《金新學案》高考數(shù)學總復習 3.3等比數(shù)列 文 大綱人教

第3課時等比數(shù)列1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從

起，每一項與它的

的比等于

常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．(2)等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝

.第2項前一項同一個公比qa1qn－11．等比數(shù)列{an}中a5＝4，則a2·a8等于(

)A．4

B．8C．16D．32答案：

C2．(2010·重慶卷)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2B．3C．4D．8答案：

A答案：

C答案：

155．(2010·福建卷)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________.解析：∵等比數(shù)列{an}的前3項之和為21，公比q＝4，不妨設首項為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.答案：

4n－1(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．[注意]

(1)前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定．(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比即可．[變式訓練]

1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N．求證：數(shù)列{an＋1}從第二項起是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式．證明：由Sn＋1＝2Sn＋n＋1①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1(n≥2)．又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝2(n≥2)．故數(shù)列{an＋1}從第二項起，是以a2＋1為首項，公比為2的等比數(shù)列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以a2＝3.故an＝4×2n－2－1＝2n－1(n≥2)又a1＝1不滿足an＝2n－1，所以an＝.

等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算的過程．[注意]在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．2010·江蘇蘇州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1(n∈N)．(1)若{an}是等差數(shù)列，且b3＝12，求a的值及{an}的通項公式；(2)若{an}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項和Sn；[變式訓練]

2.設等比數(shù)列{an}的公比q＜1，前n項和為Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求數(shù)列{an}的通項公式．等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比．關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時也有利于類比思想的推廣．對于等差數(shù)列項的和或等比數(shù)列項的積的運算，若能關(guān)注通項公式an＝f(n)的下標n的大小關(guān)系，可簡化題目的運算．(2)由題意知Sn＝X，S2n＝Y(jié)，S3n＝Z.又∵{an}是等比數(shù)列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n為等比數(shù)列，即X，Y－X，Z－Y為等比數(shù)列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴選D.答案：

(1)A

(2)D[變式訓練]

3.(1)(2010·北京卷)在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m＝(

)A．9B．10C．11D．12(2)設數(shù)列{an}，{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn，Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項和，且，則logb5a5＝________.等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數(shù)列中的有關(guān)計算、討論等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)的問題的基礎和出發(fā)點．(1)確定等比數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項a1和公比q.(2)在等比數(shù)列通項公式和前n項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．(3)等比數(shù)列求和公式的推導的思想可用于等比數(shù)列與等差數(shù)列對應項之積構(gòu)成的數(shù)列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數(shù)列的前n項和．(4)在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．(5)等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：①若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；②若{an}是等比數(shù)列，且an＞0，則{lgan}構(gòu)成等差數(shù)列．通過對近三年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出，本節(jié)命題的規(guī)律總結(jié)如下：1．考查熱點：等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．2．考查形式：多以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常以解答題的形式出現(xiàn)．3．考查角度：一是對等比數(shù)列定義的考查，多以證明題的形式出現(xiàn)．二是對等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式的考查，涉及到五個量a1、an、Sn、n、q，可知三求二．是方程思想的基本運用．三是對等比數(shù)列的性質(zhì)的考查，解題時要充分利用基本量思想得到方程或不等式，然后針對結(jié)構(gòu)特點，恰當選擇運算的技巧．4．命題趨勢：等比數(shù)列的基本量運算和性質(zhì)的應用，同時加強運算能力的考查．答案：

C[閱后報告]本題考查了等比數(shù)列的基本運算及性質(zhì)，解答本題難點在計算q的值出錯，不知把1－q6表示為(1－q3)(1＋q3)．2．(2010·江西卷)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an＝(

)A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0