—cosx<0.

貝Usinx—cosx24 7+—=——25 5.sin24 7+—=——25 5.725.⑴sin2x—cos2725.=5*sinx+cosx=15(2)(2)由sinx—cosx=一3sinx=~~53sinx=~~54cosx=~5tanx=-3.4即qan/即qan/—2sinx+cosx—5+534 154=8.變式遷移1解變式遷移1解.sin(3#a)=2sin3^+a??一sina=12cosoc..sina=2cosa,即tana=2.方法（直接代入法）:⑴原式=2cosa—4cosa5x2cosa+2cosa16.（2）原式=sin2a+2sinacosa sin方法（直接代入法）:⑴原式=2cosa—4cosa5x2cosa+2cosa16.（2）原式=sin2a+2sinacosa sin2a+sin2asin2a+cos2a2 1 2sin2a+[sin2a85.方法（同除轉(zhuǎn)化法）:tana—4⑴原式=5tana+22tana—4⑴原式=5tana+22—45X2+26-(2)原式=sin2a+2sinocosasin2a+2sinocosatan2a+2tana8sin2 cos2a tan2 1 5陟^21陟^21解題導(dǎo)引三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律:k■2兀+”的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把a(bǔ)看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟： （1）負(fù)角變正角，再寫成2k兀+a,0<a<2萬（2）轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).解⑴「sin"+2=—￥，代(0,,5 .經(jīng)?cosa=一「，sina=..5 5

sinl2-cos￥+" -cosa—sinasin兀一a+sinl2-cos￥+" -cosa—sinasin兀一a+cos3兀+asina—cos民13.(2).cosa=一害,sina=攣

5 5.sin2a=—7,5cos2a=一5cos2a—1TOC\o"1-5"\h\z2 .'2 2cos2a—12cos2a+sin2a=一而.變式遷移2 3一2sina—cosa+cosa解析 -f(o)= 2 2一1+sin2a+sina—cos2a2sinocosa+cosacosa1+2sina12sin2a+sinf23%2sin2a+sinf23%__ssina1+2sinatana，tan123兀兀tan—4時(shí)6陟^3】解題導(dǎo)引6'=V3.兀Ytan-6先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件， 再利用平方關(guān)系求得cosA.求角時(shí),ABC用結(jié)論有：a+b=lc；2+2+2=2.sinA=M2sinB,⑴當(dāng)cosA=,cosB=g又A、BABC用結(jié)論有：a+b=lc；2+2+2=2.sinA=M2sinB,⑴當(dāng)cosA=,cosB=g又A、B是三角形的內(nèi)角,兀 兀.yB=6，(2)當(dāng)cosA=C=?！?a+b)=12兀.~2-時(shí)，cosB=--2-.又A、B是三角形的內(nèi)角,綜上知,B=56A 兀A=4,兀，不合題意.clc7B=6'C=12兀般先求出該角的某一三角函數(shù)值， 再確定該角的范圍，最后求角.誘導(dǎo)公式在三角形中常解由已知得5cosA=/cosB,②①2+②2得2cos2A=1,即cosA=±!22.- 1變式遷移3解(1),.sinA+cosA=-①變式遷移5，一，一，r 1??.兩邊平萬得〔+所AcosA=25,12.sinAcosA=—n_.25(2)由(1)sinAcosA=—(2)由(1)sinAcosA=—12 125<0，且0"<兀，可知cosA<0,，A為鈍角,二?ABC為鈍角三角形.2 49.(sinA—cosA)2=1—2sinAcosA=25.,又sinA>0,cosA<0,「sinA—cosA>0,.sinA—cosA=7，②，由①,②得sinA=4,cosA=—3,5 5,“sinA 4.tanA= 可知cosA<0,，A為鈍角,二?ABC為鈍角三角形.2 49.(sinA—cosA)2=1—2sinAcosA=25.,又sinA>0,cosA<0,「sinA—cosA>0,.sinA—cosA=7，②，由①,②得sinA=4,cosA=—3,5 5,“sinA 4.tanA= -=—-.cosA 3課后練習(xí)區(qū)D[.A為AABC中的角，翼/=一今,sina55 ，，，6.sinA=—i2cosA,A為鈍角，，cosA<0.代入sin2A+cos2A=1,求得cosA=一~.]135C［已知tan“=--,且“為第二象限角,有cosC1 12也N, 5a=- / ~=— 所以sina=dq.].1+tan2a 13 13sinocosa 31、[.f(a)= =—cosa,-.f(——nt)一cosdana 3,31 、 “c氏 兀1、-cos(-ynt>-cos(10+3)=-cos3=—2.]C[.f(2002)=asin(2002+兀力+bcos(2002-Hi)=asina+bcos3=-1,.f(2003)=asin(2003+訊bcos(2003+例=asin[2002+(#4]+bcos[2002+#兀+陰=asin(-Hr?+bcos(七四=一(asina+bcos就=1.]B[,.cos(-80)=cos80=k,sin80=\1-cos280°=，1-k2.-tan100-tan80-k.]1解析.tana=—2,又.sin2a+cos2a=1,sina

cosa12'a是第二象限的角,?cos897.2解析a=一c.5sin21+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22+…+sin245+…+sin2(90°—2°)+sin2(90-1)

=sin21+sin22°+…+岑2+…+cos220+cos21c c c c c c 1 1 89=（sin21+cos21）+（sin22+cos22）+…+（sin244+cos244）+]=44+2=萬.cos2a

sincos2a

sin2a+cos2a解析tana+1解析原式= +tana—1=3+1=3+1tan2a+1165.sin兀一acos2atan—兀9.解（1）f（力= ： ； —tan-a—兀sin一兀一asinocosa—tan5=tan閭na=-cos1 （5分）(2)a是第三象限角，且cos(a—第=—sina=(,-sina=一15'（8?分）-cosa=一—sina=一1--522、65，.f（②=_cosa=5.-sina=一15'（8?分）-cosa=一—sina=一1--522、65，.f（②=_cosa=5.（12吩）10.解當(dāng)k為偶數(shù)2n（nCZ）時(shí)，sin2n兀一acos