北京四中七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 4.3 角(基礎(chǔ))知識(shí)講解 新人教版

角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；借助三角尺畫(huà)一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6．了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角397364角的概念】要點(diǎn)一、角的概念1．角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、OB.（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.如圖2所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.BOA圖1圖2A(B)周角平角BOA圖1圖2A(B)周角平角2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“Z”表示，角的表示法通常有以下四種:淪r圖示"$記法1適用范圍壽（1）用三個(gè)大寫(xiě)字母表示上0B2LA0B或ABOA任何情況都適用，表示頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在中間（2）用一個(gè)大寫(xiě)字母表示丄OLO以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)，可以用頂點(diǎn)表示角（3）用阿拉伯?dāng)?shù)字表示Z1任何情況誹適用（4）用希臘字母表示/乙a任何情況都適用要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母．角的畫(huà)法（1）用三角板可以畫(huà)出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角．要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°11的石為1分，記作“1‘”，1’的為為1秒，記作“1〃”.這種以度、分、秒為單位的角6060的度量制，叫做角度制．1周角=360°,1平角=180°,1°=60‘，1'=60〃.要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較ZAOB和ZA’0’B’的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得ZA0BVZA’0’B’；由圖⑵可得ZA0B=ZAz0’B’；由圖（3）可得ZA0B>ZAz0’B’.角的和、差關(guān)系如圖所示，ZAOB是Z1與Z2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；Z1是ZAOB與Z2的差,記作：Z1=ZAOB-Z2.要點(diǎn)詮釋：（1）用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，0C是ZAOB的角平分線，ZA0B=2ZA0C=2ZB0C,1ZAOC=ZBOC二一ZAOB.2要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)（1）等角的余角相等．（2）等角的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋：（1）互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．（2）一般地，銳角a的余角可以表示為（90°-a），一個(gè)角a的補(bǔ)角可以表示為（180°-a）.顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：(1)正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；(2)方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”；在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；圖中的點(diǎn)0是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以0為端點(diǎn).要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【典型例題】類(lèi)型一、角的概念及表示1?下列語(yǔ)句正確的是()兩條直線相交，組成的圖形叫做角.兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角.兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角.過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素，即兩條射線間的相對(duì)位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要區(qū)別.舉一反三：【變式】判斷下列說(shuō)法是否正確TOC\o"1-5"\h\z兩條射線組成的圖形叫做角()平角是一條直線()周角是一條射線()【答案】(1)X(2)X(3)X▼2.寫(xiě)出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；2)以B為頂點(diǎn)的角；(3)圖中共有幾個(gè)角(小于180°).【答案與解析】解：(1)能用一個(gè)字母表示的角ZA.ZC.以B為頂點(diǎn)的角ZABE、ZABC、ZCBE.圖中共有7個(gè)角.【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示；(2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角.類(lèi)型二、角度制的換算

a3.⑴把25.72。分別用度、分、秒表示⑵把45°12’30〃化成度【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72°中含有兩部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)題中，45°12’30〃含有三部分45°，12’和30〃，其中45°已經(jīng)是度，只要把12’和30〃化成度即可．【答案與解析】解：(1)0.72°=0.72X60’=43.2‘，0.2’=0.2X60〃=12〃，所以25.72°=25°43’12〃.⑵30⑵30〃=30x(丄］=0.5',160丿12.5'=12.5x(—丿。?0.21160丿(2)33°24’36〃=33°+24’+36X丄丿'<60丿(2)33°24’36〃=33°+24’+36X丄丿'<60丿=33°+24’+0.6’總結(jié)升華】無(wú)論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)進(jìn)行，“越級(jí)”化單位容易出錯(cuò).舉一反三：【變式】把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；把33°24’36〃轉(zhuǎn)化成度表示的形式．【答案】(1)26.29°=26°+0.29°=26°+0.29X60’=26°+17.4’=26°+17’+0.4X60〃=26°17’+24〃=26°17’24〃(1\丄O=33°+24.6’=33°+24.6X一=33.41°160丿總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。類(lèi)型四、角的比較與運(yùn)算仇?不用量角器，比較圖1和圖2中角的大小.(用“〉”連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角Za、Z|3均為銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的Za向ZB平移，讓Za與ZB始邊重合，觀察終邊的位置來(lái)比較角的大小.圖2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)，Z1為銳角，Z2為直角，Z3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來(lái).【答案與解析】解:(1)如圖所示，將Za平移使Za的始邊與ZB的始邊重合，發(fā)現(xiàn)Za落在ZB內(nèi)部，因此ZB>Za.(2)由圖可知Z1是銳角，Z1V9O°,Z2是直角，即Z2=90°,Z3是鈍角，即90°<Z3V180。，因此Z3>Z2>Z1.【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類(lèi)，由圖形觀察角的不同分類(lèi)，按照常見(jiàn)的銳角V直角V鈍角V平角V周角來(lái)比較大小.舉一反三：【變式】已知ZAOB(如圖所示)，畫(huà)一個(gè)角等于這個(gè)角.【答案】作法：(1)以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；畫(huà)一條射線OzA',以點(diǎn)0’為圓心，0C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧1,交0zA'于點(diǎn)C'；以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧1于點(diǎn)D'；過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線0’B',則ZA’0’Bz=ZA0B.如圖所示，已知0C平分ZB0D，且ZB0C=20°,0B是ZA0D的平分線，求ZA0D的度數(shù)．答案與解析】解：因?yàn)?C平分ZB0D，且ZB0C=20°,所以ZB0D=2ZB0C=2X20°=40°.又0B是ZA0D的平分線，所以ZA0D=2ZB0D=2X40°=80°.【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若0B是ZA0C的平分線，則①ZA0B=Z1B0C=2ZA0C:②ZA0C=2ZA0B=2ZB0C,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用.【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例3】舉一反三：【變式】已知：如圖，0M是ZA0B的平分線，0N是ZB0C的平分線，ZA0C=80,求：ZM0N.

【答案】TOM平分ZAOB,ON平分ZCOB,11.\ZMOB=2ZAOB,ZBON=-ZBOC.(角平分線的定義)111.??ZMON=ZMOB+ZBON1112ZAOB+2ZBOC=2(ZAOB+ZBOC)11=2ZAOC=2x80O=40°-即ZMON=40°.類(lèi)型五、余角和補(bǔ)角高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例1】Os已知角Os已知角.的余角比角.的補(bǔ)角的3還少20°,求角a的余角?！敬鸢概c解析】解：由題意可得：角a的余角為（90°-a）,補(bǔ)角為（180°-a），于是得：190°-a=3（180-a）-20°，解得：a=75°90°-a=90-75°=15°答：角a的余角為15°.【總結(jié)升華】此題的關(guān)鍵是掌握互為余角、補(bǔ)角的定義,然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句列出方程或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).7.A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是（）A.南偏東60°B.南偏西60°C.南偏東30°D.南偏西30°【答案】D【解析】依題意畫(huà)出示意圖.由圖可知，圖中Z1即表示從A看B的北偏東30°，Z2是從B看A的方位角.由此可確定從B看A是南偏西30°.【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來(lái)看，從A看B與從B看A正好是一對(duì)對(duì)立的觀察過(guò)程,其方向是一種“相反”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測(cè)量出來(lái)．舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的方向．【答案】北偏西30°類(lèi)型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題&計(jì)算：4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角.【答案與解析】解法一：如圖(1),設(shè)4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為Za(注：夾角指小于180°的角)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：30°X4+0.5°X15,分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：6°X15,所以Za=30°X4+0.5°X15-6°X15=37.5°.解法二：如圖(1),ZA0C=30°X1=30°,ZB0C=0.5°X15=7.5所以ZAOB=37.5°.即4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為37.5°【總結(jié)升華】求鐘表中