北師大版九年級下冊第一章++直角三角形的邊角關(guān)系復(fù)習(xí)學(xué)案(無答案)2

第第頁共10頁第一章直角三角形的邊角關(guān)系§1.1從梯子的傾斜程度談起(一)一.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、三角函數(shù)定義：sinA="的對邊cosA=tanA=斜邊2、特殊角的三角函數(shù)值:30°:sin30°=，cos30°=,tan30°=45°:sin45°=，cos45°=,tan45°=，60°:sin60°=，cos60°=__，tan60°=，3、三角函數(shù)公式：同角三角函數(shù)間的關(guān)系：①sin(90°—A)=cosA；cos(90°—A)=sinA;②sin2A+cos2A.*sinAtanA一cosA互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系：①sinA=cosBcosA=sinB②tanA?tanB=1Sin2A+sin2B=1cos2A+cos2B=1銳角三角形的增減性：當(dāng)角A是銳角時(shí)，tanA隨ZA的增大而增大，sinA隨ZA的增大而增大，cosA隨ZA的增大而減小。4、在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)因素，即3條邊和2個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素(兩邊或者一邊一銳角)，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形hC;cosA的值越大，梯子坡度與坡角的定義：i=htana=i=hhC;cosA的值越大，梯子'-11Al6、tanA的值越大，梯子；sinA的值越大，梯子7、總結(jié):銳角三角函數(shù)的定義.銳角A的,,都叫做ZA的三角函數(shù).定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定義的,ZA是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形).sinA,cosA,tanA,是一個(gè)完整的符號(hào)，表示ZA,習(xí)慣省去“Z”號(hào)；sinA,cosA,tanA，是一個(gè)比值.注意比的順序，且sinA,cosA,tanA,均〉0,無單位.sinA,cosA,tanA,的大小只與ZA的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個(gè)銳角相等.

8、三角函數(shù)在實(shí)際問題中一般解題步驟:（1）根據(jù)實(shí)際問題建模，構(gòu)造直角三角形（2）利用定義公式將題目信息轉(zhuǎn)化為用三角函數(shù)表示的式子（3）找出各條件之間的內(nèi)在聯(lián)系（4）將所求問題轉(zhuǎn)化為用已知條件表示的式子，再利用三角函數(shù)求值。二、典型例題與分析例1：如圖是甲，乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡?為什么？跟蹤練習(xí)1、在RtAABC中，銳角A的對邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍,tanA的值（）A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定2、已知ZA,ZB為銳角（1）若ZA=ZB,則tanAtanB;（2）若tanA=tanB,則ZAZB.例2：在厶ABC中，ZC=90°,BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.3、補(bǔ)充:在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10,求tanB.拓展訓(xùn)練例3如圖，RtAABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD,求DB的長.（結(jié)果保留根號(hào)）

中考鏈接1：若某人沿坡度i=3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高米2、菱形的兩條對角線分別是16和12?較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為8，則tan0=,跟蹤練習(xí)：1.如圖，已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m,ZB=40,則直角邊BC的長是（）0A.msin40B.mcos40C.mtan40D.mtan40如圖，ZC=90°CD丄AB?SinB=占=占=占若BD=6,CD=12.求cosA的值.-tan450在等腰厶ABC中,AB=AC=13,BC=10,求-tan450二、典型例題（三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算）例1:sin300+cos450cos600+tan600sin600cos600+tan600aa已知sin(2+100)=cos(-3+200)求銳角a的度數(shù)計(jì)算sin2l0+sin220+sin2450+sin2880+sin2890求sin2440+sin2460+tan530?tan370的值（3）5tan230。一、3sin600一2cos450.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值例2：已知A為銳角，sinA=1，求角A的其他三角函數(shù)值。練習(xí)：在直角三角形ABC練習(xí)：在直角三角形ABC中，ZC=900，且sinA=2，求tanA和cosA的值。構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值3例：在直角三角形ABC中，ZC=900,sinB=5，點(diǎn)D在BC邊上，且ZADC=450,DC=6,求ZBAD的正切值。練習(xí)：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC?若AB=2BC,試求sinB和tanB?2、在三角形ABC中，ZB=600,ZC=450?AB=2J3,求sinZBAC的值。利用三角函數(shù)求線段長03例：在三角形ABC中，NC=90°,點(diǎn)D在BC邊上，BD=6,AD=BC,cosNADC=5，求CD的長。練習(xí)：在三角形ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosNDAC⑴求證AC=BD12⑵若sinC=13,BC=12,求AD的長。三角函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用例：已知三角形ABC中，NA、ZB、ZC的對邊分別是abc,關(guān)于x的一元二次方程a(l-x2)+2bx+c(l+x2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且3c=a+3b(1)判斷三角形的形狀⑵求sinA+sinB的值⑶已知三角形ABC中，NA、ZB、NC的對邊分別是abc，滿足(2b)2=4(c+a)(c-a)且有5a-3c=0,求A+sinB的值

測量物體的高度(1)—知識(shí)要點(diǎn)解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些邊和角求未知的邊和角叫做解直角三角形.解直角三角形的類型：已知一邊，一銳角；已知兩邊.解直角三角形的公式：三邊關(guān)系：a2+b2=c2,角關(guān)系：ZA+ZB=三邊關(guān)系：a2+b2=c2,角關(guān)系：ZA+ZB=,邊角關(guān)系：sinA=,sinB=_,tanA=,tanB=4.5.6.仰角、俯角象限角：0A：北偏東60°,OB：AC坡度：AB的坡度iA—-,ZaABBCcosA=_,cosB=_,東南方向，OC:正東方向，OD：西偏南70°.叫坡角，ACtana=i=—BCAC東AC東二典型例題例1(07遼寧)為了農(nóng)田灌溉的需要，某鄉(xiāng)利用一土堤修筑一條渠道，在堤中間挖出深為1.2米，下底寬為2米，坡度為1：0.8的渠道(其橫斷面為等腰梯形)，并把挖出來的土堆在兩旁，使土堤高度比原來增加了0.6米(如圖所示)求：渠面寬EF；修200米長的渠道需挖的土方數(shù).

例2如圖表示一山坡路的橫截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，從A到氏從B到C是兩段不同坡角的山坡路.山坡路AB的長100米,它的坡角ZBAE=5°,山坡路BC的坡角ZCBH=12°.為了方便交通,政府決定把山坡路BC的坡角降到與AB的坡角相同，使得ZDBI=5°.(精確到0.01米)求山坡路AB的高度BE.降低坡度后，整個(gè)山坡的路面加長了多少米？(sin5°=0.0872，cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)三基礎(chǔ)練習(xí)1?如圖，太陽光線與地面成60°角，一棵傾斜的大樹與地面成30°角，這時(shí)測得大樹在地面上的影子約為10米，則大樹的高約為米.(結(jié)果保留根號(hào))地面2.計(jì)算：cos245°+tan60°?cos30°等于（）.A.1B.J2A.1B.J2C.2升國旗時(shí)，某同學(xué)站在離旗桿24m處行注目禮，當(dāng)國旗升至旗桿頂端時(shí)，該同學(xué)視線的仰角恰為30°,若兩眼距離地面1.2m，則旗桿高度約為。(取731.73，結(jié)果精確到0.1m)

中學(xué)三角函數(shù)1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2+b2二c22、如下圖，在RtAABC中，ZC為直角，則ZA的銳角三角函數(shù)為（ZA可換成ZB）：\定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系（A+B=90）正弦.人ZA的對邊sinA=人、斜邊0<sinA<1（ZA為銳角）sinA—cosBcosA—sinBsin2A+cos2A—1余弦人ZA的鄰邊cosA—人、斜邊0<cosA<1（ZA為銳角）正切人ZA的對邊tanA—一人一ZA的鄰邊tanA>0（ZA為銳角）tanA—cotBcotA—tanBtanA—1（倒數(shù)）cotAtanA-cotA—1余切*人ZA的鄰邊cotA—“「、丄ZA的對邊cotA>0（ZA為銳角）3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinA=cosB由ZA+ZB=90°、cosA=sinB得ZsinA=cosB由ZA+ZB=90°、cosA=sinB得ZB=90°-ZA4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。tanA=cottanA=cotBcotA=tanB由ZA+ZB=90°、得ZB=90°—ZAtanA=cot（90°一A）cotA=tan（90°一A）5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinacosatana—cota—6、正弦、余弦的增減性:當(dāng)0°<a<90。時(shí)，sina隨a的增大而增大，cosa隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當(dāng)0°<a<90°時(shí)，tana隨a的增大而增大，cota隨a的增大而減小。8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）一所有未知的邊和角。第第10頁共10依據(jù)：①邊的關(guān)系：a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：二角函數(shù)的定乂。（注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法）9、應(yīng)用舉例：（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。鉛垂線鉛垂線（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i二-。坡度一般l寫成1:m的形式，如i=1:5等。h把坡面與水平面的夾角記作?（叫做坡角），那么i==tana。10、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45